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1、专题反比例的教K的八种几何模型及解法模型介绍才点1一点一叁微模型【模型讲解】反比例函数图象上点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点围成的：角形面积等于!kt示例】【例1.如图.已知动点A.8分别在X轴,、轴正半轴上.动点产在反比例函数y=2(x0)图象匕X用.轴.阳B是以PA为底边的等腰E角形.当点A的横坐标逐渐增大时,朋8的面积将会()A.越来越小B.越来越大C.不变D.先变大后变小耨：如图,过点8作8C1.于点C设点P(.r,X11cVAS/M=-iBC=ix=3.当点A的横坐标逐渐增大时，用8的面枳将会不变，始终等于3,故选：CA变式训练【变1-1.如图，点八、8在反比例函数y=区
2、的图象上，过点48作X轴的垂线，垂足分别是M、N,射X线AB交X轴干点C,若.W=AW=NC四边形AMNB的面积是4.则k的值为-.解：设()M=a.则OM=MN=JVC=.:点A、B在反比例由故y=区的图。匕M1.OC.BN1.OC,XAAjW.8N-Fa2a：SA0C=SERN+SNC八MN/StJMC.：.-3-+42a2*得a=一苧.i.-r.,J:*5【变1-2.如图.在第嘘限内.点尸（2,3）,M,2）是双曲现产区（0）上的两点，4”轴于X点A,MB1.x轴干点8,用与OW交于点C，则ZXOAC的面积为设宜城的解析式为Fmr.把M代入得3m=2,解得，”=告，3所以直被OM的解析式
3、为y=-1,v=2时.y=-2=-.所以C点坐标为（2.-）.所以AOAC的面机244.233故选：B.考点2一点两叁线模型【模型讲解】反比例函数图象上,点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面枳等于K.示例【例2】.双曲线y二与y=色在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的史城分别交双曲线于1XX解:设直线A8与X轴交于点C：48)轴.二AC1.x轴.Cx,2点4431似尸凶的图象上,X，八”。的Hl闰！-10-5.2,:悬B在双曲或y=R的图处上.X，ACOB的而枳=6=3.AOB的面枳=ZiAOC的面积-COfl的面积=5-3=2.【变27.如图，函数、,=2(0)和y*(,r0)的图象
4、分别是A和匕设点尸在/2上，B4y轴交XX/1于点A,PBfix轴交/1于点B,用B的面积为二解；设点P（/,则点8X4XX.11p-rX_3IP_41_3li-X.Ar.44XXX,i-PAP=4x-224x8故答案为：得.8【变2-2.如图，真或八5”轴，分别交反比例函数尸?和y与k-=4,故答案为：4.【变2-3.如图，在平面直角坐标系中，M为）轴正半轴上一点,过点M的宜段/X轴,/分别与反比例函数、=K和丫=9的图象交于八、8两点，若SMoB=3,则k的值为-2.XX解：.直跷/、轴.Alytt.轴.-s,z,fSi.-7X4=2,w三I，=2.V.正方形”)林的面积为16.二八的边长
5、为4.：.(x-4.4).TBF=IAF.:81=2X4=8,：.B(x,12).8、E八反比例函数Y=区r月”数，0)的图依卜.X，4(-4)=IZnA变式训练【变3-1.若正方形。八8C的顶点8和正方形八。口的原点都在函数y=K（kO）的图象匕若正方解厂；正方形OABC和各个预作一反比例函较花&JH正方形CMBC的边长为1.，8点坐标为：（1.1.设反比例函数的解析式为Vh区：Xx）*=A=1.设正方形ADM的边长为5则（/a）.代入反比例函数y=0）得：1=（I+=4S：Rimc=4IScSi=S-AEtS3kS+S2=8-3.4=4.6故答案为：4.6.【变3-3.如图,在反比例函数y
6、=2(x()的图象匕有点修.P2.凸.P4.-它的的横坐标依次为X1.2,3,4,.分别过这些点作A轴与F轴的乖战，图中所构成的阴影部分的面枳从左到右依次为*,52.S3.则S+S2+Sa+S“=_a_.(用”的代数式表示.”为正整数)n+1解：当X=I时.Pl的纵坐标为2,当=2时，灯的纵坐标1,当X=N时，/0的纵A陶W,3当x=4时.网的纵坐标.当x=5时,上的纵坐标看.3H1S=1(2-1=2-I：S2=l(I-14：33*IX=2-l+l-4f-*-=33445nn+1n+1n+1故答案为：-.n+1考点4两点一线模型【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交戊及由交点向坐标轴所作垂
