《勾股定理常考题型方法讲练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理常考题型方法讲练.docx（22页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、勾股定理常考题型方法讲练题型方法1：两个特殊的直角三角形3.解题方法解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形.并且应注意以下问题：作高时丕能破坏已知的特殊角(30。、45。、60。、120。，135。，150。)；作高时注意判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三鱼形内部和外部的情况.注意高线是否在三角形内部.例：探究下列三角形三条边长之间的关系.(1) ABC中，ZC=90o,NA=NB=45。；(2) ABC中,ZC=900,ZA=30o,ZB=600.解：如图所示,不妨设AC=AB=a,贝1在4ABC中，因为NC=90。,由勾股定理可知B=H
2、TH=Q.所以三边的比值为1:1:2.(2)如图所示,设30。所对的直角边为a,因为直角三角形中,30。所对的直角边等于斜边的一半，所以AB为2a.由勾股定理可知AC=(2)2-2=3a.所以三边的比值为1:6:2.【变式1】如图,在RtABC中.ZB=30o.BD=AD=12.贝（JBC=.10,则AB的长度为【变式2】如图，在BC中，4C=90,点D在AC上,已知乙80C=45o,ABD=15,BD【变式4如图,在ABC中,AB=2,AC=3,BAC=135。,则BC2三【变式5】在C中、1.A=30o,AC=40,BC=25那么AB=30o,DE=42,BE=2求AC长【变式6如图,在四
3、边形ABCD中对角线AC、BD交于点E,.BAC=90o,ZCED=45。,乙DCE和四边形ABCD的面积题型方法2：遇见30。、45。、60。角时，作垂直构造直角三角形遇见30。、45。、60。角时，通过作垂线，把这几种角放入到直角三角形中。如下图：过角一边上一点作另一边的垂线，构造特殊的直角三角形。例:已知.如图.在ABC中,NB=45。,ZC=30o,AB=1求AC的长。【解析】题中有/B=45。，/C=30。,所以,过A点作BC的垂线,这样把这两个角都放到了直角三角形里了，方便进行计算。【解答】解:过A作ADJ_BC于D,ZB+ZBAD=90o.VZB=45o,NB=NBAD=45。，
4、AD=BD.AB2+AD2=BD21AB=2,AD=1,/ZC=30o,ADBC.AC=2AD=2,【变式1】如图在ABC中.1.A=45B=30。,BC=2同求线段AC的长.【变式2】如图,在ABC中,/B=30。,外角CAD=6(,AB=6,求C点至UAB的距离.题型方法3：遇见15。、22.5。角时，利用外角构造二倍角如图,在RtABC中,NACB=15。,那么,在相关边角计算中,15。角这个条件无法使用。在解题时,需要将15。角进行转化，可以通过15。角构造出：30。角。做法如下图，作斜边AC的垂直平分线DE交BC于E,连接AE,这样就构造出等腰4CE,和一个特殊的直角4BE,其中，A
5、EB=30.同样的方法,如果RtABC中,NACB=22.5。,那么,我们就可以通过同样的方法去作辅助线。构造出等腰直角ABEe如下图所若NACB=22.5。,那么,NAEB=45。,ABE是等腰直角三角形。例:求Ianl5。的值。【解析】要求tan150,需要构造一个含有15。角的直角三角形。然后通过作斜边的垂直平分线，构造出外角是30。角，这样就方便进彳打算了。【解答】解:如图,做个一含有15。角的直角AABC,其中.乙ACB=15。作AC的垂直平分线DE角BC于E点,AE,那么,AE=CE,NCAE=/ACB=I5。，：.NAEB=30。，设AB=a.则BE=43a,AE=CE=2a,B
6、C=CE+BE=(2+3).tanl5q=7r-=23.BC(2+3)【变式1如图,ABC中，NBAC=I5。，NACB=30。,AC=2五,求BC的长【变式2已知ABCyBAC=45,AC=AB,AD1BC于D.BC=6求AD的长.题型方法4:遇见75。,105。角时,过顶点作垂直在边角计算的题目中，如果题目出现75。,105。角，我们的辅助线做法往往是过75。，105。角的顶点往对边作垂线。辅助线做法如下图所示：通常情况下，这条辅助线把75。角分成两部分，分别是：30。角和45。角。或者，把105。角分成两部分，分别是60。角和45。角。这样，就方便我们进行计算了。例：已知ABC中,H=4
