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1、 . . 七年级数学下册知识点归纳第五章 相交线与平行线5.1 相交线一、相交线 两条直线相交,形成4个角。1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:1、2。对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。如:1、3。对顶角相等。二、垂线1垂直:如果两条直线相交成直角,那么这
2、两条直线互相垂直。2垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。3垂足:两条垂线的交点叫垂足。4垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。5点到直线的距离: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。三、同位角、错角、同旁角 两条直线被第三条直线所截形成8个角。1同位角:(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:1和5。2错角:(在两条直线部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系
3、的两个角叫错角。如:3和5。3同旁角:(在两条直线部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁角。如:3和6。5.2 平行线与其判定(一) 平行线1.平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。ab(在同一平面,不相交的两条直线叫做平行线。)2平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。3.平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b/a,c/a,那么b/c(二)平行线的判定:1. 两条平行线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。(同位角相等,两直线平行)2. 两条平行线被第三条直线所截,如果错角相
4、等,那么这两条直线平行。(错角相等,两直线平行)3. 两条平行线被第三条直线所截,如果同旁角互补,那么这两条直线平行。(同旁角互补,两直线平行)推论:在同一平面,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。5.3 平行线的性质(一)平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。(两直线平行,同位角相等)2.两条平行线被第三条直线所截,错角相等。(两直线平行,错角相等)3.两条平行线被第三条直线所截,同旁角互补。(两直线平行,同旁角相等)(二)命题、定理、证明1命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。2.命题的组成:每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已
5、知事项推出的事项。命题常写成“如果,那么”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。3真命题:正确的命题,题设成立,结论一定成立。4假命题:错误的命题,题设成立,不能保证结论一定成立。5.定理:经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)6证明:推理的过程叫做证明。5.4 平移1平移:平移是指在平面,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移),平移不改变物体的形状和大小。2.平移的性质把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。新图形中的每一点,都是由原图形
6、中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。第六章实数6.1平方根1、平方根(1)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根即:如果,那么x叫做a的平方根(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。(3)平方与开平方互为逆运算:3的平方等于9,9的平方根是3(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;0的平方根是0.(5)符号:正数a的正的平方根可用表示,也是a的算术平方根;正数a的负的平方根可用-表示(6) a是x的平方 x
7、的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根(1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数规定:0的算术平方根是0. 也就是,在等式 (x0)中,规定。(2)的结果有两种情况:当a是完全平方数时,是一个有限数;当a不是一个完全平方数时,是一个无限不循环小数。(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。(4)夹值法与估计一个(无理)数的大小(5) (x0) a是x的平方 x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x(6)正数和零的算术平方
8、根都只有一个,零的算术平方根是零。(0) ;注意的双重非负性:-(0) 0(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。6.2 立方根 (1)立方根的定义:如果一个数x的立方等于,这个数叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算,叫做开立方。(2)一个数的立方根,记作,读作:“三次根号”,其中叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。(3) 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身;一个负数有一个负的立
9、方根;任何数都有唯一的立方根。(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即。(5) a是x的立方 x的立方是ax是a的立方根 a的立方根是x(6),这说明三次根号的负号可以移到根号外面。6.3 实数 一、实数的概念与分类无理数:像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。实数:有理数和无理数统称实数。1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正实数实数 0 负实数整数包
10、括正整数、零、负整数。零和正整数又叫自然数。正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如等;(2)有特定意义的数,如圆周率,或化简后含有的数,如+8等;(3)有特定结构的数,如0.1010010001等;二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=b,反之亦成立。数a的相反数是a,这里a表示任意一个实数。2、绝对值一个数的
11、绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|0。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a0;若|a|=-a,则a0。一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4. 实数与数轴上点的关系:每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实
12、数。三、科学记数法和近似数 1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做的形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。四、实数大小的比较 1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。2、实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。(2)求差比较:设a、b是实数,(3)求商比较法:设a、b是两正实数,(4