7、线用成的三角形面积等于k,反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成：.角形的面积，等于坐标轴）所分的两个：.角形面枳之和.【示例】【例4】.如图,正比例函数y=M与反比例函数y=-g相交于A.C两点.点A的横坐标为-4,过点4作X轴的垂线交X轴于8点,连接BC.下列结论：人=-：不等式MV一旦的解集为-44:的面积等于16.其中正确的结论个数为A.O解：符*=-4代入产-包得产D.3，点A坐标为-4,2).-4.2）代入y=h得2=-4.解得Jk=Ii.由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为(4.-2)二当4V4时.ikr-,VSu=Soh+SH=-BOV-yc）=y4（2+
8、2）=8.用误.故选：C.,变式训练【变47】.如图所示，一次快数y=心j11,.i故答案为：2.【变4-3.如图,函数y=x与二三的图象交于A、B两点,过点八作AC垂比于轴,垂足为C连接BC.若S；、,ABC=3,则Q3.Y函数Y=X1.jY=K的图皱的中心时林性，X(-a-d).SABC=-a2a=(=3.*=V3：.A-4.故答案为：4.A变式训练【变57.如图，一次函数F=M与反比例函数y上的图象交于A,C两点，A8,、,轴，BC/x若解:设AB交X轴于点DIllfi比例函数系数的几何意义：）对Szdo的而枳吟1.由的数的对称性可得点O为Ac中点,即IX）为中位线.sADO1=sABC
9、4：.S1ABC=4S.ADO=2=4.*0）与反比例函数V=的图象交于A，C两点，过点A作K轴的X垂线,交K轴于点从过点C作X轴的垂线,交X轴于点/）.连接4OBC,则四边形A8C。的面枳为解；八、C是两函数图敛的交点,A,C关于眼点对称，VCDSill.XflXxttl,(M=CXOB=OD.:S.、八OK=SeBoC=S,l)OC=S.人。D比例函数）=工的图象上,X*S11iIKD-4S.AOB-4-2故答案为：2.【变5-3.如图，直线分别与反比例%数）,=2和V=W的图象交于点A和点,与y轴交于点R且PXX为线段A8的中点作AC1.r轴于点C.8。1.t轴交于点。,则四边形A8CO
10、的面积是解：过点4作AE1.）轴.承足于点尸：过点8作8以1.y轴.提足为点,:点.P&AB中点.J.PA=PB.又Y/APF=NBPE,NAFP=NBEP=90,PFPE.:S.APF=S：*PE.S八NQAefT)=SN,i.CFShjJEOMseI23=5.故答案为：5.考点6反比例图数上两点和外一点模型【模型讲解】反比例函数与一次函数图象的交点和原点所困成的三角形面积，若两交点在同一分支上用减法.方法二:作AEIX轴于点E,交OB于点M,MIX轴于点E则SAQM/=“明皿（划归到模型一）则SM【拓展】BEIiF方法一当在或在时则SW三=方法二：作EM，K轴于M,则&。怀=SO（M:皿”
11、（划归到上一个模型示例.【例6】.如图.一次函数y=ar+b的图象与反比例函数F=三的图象交于A.8两点.则Smob=)解：把A(-4,I)代入Y=K的得：A=-4.X.反比例函数的解析式是V=XVB(I.n)代入反比例函数y=-冬得：m=-4,X，。的坐标是(14).把A.8的坐标代入-次函数产r+b咕4a+b=l.la+b=-4解得：=-1.b=-3,二一次函数的解析式是y=-3;把X=O代入一次函数的解析式是F=-X-3y=-3,：.D1.轴于,：.Sout.=.,H=6.V*0.：.k=-6.故选：C.【变6-2.如图，在平面百角坐标系中，反比例函数y=K与真城V=XD.6告X交于A.
12、小X柏的正半轴上有点C使得AC8=90,若AOCQ的面枳为25.则4的值为解：设点A坐标为3“，4）.由反比例函数图望与正比例函数图象的对称性可用点B坐标为（-W）.(OB(3a)2+(4a)25rtVZACB=W,。为A8中点,：.OC=OA=OB=Sa,设直线8C斛析式为F=Jtr+.将-3.-4“),(5,0)代入,=心+，刊(“al=5ak-kJ-K2解得IK.Ha=f-n点D坐标为(0,-),SocdOCODX50Ia=25,222解得“=2或=-2(舍)，二点A坐标为,*=68=48.故答案为：48.【变6-3.如图，正比例函数y=-会与反比例函数）=上的图象交于A,B两点，点C在
13、X轴上，连接AC.BC.若AC8=9r,八BC的面积为10,则该反比例函数的斛析式是一二巨；点C为X轴上点，NAC8=90,且AiCg的面枳为20,.=-苴,.二点A为=-色.X故答案为：F=-9.X考点7反比例函数上两点用原点模型【模型讲解】反比例函数与一次南数图破的交点和原点所图成的三角形面积,若两交点分别在两个分支上，用加法.【示例】方法一：SaAoa=；ODXH-XI=OCI-Viv.方法二：S-A.方法三：作AE1.轴于点EHF1.r轴于点八延长4E与EF相交于点M则S.JOB=S.ABK-SM）f:S.OBt-SSrOEVF.【例7】.如图.出城A8交双曲线y=K于A、B,交X轴于
