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1、B卷几何综合汇编翻折76.如图1,长方形ABC。，点E,F分别为边A。，BC上两动点，将长方形左侧部分沿E厂所在直线折叠,A）点8落在Co边上点G处，点A落在点H处，连接E7,HG,FG,BG,-=k.若/QS=26。，求NGBC的度数；如图2,若点。与点G重合，AB=,求线段E尸（用含Z代数式表示）；连接8/7,若雀=：，且V8G”为等腰三角形，求攵的值.DG2【答案】13。（2）EY=如C吟k【分析】（1）由折叠的性质可得3F=EG,NABF=NFGH=90P,由余角的性质和等腰三角形的性质可求解；（2）先证四边形Z）EB尸是菱形，由菱形的面积公式可求解；因为A与“，8与G关于瓦对称,所以
2、AG与8”的交点。在对称轴上，AG=BH,设交点为0,CG=m由二一，推出Z）G=2加，AB=CD=3m,BC=40=3k%.分三种情形：若BG=BH.若HG=HB.DG2若HG=GB=3m,分别求解即可.【详解】（1）由翻折变换的性质可知，BF=FG,NABF=NFGH=90。,NDGH=$,.NEGC=64。，NC=90,.NGFC=2G,.BF=FG,:.NGBC=NFGB=3。；(2)如图，连接BE,:.AD=k.BD=yJ+k2ADBC,.NDEF=NBFE,由翻折变换的性质可知，NBFE.NDEF=NEFD,.DE=DF,.DE=BF,又DEHBF,二四边形OEB户是平行四边形，D
3、E=DF,，四边形。破尸是菱形，.*.DE=BE，BE2=AB2+AE2/EFD,BF=DF,:.DE2=l+(k-DE)21.DE=-2kS罐形DEBFDEAB=EFBD+k21EF11+F1=2k2Si7FEF=;k.AG与的交点O在对称轴上，AG=BH,设交点为。，CG=m.CG_1DG2t:.DG=2m,.AB=CD=3m,AB:.BC=AD=3km,若BG=BH,AG=BH,.GB=GH,QBC=ADfZAZ)G=NC=90。，.二AG力合BGC(H1.),.CG=OG与已知木厂=；,矛盾.DG2若HG=HB,OG=OBfBH=OH+OG,OG中，OH+OGHG,.BHGH,此种情形
4、不存在.若HG=GB=3m,BG2=BC2+CG2,.,.(3m)2=(3hn)2m2,解得&二手(负根已经舍去)，综上所述，4的值为逑.3【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.40.在平行四边形ABCQ中，AB=2,NABC=45。，将二ABC沿对角线AC翻折，点B的对应点为点E,线段EC与边Ao交于点E如图1,ZACB=30。，求NF8的度数；(2)若aCIF是以CF为腰的等腰三角形，求线段BC的长；如图2,连接破，CA的延长线交既于点M物的延长线交Ee
5、于点M,当点M到BC的距离最小值时,求出此时2X5CV的面积.【答案】(1)752忘或2&+2逑+22【分析】(1)根据平行四边形的性质和折叠的性质，即可求解；(2)分两种情况：若CF=CD=2,若CF=DF,结合平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，即可求解；(3)过点M作MQ1.8C于点Q,可得一BQM是等腰直角三角形，从而得到当最小时，MQ最小，即当BW最小时，点M到5C的距离最小，此时8MJ.CE,过点A作AS_1.BC于点S,ET1.BC于点T,此时一AKS是等腰直角三角形，可得8M=48+4M=0+2,再由功MC是等腰直角三角形，可得CM=BM=+2,从而得至J8C=EC=
6、3M=2+2,ZXECT是等腰直角三角形，进而得到E7=2+2,然后由折直的性质可得SbCN=S.比N=；S,a，即可求解.【详解】(1)解：.一四边形ABCz)是平行四边形，.ABCD,：.ZABC+ZBCD=180o,/NABC=45。,/.ZBCD=135,由折叠的性质得：ZACE=ZACB=30ot：.ZFCD=ZBCD-ZACb-ZACE=75；(2)解：四边形ABCD是平行四边形，/.AB=CD=2,D=BC,ZD=ZB=45。，若CF=CD=2,.ZD=ZDFC=ZAFE=45,ZDCF=90。，二.)CF是等腰直角三角形，DF=2CD=22，由折叠的性质得：NE=NB=45。，