7、5。,NBnC=75。,AC=8求BC的长.【解析】已知有75。角,那么过其顶点A作BC边的垂线AD,将，75。角分成两部分。【解答】解:如图,作ADXBC交BC于点D,根据题目条件,ZB=450,：.ZBAD=450,又NBAC=75,：乙CAD=30,在直角三角形ACD中,AC=8,.CD=4tAD=43,而ABD是等腰直角三角形，:BD=AD=43.:BC=BD+CD=4+43.【变式1已知4BC中,“=105,NB=30,AC=30,求BC的长.【变式2】已知ABC,F=6,4C=2,C=3+1,求NA的度数题型方法5：遇见120。,135。,150。角时，找邻补角在边角计算中，如果题
8、目中，出现120。,135。,150。角时，我们辅助线的做法往往是过通过外角，构建特殊的直角三角形。如下图所示：我们知道，120。,135。,150。角的邻补角是（60。,45。,30。角，所以通过这几个角，我们就可以再作一条垂线构造含有这些角的直角三角形了。【解析】题目中有NB=135。，那么需要找其析卜角，又知道tan4=刍那么需要将乙4放到直角三角形里。所以，可过点C作AB边的垂线CD,这样既实现了找到乙B的邻补角45。,并且把NA和这个45涌都放到了直角三角形里。【解答】解:如图,作（CD14B交AB的延长线于点D,根据题目条件，乙B=135。,，ZCBD=45o,，三角形BCD是等腰
9、直角三角形，又BC=4,CD=BD=4,又tan=.,.AD=IO.AB.:SABC=aB*CD=12.【变式1】如图,已知ABC中,43=V10,AC=yS,BAC=135。,求BC的长.【变式2】如图,已知ABC中.AB=5,AC=3,ZBAC=120.求Be的长.题型方法6：解直角三角形【常见图形及解题方法】1 .如图，两个直角三角形靠墙。A解题方法：在RtABC中,AC2=AB2-BC2,在RtAADC,AC2=AD2-C*那么,可列方程AB2-BC2=AD2-CD）即可求解边长。2 .如图，两个直角三角形背靠背。解题方法:在RtABD中,4。2=AB2_802在RtADC中,人加=a
10、c2_以）2,那么，可列方程AB2-BD2=AC2-CD2,即可求解边长.3 .如图.梯子从CE滑行到DF。解题方法:梯子长度不变,即CE=DF,那么,在RtCOE中,CE2=OC2+0E?在RsDOF中,DF2=OD2+OF2.那么，可列方程（OC2+OE2=OD2。尸,即可求解边长.4 .如图,秋千从AB处,荡到AC处.解题方法:绳子长度不变.即AB=Ac那么.过C点作CFAB于点F,连接BC.利用公共边CF列方程求边长，下方四边形CEDF是矩形。例1：如图,在ABC,AB=14,BC=15,AC=13,求AABC的面积.解:过点A作ADBC交BC于点D,如图所示：设BD=X,则CD=l5
11、-x.在RtABD中,AD2=AB2-BD2=142-x2,在RtACD中，AD2=AC2-CD2=132-(15-x)2,142-x2=132-(15-x)2,解得：X=尊此时402=W-偿)、售)：.56AD=,ABC的面积=IFCX=I15y=84.例2:一架梯子AB长2.5m,如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m.(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了04m那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？A、CBBt【解答】解：AB=2.5m,BC=0.7m,：.AC=yAB2-BC2=2.4m.答：这个梯子的顶端距地面有2.4米；在RlCDE,VCD=AC
12、-0.4=2.4-0.4=2m.DE=2.5m,.CE=yDE2-CD2=2.52-22=1.5m.*.BE=CE-BC=1.5-0.7=0.8m.答：梯子底部在水平方向滑动了08米.【变式1如图,在。ABC中,ADlBC,AB=20,BC=21,AC=13.求AD的长.A【变式2如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为()【变式3】如图，梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置，BD长0.5米，则梯子顶端A下落了米.C【变式4】梯