13、)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。(5)平方法:设a、b是两负实数,则。五、实数的运算 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定? 实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、有理数除法运算法则就什么? 两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;第二,两数相
14、除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数,商都是零。 8、什么叫有理数的乘方?幂?底数?指数? 相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。记作: an9、有理数乘方运算的法则是什么? 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么? 去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号式子相应各项的符号相反。 第七章平面直角坐标系7.1 平
15、面直角坐标系(一) 有序数对1有序数对:用两个数来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的意义,我们把这种有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b)2.坐标:数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示,这个数(或数对)叫做这个点的坐标。(二)平面直角坐标系1平面直角坐标系:在平面画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。2X轴:水平的数轴叫X轴或横轴。向右方向为正方向。3Y轴:竖直的数轴叫Y轴或纵轴。向上方向为正方向。4原点:两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。对应关系:平面直角坐标系的点与有序实数对一一对应。坐标
16、:对于平面任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。(三)象限1象限:X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点与原点不属于任何象限。一般,在x轴和y轴取相同的单位长度。2象限的特点:1、特殊位置的点的坐标的特点:(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。(3)在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的
17、连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。2、点到轴与原点的距离:点到x轴的距离为|y|;点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;3、三大规律(1)平移规律:点的平移规律 左右平移纵坐标不变,横坐标左减右加;上下平移横坐标不变,纵坐标上加下减。图形的平移规律 找特殊点(2)对称规律关于x轴对称横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于原点对称横纵坐标都互为相反数。(3)位置规律各象限点的坐标符号:(注意:坐标轴上的点不属于任何一个象限)假设在平面直角坐标系上有一点P(a,b)1.如果P点在第一象限,有a0,b0
18、(横、纵坐标都大于0) 2.如果P点在第二象限,有a0 (横坐标小于0,纵坐标大于0)3如果P点在第三象限,有a0,b0,b、b,bc,那么ac(不等式的传递性).性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。如果ab,那么a+cb+c(不等式的可加性).性质3:不等式的两边同乘(除以)同一个正数,不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数,不等号的方向改变。如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,acb,cd,那么a+cb+d.(不等式的加法法则)性质5:如果ab0,cd0,那么acbd.(可乘性)性质6:如果ab0,nN,n1,那么anbn,且.当0n
19、1时也成立.(乘方法则)9.2一元一次不等式1.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。2不等式的解法:步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一;注意:去分母与系数化为一要特别小心,因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数,要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。9.3 一元一次不等式组1一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。2不等式组的解:几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。3解不等式组:先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地
20、表示不等式的解集。解一元一次不等式组的一般方法:以两条不等式组成的不等式组为例,若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小”若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大”若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集,此时一般表示为axb,或axb。此乃“相交取中若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。此乃“向背取空”不等式组的解集的确定方法(ab):不等式组在数轴上表示的解集解 集口 诀xaxbabxa同大取大;xbx
21、aabxb同小取小;xbxaabbxa相交取中;xaxbab空集向背取空。第十章数据的收集、整理与描述全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。总体:要考察的全体对象称为总体。个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。样本:被抽取的所有个体组成一个样本。样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。频率:频数与数据总数的比为频率。组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、
22、描述数据和分析数据等过程。(1)通过调查收集数据的一般步骤:明确调查问题确定调查对象选择调查方法 展开调查 记录结果 得出结论(2)收集数据常用的方法:民意调查:如投票选举 实地调查:如现场进行观察、收集、统计数据 媒体调查:报纸、电视、网络等调查都是媒体调查。2、数据的表示方法:(1)统计表:直观地反映数据的分布规律 (2)折线图:反映数据的变化趋势(3)条形图:反映每个项目的具体数据 (4)扇形图:反映各部分在总体中所占的百分比(5)频数分布直方图:直观形象地反映频数分布情况 6)频数分布折线图:在频数分布直方图的基础上,取每一个长方形上边的中点,和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点3、调查方式:(1)全面调查,优点是可靠,、真实; (2)抽样调查,优点是省时、省力,减少破坏性;随机抽样调查具有广泛性和代表性。4、总体和样本:(1)总体:要考察的所有对象 (2)个体:组成总体的每一个考察对象 (3)样本:从总体中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本。(4)样本容量:样本中给个体的数目 5、组距:每个小组两个端点之间的距离6、画直方图的一般步骤:(1)计算最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数,先根据数据个数确定组距,再计算组数,注意无论整除与否,组数总是比商的整数位数多1;(3)确定分点,并分组;(4)列频数分布表;(5)绘制频数分布直方图10 / 10