7、BC=EC,.NEAF=90。，.心是等腰直角三角形，EF=2AF,设AD=BC=CE=X,则AF=X_2,EF=x-2,.x-2=2(x-2),解得：x=2+2,即5C=22+2:若CF=DF,.NFcZ)=No=45。，.NOT)=90,.AD/7BC.ZBCE=900.ZACB=ZACE=45,NACz)=90。，.二AC。是等腰直角三角形，C=AD=2CD=22:综上所述，线段BC的长为2或20+2;(3)解：如图，过点M作MQ1.8C于点Q,ABC=45o，-BQM是等腰直角三角形，/.BM=近MQ,即BQ=MQ=4BM,当8W最小时，MQ最小，即当8W最小时，点M到Be的距高最小，
8、此时8W_1.CE,过点A作AS_1.5C于点S,ET上BC于点T,此时.ABS是等腰直角三角形，BSTQCAS=JAB=应,2ZACB=ZACe,ASIBC,BMtCE,.AM=AS=T1.BM=AB+AM=/2+2BM1.CEfNAeC=45。，ZXBMC是等腰直角三角形，CM=BM=邑2,ZBC=45o,/.C=EC=2W=2+22，石Cr是等腰直角三角形,CE=丘ET，ET=2+2,由折叠的性质得：sBCN-ECN,.c.=5=lCET=ll(22)(2)=2.【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质等知识是解题的关键.67.
9、如图，已知在直角.ABC中，NABC=90。，E为AC边上一点,连接驼，过上作E0_1.AC,交BC边于点。.(1)如图1,连接AO,若CE=2,80=3五，NC=45。，求VAOE的面积；如图2,作NABC的角平分线交AC于点尸，连接。尸，若NBDE=NCDF,求证：AE+DE=垃BE;(3)如图3,若NC=30。，将JJCE沿跳;折叠，得到Z5E产，且即与AC交于点G,连接Aa点E在AC边上运动的过程中，当8尸上AC时，直接写出与的值.【答案】(1)8(2)证明见解析组4【分析】(1)根据&)_1.AC,ZC=45o,可得AS及AABC都得等腰直角三角形，由此可求出OE,AE的值，由此即可
10、求解；(2)如图2中，过点4作AT_1.5E交EO的延长线于点丁，根据直角三角形的性质可证A8尸思ZXOM(SAS),ABEASA),由此将AE+OE转换为TE,再证明国厂是等腰直角三角形，由此即可求解；(3)根据含特殊角的直角三角形的性质可证人ABE是等边三角形，设AB=,则AC=2,可求出AD=2BD=2-l)a，如图所示，连接AF,可得ZXAFE是等边三角形，DF=AF2AD2=(4-3)，由此即可求解.【详解】(1)解：.EDlAC,NC=45。，.?EDC?C45?,.CE=DE=2t-CD=22,BD=3近,BC=BD+CD=5垃，在直角,ABC中，ZAfiC=90o,NC=45。
11、，.4AC=NC=45。，AB=BC=5&，AC=IO,.AE=AC-CE=S,.Sde=-AEDE=-82=8.itz22(2)证明：如图2中，过点8作族_1.8E交Eo的延长线于点7,AB/DC/t/T图2/BDE=NCDF,./CDE=NBDF,.DEJ.AC,ZDEC=ZABC=90o,ZA+ZC=ZEDC+ZC=90o,ZfiDC=ZA,.ZA=ZBDF,ZABF=ZDBF,BF=BF,：.ABFgZXOB尸(SAS),AB=BD,.NABC=NEBT=90。,ZABE=ZDBT,.ZDT=ZCDE=ZA,.AABE/ADBT(ASA),BE=BT,AE=DT,AE+DE=DT+DE