13、子靠在墙上，梯子的底端A到墙根。的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C,使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D.那么BD()A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.以上结果都不对【变式5】如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC1BC,AC=8C,当悌子的顶端A沿AC方向下滑X米时，梯子B沿CB方向滑动y米,则X与y的大小关系是()A.x=yB.xyC.xyD.产角定【变式6如图.在RtABC,ZC=90o,D为BC上一点AB=45,BD=AD=5.求CD的长题型方法7：格点问题【题目特征】在正方形网格中的计算问题【常见问题及解题方法】问题1.求边
14、长、周长。解题方法：过线段两端点，分别作横线和竖线，把线段放到直角三角形中，两个直角边数方格就可以得到，然后利用勾股定理即可求边长。问题2.求角度.解题方法：求出三边，然后利用勾股定理逆定理求角度。问题3.求面积.解题方法：如果是直角三角形，确定出直角边，利用面积公式求边长。如果图形是不规则图形，利用割补法求面积。过最高、最低点作横线，过最左、最右点作竖线，这样就把图形补成了一个长方形,然后利用长方形面积减去四周空白图形的面积。问题4.求高。解题方法：利用等面积法。用底和高表示面积，再用割补法表示面积，两个面积相等列等式求高.例：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶
15、点叫格点，已知C是网格中的格点三角形.(1)求BC的长：求/?C的面积；(3)求Be边上的高.解：(1)由图可知:BC=12+42=17.如图：SABC=S的族DBFTBCF-SABD-SACE=44-l4-24-23=16-2-4-3=7.过点A作AHlBC于点H,：Sabc=TXBCXAH,.7=I17.TH=噜,BC边上的高为【变式1】如图，在4x4正方形网格中，每个小正方形的边长都为I.(1)求线段AB的长：(2)求NABC的度数.【变式2】如图.在:33的网格中，小正方形的边长为1,连接三个格点得到ABC.(1)求448C的周长；(2)BC边上的高是多少？【变式3】如图，四边形ABC
16、D的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1.(I)FC=,AD=,连接BD,判断ABD的形状为一三角形；(2)求四边形ABCD的面积.【变式4】如图，每个小正方形的边长都为I.(1)求四边形ABCD的周长及面积；(2)连接BD,判断BCD的形状.题型方法8：蚂蚁爬行路径一、长方体最短路径如图的长方体盒子，蚂蚁从A爬行到B点的最短路径是多少?I.第一种爬行方式：对应的最短路径：2.第二种爬行方式=2+(b+c)2展开后展开后展开后展开后对应的最短路径=Ja2+(b+c)3 .第三种爬行方式对应的最短路径=c2+(+by4 .第四种爬行方式对应的最短路径=c2+(+by5 .第五种爬行方式
17、展开后对应的最短路径：=Jb?+(+c/6 .第六种爬行方式对应的最短路径=2+(+c)2.综上，最短路径=/最长边2+(中长边+最短边区二、圆柱体最短路径如图，圆柱底面半径为r,高为h,AC为底面直径,BClACf蚂蚊要从A点爬行至B点,爬行的最短路径长如何计算。把圆柱侧面展开如图所示,那么AC=11r,所以，最短路径AB=Jh2+(11r)2.三、楼梯最短路径如图，楼梯的垂直高度为BC,水平长度为AB,楼悌的宽度为AD,蚂蚁要从D点爬行至C点，爬行的最短路径长如何计算。把楼梯面展开如图所示，所以，最短路径为：DC=JAD2+(AB+BC)2=J；楼梯宽2+(水平距离+垂直距离)2.【变式I
18、】如图.长方体盒子的长宽高分别是15、10、20BC=5,一只蚂蚁要从A点爬到B点，爬行的最短路径为.【变式2】如图，已知圆柱体盒子的高为10,底面半径为3,一只蚂蚁从A点爬行至B点的最短行走距离是.【变式3】某会展中在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要一元，一只蚂蚊从D点爬行至C点，最短路径是_m.题型方法9:直角三角形翻折问题在翻折问题中，常需要利用勾股定理列方程求解，那么如何设未知数呢？一般情况下，设翻折前的某一边(不是折痕)为X,然后利用翻折的性质表示其他边长。根据那个直角三角形列方程呢？通常，根据未重合
