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1、-因式分解 例题讲解及练习【例题精选】： 1 评析：先查各项系数其它字母暂时不看，确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号各项。解： =2 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且一样字母最低次的项是X2Y 解: = = =3(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 评析：在此题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应防止负号过多的情况出现，所以应提取y-x解：原式=(y-
2、x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)（4） 4 把分解因式 评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式解：=2=2=（5） 5 把分解因式 评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。 对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比拟麻烦。 解： =xy2(x6-y6)= xy2= =6把分解因式 评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项
3、式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，6Z换公式中的解： =(x+y-6z)2（7） 7 把分解因式评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数围的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。解： = = =（8） 8 分解因式a2-b2-2b-1 评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用二、二分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看
4、，后三项是一个完全平方式，应采用一、三分组。解：a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式一、三分解，最后要用平方差。四项式二、二分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9） 9 把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)（10） 10 把分解因式解法一： =解法二：
5、=说明：例2和例3的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着一样的在联系，即两组中的对应系数成比例。2题解法一 1：1，解法二也是1：1；3题解法一是1：1，解法二是2：-3(11) 分解因式评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑一、三分组；不是，就考虑二、二分组解法一：=解法二：= =解法三：= =（12） 12 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 评析：此题将a-b看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以一、三分组解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 =(a-b)2-2c(a-b)+c2-1=(a-b)-c2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c
6、+1)(a-b-c-1)13分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b解：8a2-5ab-42b2 a +2b=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab（14） 14 分解因式a6-10a3+16 解：a6-10a3+16 a3 -2 =( a3-2)( a3-8) a3 -8 =( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3（15） 15 分解因式-x2+x+30解：-x2+x+30 先提出负号 x +5 =-( x2-x-30) x -6 =-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x（16） 16 分解因式12(x+y)2-8(x+y)
7、-7 解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1 =2(x+y)+16(x+y)-7 6(x+y) -7 =(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=817把分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。此题注意到后三项当把-1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：解： = = =（18） 18 把分解因式评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解： = = =19分解因式 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次
8、三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得a+1a+2-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为a+4a-1解： = = = = 20把分解因式解： = = = = 21把分解因式 评析：它不同于例31的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进展分解，有。它又回到例31的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了x2-3x解： = = = = = = 22把分解因式 评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有16=23=6 利用结合律会出现a2+6 解： = = =23把x+1x+3x+5x+7-9分解因式 评析：不要轻易地把前
9、四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把x+1x+7和x+3x+5分别乘开就会出现的形式，这就不难发现x2+8x作为一个整体a同时出现在两个因式中，即a+7a+15-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到a+6a+16而分解。 解：x+1x+3x+5x+7-9 =x+1x+7x+3x+5-9 = 以下同于例3 = =+96 = =24把xx+1x+2x+3-24分解因式 评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现x2+3x，第二和第三个一次式相乘出现x2+3x。可以设x2+3x=a，会有aa+2-24，此时已易于分解 解：xx+1x+2x+3
10、-24 =xx+3x+1x+2-24 = = = =25把分解因式评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解： = =26把分解因式 评析：我们可以观察到+前后的两项都有a+b和c+d。据此可把它们看作为一个整体。解： = = = =27把分解因式 评析：把1+a看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体1+a 解： = = =28把分解因式 评析：此题容易想到分组分解法，但比拟困难，考虑到 此时可设 再用待定系数法求出m和n 解：设 = 比拟两边对应系数 得到 m+2n=2 -3n+2m=11 mn=-4 由和 得到m=4，n=-
11、1 代入也成立=2x-3y+4x+2y-129把分解因式 解： = =x+4y+mx-2y+n = 有 m+n=-4 4n-2m=-10 mn=3 由和 得到m=-3，n=-1 代入也成立=x+4y-3x-2y-130当x+y=2时，求的值 评析：x+y=2这是唯一的条件。要从中找到x+y或有关x+y的表达式 解：=x+y+6xyx+y=2 原式= =2=8 31己知=2 求的值解：=2原式=222-3=2 32己知x-y=2，求的值解： = = x-y -3a = x-y +2ax-y=a原式=初中因式分解的常用方法例题详解一、提公因式法. 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可
12、以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用写出结果三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ =思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式=
13、 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、二分组后能直接运用公式 例3、分解因式：分析：假设将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = =注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、 4、综合练习：1 23 45 67 89 101112四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进展分解。特点：1二次项系数是1； 2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3
14、)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进展分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 -1+-6= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)二二次项系数不为1的二次三项式条件：123分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 -6+-5= -11解：=练习7、分解因式：1 2 3 4三二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项
15、式，利用十字相乘法进展分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)四二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1-2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：1 2综合练习10、1 23 45 678910思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 5 -2解法一：以为主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y
16、-1)解法二：以为主元 1 -1 解：原式= 1 2 = -1+2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1) (2)(3) (4)六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：1，2，即： ，那么例12、分解因式1 2解：1应用双十字相乘法： ，原式= 2应用双十字相乘法： ，原式=练习12、分解因式1 2七、换元法。例13、分解因式1 2解：1设2005=，那么原式= = =2型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，那么原式= =练习13、分解因式12 3例14、分解因式1观察
17、：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成轴对称。这种多项式属于等距离多项式。方法：提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法。解：原式=设，那么原式= = = = 2解：原式= 设，那么原式= =练习14、12八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式1解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = = =2解：原式=练习15、分解因式1 23 45 6九、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，那么原多项式必定可分为解：设=比照左右两边一样项的系数可得，解得原式=例17、1当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 2如果有
18、两个因式为和，求的值。1分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 那么=比拟对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=2分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 那么=，解得，=21练习17、1分解因式2分解因式3：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。4为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。初二因式分解练习题 5 单元测试 一、填空题：5分 4=20分1分解因式； ；2分解因式： ；3分解因式： ；4分解因式： ；二、选择题：5分 6=30分1以下变形，是因式分解的是- A B C D 2以下各式中，不含因式 的是- A B C D 3以下各式中，能用平方差分解因式的式子是- A B C D 4 ，那么 的值是- A ， B C D ， 5如果 是一个完全平方式，那么 的值是- A B C D 6 ，那么 的值是- A 0 B C 3 D 9三、把以下各式因式分解：6分 5=30分1 2 3 4 5 四、10分 ，求证： 五、10分求证：每个奇数的平方被8除必余1. z.