12、=ET.zBET是等腰直角三角形,ET=正BE,AE+ED=正BE.(3)解：如图所示，,/NC=30。，/.Z4C=60o,当时，NABG=30。，,将二BCE沿BE折叠，得到4BEF,.FBE=4CBE=3W,又NC=NEBC=30。，EB=ECZABE=/BAE=ZAEB=60。,二,ABE是等边三角形，设A=,则AC=2a,.BC=Ea,.BF=2BG=23GE=y3AE=3,BD=BC-DC=4-l)a,在RtAABD中，AD=2BD=2(3-)a,如图所示，连接AF，/GEA.BF,EF=EB,：.ZAEF=ZAEB=ofZXAFE是等边三角形，AF=AE=AB，：.NMP=NE+
13、NEAD=60。+30=90。,DF=JAF2+AD?=(46)，DF_4-6_36+1DA23-24,【点睛】本题主要考查函数特殊角的直角三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等腰三角形、等边三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上，合理勾股辅助线，图形结合分析是解题的关键.17.如图(1)四边形ABCD是一张矩形纸片，其中BC=I,AB=J，点E为8边上一动点沿CF剪掉ABFC如图(2),再将AEFC沿Er翻折(3),将人/纸片再沿CF折叠，点E的对应点为E.当FE与矩形的边垂直时.图图图【答案】1-3或13【分析】分两种情况讨论：当位.与矩形的边AB垂直时，如
14、图(3),设EF交CD于点G,当尸E.与矩形的边Ao垂直时，如图(3-1),利用矩形和翻折的性质分别进行解答即可.【详解】解：分两种情况讨论：当FE与矩形的边AB垂直时，如图（3）,图四边形ABCD是矩形，:“=NBCD=90。,AB/CD,CF平分NBC。，.ZBCF=/DCF=45。,.ZBFC=NDCF=45。,.ZBCF=NBFC=45。,.BF=BC=IfFE1AB，/.ZEFB=90,四边形BCGF是正方形，NEFC=45。,GF=BC=CG=AB=I,NCFE+ZEFC+ZCFE=45。，由翻折可知：NCFE=NEFC=NCFE,.ACFE=ZEFC=NCFE=15,/.ZEFE
15、=30,.Pr如小EG=GF=，33ACE=CG-GE=I-；3当FE.与矩形的边A。垂直时，如图(3-1),图(31).四边形ABCD是矩形，.=48=90。，AB/CD,CF平分NBCO,:.NBCF=ZDCF=45。,:BFC=NDCF=45。,.CF=NBFC=45。,.BF=BC=5,ZCFE=I80-45=135由翻折可知：NCFE=4EFC=ZCFE,NCFE+/EFC+ACFE=135。，.NCFE=ZEFC=ZCFE=45，.ZEFB=90,.四边形BCEF是正方形，.,.CE=BC=I,综上所述：CE的长为1立或1,3故答案为：1-立或1.3【点睛】本题考查了翻折变换，矩形
16、的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，熟练学握翻折的性质是解题的关键.18.如图，在RtZABC中，ZC=90o,C=63,AC=6,点力是BC的中点，点E是边AB上一动点,沿OE所在直线把石翻折到,bRE的位置，B力交AB于点、F.若，AB下为直角三角形，则AE的长为.【答案】9或手【分析】利用三角函数的定义得到N8=30。，AB=I2,再利用折叠的性质得DB=OC=36，EB=EB，NO8E=NB=30，设AE=X，则BE=2-tE8=12-x，讨论：当NAFB=90。时，则B/7=3cos30=1,贝I1.=g-(12r)=X-掾，于是在用夕稗中利用M=2所得到12-x=
17、2(x-春)，解方程求出X得到此时AE的长；当NAB77=90。时，作WA8于”，连接A。，如图，证明RtAD&会RtADe得到AB,=AC=6,再计算出N9H=60。，则&”二g(12x),EHT(12x),接着利用勾股定理得到112(12-x)2+(12-x)+6=x2,方程求出X得到此时AE的长.【详解】解：ZC=90o,BC=66AC=Gf.tanS=且，BC3/.ZB=30o,.AB=2AC=12,点。是8C的中点，沿DE所在直线把皮）石翻折到.DE的位置，MD交AB于点F,.DB=DC=36,EB=EB./DBE=/B=30。,设AE=X,则BE=I2-x,EB,=2-xt当NAZ