19、部分的某一直角三角形，利用勾股定理列方程。翻折类型一1.图形:2 .条件及问题:如图在RtABC中.NC=90。,将Nc沿着AD翻折.AC边刚好落在AB边上.C点落在E点处。若AC=m,BC=n,则CD=,BD=,AD=3 .解题方法：设CD=X,那么BD=n-x,根据翻折的性质.AE=AC=m,DE=CD=X,根据RtABC,利用勾股定理可得：AB=m2+所以，BE=m2+n2-ml在RtBDE中，根据勾股定理列方程：X2+(m2+n2-m)Z=(m-x)2.(翻折后，未重合部分是RtBDE,所以，利用它的三边列方程)翻折类型二1.图形:4 .条件及问题:如图.在RtABC中,NC=90。,
20、将NB沿着DE翻折,B点刚好和A点重合.若AC=m,BC=n,则CD=_,BD=AD=_.5 .解题方法：设BD=x,那么CD=n-x,AD=BD=X,根据翻折的性质,AD=BD=X,根据RtACD,利用勾股定理可得：n2+(n-x)2=x2.(翻折后，未重合部分是RtACD,所以，利用它的三边列方程)【变式1】如图.有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将ABC折叠,使AB落在AE处,折痕为AD,则BD的长为.【变式2】如图、在RtABC中,ZC=90o.AC=16,BC=12,BCO沿着BD折叠.使C点落在边AB上的点E处，则折痕BD长等【变式3如图在RtABC中.ZT=90。
21、,AC=6,BC=8,AD平分Z84C,则BD=CD=,AD=.题型方法10：矩形翻折问题翻折类型一：1.图形：6 .条件：如图，将B点沿着AE翻折，翻折后落在对角线AC上的F点处.7 .解题方法：设BE=X,用X表示出其他边长，利用！RMCEF三边关系，建立方程，求出x.翻折类型二：1.图形:2 .如图.将D点沿着AE翻折.翻折后落在BC边上的F点处.3 .解题方法:设DE=x.用X表示出其他边长,利用RtCEF或RtABF三边关系,建立方程，求出x.翻折类型三：1.图形:4 .条件：如图，将B点沿着对角线AC翻折，翻折后落在矩形外的E点处，CE和AD交于点F.5 .解题方法：在这个翻折模型
22、中，先利用翻折的性质得到：ZACE=ZACb,再利用平行的性质得到：NCAD=NACB,所以NCAD=NACE,从而得到AF=CF,n三AF=CF是解题的关键。一般情况下，长方形的长和宽是已知的，所以设DF=X,所以,AF=CF=K-X.然后，用X表示出其他边长，利用RtCDF或者RtAEF三边关系，建立方程，求出x.翻折类型四：6 .条件：如图，将AB边沿着EF翻折，翻折后使得A点和C点重合，B点落在G点处。7 .解题方法：在这个翻折模型中，先利用翻折的性质得到：AEF=CEF,再利用平行的性质得到：NAEF=NCFE,所以NCEF=NCFE.从而得到CF=CE=AE,找到CF=CE=AE是
23、解题的关键.设AE=x,所以，CE=CF=x,DE=K-x,FG=BF=1K-X,然后，用X表示出其他边长，利用RtCDE或者IRtCFG三边关系，建立方程，求出x.【变式1】如图.在矩形ABCD中.AB=6,BC=10,将矩形沿着AE折鲁,使点D落在BC边上的F点处,则（CE=.【变式2】如图,在矩形ABCD中,48=6,BC=&,将矩形沿着AE折叠，使点D落在对角线AC上的F点处，则BE=.【变式3】如图,在矩形ABCD中,AB=6,将矩形沿着AC折叠，使点B落在E点处，IDB4F=1:2,则DF=.【变式4如图.在矩形ABCD中B=6,BC=10,将矩形沿着EF折叠，使点A与点C重合，则
24、CF=题型方法H：赵爽弦图一、内弦图I.图形:2 .条件：4个全等的直角三角形如图摆放，3 .结论：外围是一个大的正方形，里面是一个小的正方形0两个正方形的中心点是重合的。二、外弦图1.图形:2 .条件：4个全等的直角三角形如图摆放，3 .结论：外围是一个大的正方形，里面是一个小的正方形.两个正方形的中心点是重合的。【变式1如图在ABC中,NABC=90。,分别以AB.AC为边向外做正方形ABCD和ACFG,连接EF,若AB=12,BC=16,求AEG面【变式2】如图,在四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD上,连接CE,以CE为边做正方形CEFG,点D.F在直线CE同侧,若AE=】,求BF的长。【变式3】如图，防形ABCD的边长为5,AG=CH=4.BG=DH=3.连接GH.则皖GH长为一【变式4如图以】Rt48C的斜边BC在48C同侧做正方形BCEF,该正方形中心点为O,连接OA,若48=4,04=6,求Ae的长。
