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1、1 球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进展充分的组合，以外接和切两种形态进展结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考察几何体的体积或者外表积等相关问题.1.1 球与正方体发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的外表上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为 A B CD1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球
2、为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间局部的体积为( )A.B.4C.D.1.3 球与正棱柱例3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.2 球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进展充分的组合，以外接和切两种形态进展结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考察几何体的体积或者外表积等相关问题.2.1 球与正四面体解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进
3、展求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是表达在球为三棱锥的外接球.解决的根本方法是补形例5 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,假设侧棱,则正2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三
4、棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进展求解.二是球为正棱锥的切球，例如正三棱锥的切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥PABC中，PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为 A B. C. 4D.接球的球心,则.例7 矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.3 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解
5、决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，到达明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进展转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的
6、接问题解决这类问题的关键是抓住接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进展转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.1.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A B C D答案B2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假设,，则此球的外表积等于。解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表为.3正三棱柱接于半径为的球，假设两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为答案 84.外
7、表积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B C D答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，应选A。5.正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于 A.2 B. C. D.答案 D6.正方体的切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1B. 13 C. 13D. 19答案C7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答案8.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的外表积为答案9.一个正四棱柱的各个顶点在一个
8、直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，则该棱柱的外表积为cm2.答案10.如图，半径为2的半球有一接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_ABCPDEF答案11. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案12.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的外表积为 ABCD以上都不对答案C13.设正方体的棱长为，则它的外接球的外表积为 A B2 C4D答案C1 三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为ABCD25点P,A,B,C,D是球O外表上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.假设PA=2,则OAB的面积为_.