18、=90。时，BF在Rt%尸中，CosB=，.F=3s30o=,在Rt_B,EF中，EBF=30，.EB=2EF，,解得x=9,此时AE为9；当NA厅尸二90。时，作WA8于，连接AO,如图,DC=DB，AD=AD.Rt,ADB,RtADC.AB,=AC=6,ZABfE=ZAB,F+NEBF=90o+30o=l20。，:.NEBH=60，在RtE*中，=JE=g(12),EH=邪BH=&12X),在RtAAEH中，,7/2+.2=,12-(12-x)2+(12-x)+6=x2,4242解得X=彳，此时AE为y42综上所述，AE的长为9或学.故答案为：9或拳.【点睛】本题考查了含30度的直角三角形
19、三边的关系和勾股定理、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.22.如图，在iWC中，NACB=I20。，AC=8,BC=4,将边BC沿CE翻折，使点8落在AB上的点。处，再将边AC沿CF翻折，使点A落在Co的延长线上的点4处，两条折痕与斜边4B分别交于点E、F,则线段EA的长为.A,CB【答案】W【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.过点A作AH1.S。交BC的延长线于，由直角三角形的性质可求“C=gAC=4,AH=6HC=40,由勾股定理可求A4的长，由面积法可求
20、C七的长，由折叠的性质可求NBEC=N0EC=9O。，/BCE=/DCE,ACF=ADCF,然后再求解即可.【详解】解：如图，过点A作A”_1.6C,交8C的延长线于”,NAcB=I2()。，ZACB=NH+/HAC,.HC=-C=4fAH=Whc=,.3H=4+4=8,:.AB=JAH2+BH2=,48+64=47，SACB=-BCXAH=-ABCE,o22.434=47CE,CE=-f7将边BC沿CE翻折，使点8落在AA上的点。处，再将边AC沿CF翻折,.ZBEC=Nz)EC=90。，4BCE=4DCE,ZACF=/DCF,.NKC尸=Jzacb=60。,2.ZCFE=30,:.AF=AB
21、-EFBE=4币在RtBCE中，BE=yBC2-CE277JrA,8币FA=AF=7故答案为：殳巨73.如图，在R/V。钻中，OA=8,A8=6,C为线段44上一点，将二OAC沿OC翻折，点A落在点。处，延长8至点瓦连接0E,且NCoE=45。，若SMCE=；Sg。-,则+2的值是【答案】33【分析】过。作。GJ_0A,过E作EGIloA,交A8延长线于点”，可得四边形AoGH为矩形，结合折叠的性质，证明OGE合OoE,可得四边形AoGH为正方形，设CD=CA=X,EG=M=y,根据S-CE=1.szlOOE,4得到盯-8(x+y)=Y8，在(?”石中，利用勾股定理得到外+8(x+y)=64，
22、两式相加减得到孙=8,+y=i,利用完全平方公式可得结果.【详解】解：如图，过。作0GJQ4,过E作EGlloA,交AB延长线于点H,则NG=ZAoG=NA=90o,可得四边形AoG”为矩形，由折叠可得：OA8ODC,OA=OD,ZODC=乙OAC,CD=CA,ZAOC=DOC,.ZCo=45,ZAOG=90ot.ZAOC+AEoG=45,又NAoC=NDOC,：.ZEOG=4E0D,在OGE和OOE中，ZEOG=ZEOD4*g(6r)(8-y)=汨x8y,整理得：y-8(+)=-48,又在CHE中,CH2+EH2=CE2.：.(8-)2+(8-y)2=(x+y)整理的：xy+8(x+y)=6
23、4,(2)+得：个=8,-得：+y=7,.DE2+AC2=x2+y2=33,故答案为：33.【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，本题有一定难度，解题的关键是根据以上性质定理得到相等线段和相等角，从而表示出a8CE和ODE的面积.19.如图，在边长为2的正方形A8C。中，点E,产分别是边8C,A。上的点，连接E凡将四边形A8E/沿EF折叠,点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为”,连接8凡则BH+EF的最小值是【答案】26【分析】过点A作A/llE尸交BC于点/,连接8G,构造Rt色RtABCG,再延长5C至K,使CK=BC,
24、连接GK,AG,AK,构造AABG些AHGB,由全等三角形的性质，BH+EFAG+GK,求出AG+GK的最小值.【详解】解：如图，过点A作AE尸交BC于点/,连接8G,由折叠可知BE=EG,匕BEF=NGEF，EFA.BG,VA/llEFf.ZBAI+Z.ABG=90,ZCfiG+ZABG=90o,.NA8=NCBG,由正方形ABCD可得AH=BC,ZBAl=ZBCG=90o,：.RtAABaRtCG,.AI=BG,又AIWEF,AFWEh四边形A/E是平行四边形，.EF=AI=BG,延长BC至K,使CK=BC,连接GK,AG,AKt.ZDCB=90,.DCBKt二QC垂直平分BK,:.BG=
25、KG,由翻折可知，AB=HG,4ABG=NHGB,:.ABGAHGB,.AG=BH,.BH+EF=AG+KGAK,当A,G,K共线时，BH+EF最小,最小值等于AK,/AH=2,BK=2BC=4,ZABK=90ofAK=2+BK1=22+42=25故答案为：2亚.【点睛】本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等，解题关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形.93.如图，在矩形48C。中，对角线AC与8。相交于点。，AB=BO=Il,将矩形48CO翻折，使得B与。重合，力的对应点为A,折痕为EF,连接B4,DF.（1）求证：四边形8FQE是菱形；（2）若M,N为
26、矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持NMON=60。不变，请回答下列两个问题:如图2,当点M在边BC上，点N在边CO上，ON与ED交于点G,请猜想E。、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；如图3,若M,N都在5C边上，将ONM沿ON所在直线翻折至ONP,取线段CO的中点Q,连接PQ，则当户。最短时，求PM的长.图1图2图3【答案】（1）证明见详解；（2）。斤ME+EG,理由见详解；（2）321【分析】（1）由4/10FgZXBOE,推出EO=OROB=OD,推出四边形EBFO是平行四边形，再证明仍=Eo即可.（2）过。点作OH_1.8C,OK1.DE,证明QOHE=心ZkOKE,A
27、OHMAOKGt可得ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE,在RfAOHE中,即可得出结论如图3,连接CP.证明404MaOCP（SAS）,推出NPCQ=30,如图3-1中，当QP_1.PC时，PQ的值最小，作M_1.08于凡OEj_MP于在直角三角形求出EM即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，A1 四边形ABC。是矩形，J.ADBC.OB=ODi：.ZFDO=ZEBO,在AOO厂和480E中，ZFDO=ZEBoOD=OB,ZFOD=ZBOe：ADOFmABOE,：.EO=OF1 ：OB=ODt 四边形BFQE是平行四边形， 翻折，8与。重合：.EB=ED，四边形BFDE是菱形.(
28、2)如图2,过。点作OH_1.BC,OK1.DE.图2由（1）得四边形BroE是菱形.OBEODE:OH_1.BC,OK1.DE：.OH=OK：OE=OE：,RiAoHE学RiAOKE：.HE=KE；四边形A8C。是矩形，AB=BO.ABo为等边三角形：.ZABO=GOo.ZOBE3Q9.ZBED=120o：.ZHoK=60,/ZMON=60.ZHOM=乙KOG：OHBCfOKYDE：.ZOHM=Z0KG=9Qo,OHM沿XOKG：.HM=KG：,ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE在RfAOHE中,ZOEH=GOo，Z0HK=3Qo：.0E=2HE：.OE=ME+EG解：如图3,连接C
29、P.DA图3由翻折可知：OM=OP,/MON=/NoP=60,ZMOP=ZCOB=IlQo,：/BOM=/COP,VOB=OCt：AOBMAOCP(SAS),工NoCP=/OBM=30,BM=CP,:ZOCD=GOo,ZPCD=30o,如图3-1中，点P的运动轨迹就是线段CP,当QP_1.PC时，PQ的值最小，作MH_1.OB于，OEMPfE.图3-1在mZPQC中，VZPC=90o,ZPC=30o,CQ=；DC=；AB=6,.PQ=3：.PC=BM=CQ2=36-9=27=,在用ZBMH中，则有BH=JBM2_HM2=?，MH=；BM=且,222915：.0H=OB-BH=12=22OM=4
30、OH-+MH1=J()2+()2=37，.OM=OP,OE工PM,OME=30o.EM=EP=OM2-OE2=当，,MP=2EM=3后.【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题,属于中考压轴题.旋转40.己知在/ABC中，NEC/的两边与,A8C的边AB从左至右依次交于点E,F,且NEC尸=；NACB.(1)如图1.AC=BC,zAC=90o,将ACE绕点C逆时针旋转90。后，得到.8CG,连接尸G.求证:ECF二GCE(2)如图2,若AC=BC,AC
31、B=l2Qo,BF=3,AE=2,求线段EF的长：(3)如图3,若NAC8=90。，AC=25,BC=器,设AE=y,BF=x(OVxVl),请用含X的代数式表示y(直接写出结果，不必写解答过程).【答案】(1)见解析；(2)7;(3)，=与”3-x【分析】(1)先证出NECF=/GCR再通过S4S即可证EC代GCF；(2)由(1)全等得：EF=FG,AE=BG,Z=ZCBG,从而NFBG=60。，在4PG中，已知两角一边，作GKAB,通过解直角三角形可得FG的长即可；(3)将ASC/顺时针旋转90。得到ANCG,过点C作C_1.A8于，CM_1.GN于M,延长GN交AB于点D,得到NGNC=
32、NF5C,CF=CG,BF=NG=x,证明矩形CMrH为正方形，得到CM=）=C=QM,由（2）中AGC叫FCE,得至IGE=FE=AB-AbBF,利用面积法求出CH,证明。N为4C的中位线，在AGDE中，利用勾股定理得到(2)2+l)2=(5-x-y)2,化简可得结果.【详解】解：证明：(1)ACE绕点C逆时针旋转90。后，得到BCG,JCE=CG,ZACE=ZBCGfNECF=1.ZACB,2:.ZECF=ZACE+ABCF,NECF=NGCF,在ECF和AGC尸中，CE=CG【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊四边形的判定和性质等知识，通过
33、旋转构造出全等三角形是解题的关键.42.如图1,在，ABC中，AC=BC,NACB=I20。，点。是边/W上一动点，将线段CD绕点。逆时针旋转120。得到CE,连接8E.图1图2求NC班:的度数；(2)连接AE,若AO=4,NACz)=30。，求线段AE的长；如图2,若AD=AC,BD=2,点M为CD中点,AM的延长线与BC交于点P,与BE交于点N,求线段BN的长.【答案】(1)30(2)47(3)3-3【分析】(1)利用等腰三角形的性质先求得NC4O,然后证明,.A8=48CE,则对应角相等即可求得NC5E.(2)利用aA8三8CE求得BE的长，然后利用直角三角形的性质求得所、A尸的长，最后
34、利用勾股定理求得AE的长.(3)利用已知条件可证AW_1.8,结合已证结论可求得NPCM=45。，然后推得8是等腰直角三角形,则NZ)PC=900,从而在含30。角的宜角ABDP中可求得BP的长，最后在分别含45。角的直角三角形PM/与含30。角的直角三角形BN“中求得?”、NH、8”之间的关系式，通过利的长建立关系式Q=M/+5m/,求得N”的长，则可求得BN的长.【详解】(1)一线段CD绕点C旋转得到CE,.,CD=CE.NDCE=I20%.ZACB=120,.ADCE=ZACb.即ZACD+ZBCD=ZBCE=ZBCDZACd=ZBCE.AC=BC在一ACD与&BCE中，NACo=ZBC
35、E,CD=CE:.ACDBCE(SAS).NCBE=NCAD.由AC=BC得NcW=ZABC,在AACB中，NAC3=120。，.New=图上空=30。.22.NCBE=30.(2).Z4CD=3(F,NCAD=300,.ZBDC=ZACD+ZCAD=,又Z4C=NC4D=35,.ZBCD=I804DCZABC=18(r6(r3(r=90P.ZXBCO是直角三角形.由ZABC=30得BD=2CD=2AD=8.由二A8WaBCE知，BE=AD,由NCAo=NACZ)知，8=An=4,BE=4.过点E作瓦_1.AB,垂足为点尸.如下图.EBF=NCBE+ZABC=3(+3(r=M则NBE/7=90
36、。-60。=30.8尸=g8E=g4=2,EF=-jBE2-BF2=42-22=23-.AF=AD+BD-BF=4+3-2=0在RtAE尸中，AE=AF2+EF2=5102+(23)2=47(3)过点N作1.BC,垂足”.连接。P.如下图.E由AC=8GZACe=I20。得：NCW=NCBZ)=30。.由AD=Ae,点M为8中点，得AWJ_8,ZPCVf=ZACB-ZACd=120o-75o=45o./.NePM=45。,：,CM=PM,又CM=DM,PM=DM.DMP为等腰直角三角形.故(?也为等腰直角三角形.DPI.BC.在RjBQP中，NCBD=3伊，.DP=BD=i2=l.BP=lBD
37、2-DP2=22-l2=3-在Ri-BNH与RNNHP中,NCBE=3。,NBPN=KPM=45,PH=NH,BN=2NH,BH=JBN2-NH2=(2NH)2-NH2=NH,/BP=PH+BHy3=NH+3NH3.NH=-3+l.=2VH=-j=3（3-l）=3-【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识点，解题的关键是正确作出辅助线.43.（1）尝试解决：如图1,在二红）尸中，ZEDF=90o,OE=DF,点M在边EF上运动（M不与点七，F重合），连接。M,过点。作线段。N_1.zW,垂足为点,且DN=DM,连接
38、NF,求出NfiTW的度数；（2）类比探究：如图2,在AEE）中，ZEDF=90o,OE=OF,点W在边EF上运动（M不与点E,产重合），连接以DM为腰在OE上方作等腰RtjWDN,其中NMDN=90。，DM=DN,试问线段DM,EM,为“之间有怎样的等量关系？写出结论并证明；（3）拓展应用：如图3,在尸中，ZEDF=90o,DE=DF,在。尸左侧作NOA=45。，若ZW=5,FM=2,求出EM的长度.【分析】（1）先根据等边对等角求出NE=NO在：=45。，再证明ZXMDP名ZkMDE即可得到NNFD=NMED=45。,则/EFN=NNFD+NDFE=90；（2）如图所示，连接NF,同理可证
39、ZXND尸名AMDE,得到N瓦N=90。，由勾股定理得MV=OM，由勾股定理得NF?FM2=MN2,则FM2+EM2=2DM2:(3)如图所示，过点D作O”_1.DM且/汨=。例，连接M”，FH,证明皿。且2/7,得到腔=”尸,利用勾股定理得到HM=5,再证明NM/=90。，则可利用勾股定理求出ME=尸=3.【详解】解：(1)在二皮厂中，NEDF=90。,DE=DF,.NE=/OFE=45。，DNl-DM,：.ZMDN=AEDF=骄，4MDN-/MDF=NEDF-NMDF,即ZNDF=/MDE,又.ND=MD,FD=ED,.NDFAMDE(SAS),ZNFD=ZMED=45f.ZEFN=ZNFD+ZDFE=90；(2)FM2-EM2=IDM2证明如下：如图所示，连接NF,同理可证NDFMDE,