14、点C8为线段AC的中点.过点4作8M一X轴TM.连接。.若。M=2MC,S04C=12,则的俏为8解：过4作4V_1.C于M,：BM1OCANBM.V,8为AC中点，M.V=.WC.：OM=IMC.：.ON=MN=CM.设A的坐标是.则n(%.o,.Smc=12.3力=12)2ft=8.J.k=ab=3.故答案为：8.A变式训练【变7-1.如图，在以。为原点的出角坐标系中，矩形OA8C的两边OC、OA分别在K轴、）釉的正半轴I-.反比例函数y=K(XO)与A8相交于点与8C相交于点从若8O=3AO.且四边形“。8E的M：设。力：的横坐标为X.叱其纵”标为K.X卬)=344.小8点的坐标为X：S
15、114?OIWE=21:SawABCDS-OC1.SM=2I.gp4工上=21X22解得：=7.故谷案为：7.变7-2.如图，点A(,4),B(3,m)是Cl线A8与反比例函数yq0)图象的两个交点，ACA-Slb垂足为点C已知。(0,I)，连接AC,BD.BC.求反比例函数和M戌A8的解析式；在反比例函数F=T(AO)图象上3.w=-4-6.2二反比例函数的解析式为y=包0),X将点8(3.ZM)代入V=(0)并解窗，”=2,X(3.2).设立战AB的表达式为y=U+b,3 42k+b=4,解得，k=3.3k+b=2b=6二日战AS的表达武为,=x46;.B知，点A,8到。E的距离分别够3,
16、.S2=5b-5tn=53-y5=学才点8两双曲线k值符号不网模型模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行.求这两点与原点或坐标轴上的点用成的图形而积，过这两点作坐标箱的垂战,结合人的几何意义求解.类型I两条双曲线的A值符号相同【示例】【例8】.如图.在平面出角坐标系中.函数Y=M与y=上的图象交于A、8两点.过A作丫轴的垂线.交X解：.正比例函数y=质叮反比例解数丫-2的图象交点关门京点对称.X，设A点坐标为(x.则8点坐标为(7.2),C(-2*.-2).XXXSAc=x(-2r-x)-)=X(-3x)=6.2XX2X故选:D.A变式训练【变8-1.如图.过X轴正半轴上
17、的任意一点死作F轴的平行线,分别与反比例函数)，=2x0)和VX=-0)的图象交于从八两点.若点C是轴上任意一点,则4A8C的面枳为(XA-3B-6C.9D-解：设/（“.0）,“0,则A和8的横坐标都为小将x=0代入反比例函数Y=一且中得：V=.故A（G-旦）：Xaa将x=0代入反比例函数v=3中得：=8.HlR0)和V=(xO)的图象I：的点.AB1.r轴,XX点C为y轴上一点,若SMSC=2,则Iit-1的值为4.:AB1.r轴,点C为、轴匕一点.8y轴.；.StaBC=S380=2,.mInI,122；号=2,即r-=4.故答案为：4.实战演练I.如图,RtZSA8C的顶点A在Xi曲规
18、Y=K的图象上，直角边BC在X轴上，/A8C=90,AC8=30.X0C=4.连接0&NAO8=60,则的值是）A.*3B.-43C.23D.-23解：VZC=30*.ZAOB=60.ZOAC=ZAOB-Z4C=30*,ZOAC=ZACO,J.OA=OC=4.在AAOB中,A8C=90.ZAOtf=60t,OA-A.Z0的图象经过C,。两点，若/COA=,则人的伯等于（）X2tanaA.8sin2B.Scos2aC.4tanaD.解：方法一：过点C作OA点E,过点D作DFOA交OA的延长线于点F.设C点横坐标为：.则：Cf=atana.二C点坐标为：(o.atan).V平行四边形OABC中点D
19、为边AB的中点,，。.点纵坐标为：-(ana.设D点横型标为X.VC.。都在反比例函数图以上,awtana=a-irtana.2IW得：x=2a,则FO=2.：.FE=q,：/COE=ZDAF.NCEo=NDFA,SESAdaf、.CE_EO_,DFAF.af=A,：.AO-()F-AF=(t.点A的坐标为(3,0).AO=3.解得，a=2.，A=0tan=22an=4(an.方法二IVC(.(3O).：.B(+3.ma11):。是线段A8中点，：D(a+；+3,-iiano),IUD-Han0).；反比例函数过C,Dlul.,.(.*=uman=+6)*-X(Hana.解得=2.=4(an.
20、故选：C.3.如图，在直角坐标系M中，点A,8分别在K轴和y轴，-=-.NAO8的角平分线与OA的垂宜平分战交于点C，与AB交于点D,反比例函数y=K的图象过点C.当以CC为边的正方形的面积为？时，X7k的值是()解：设。4=3mWJOB=Aa,A(3.O),B0.4).设直线AB的解析式是y=HM.则根据题意得：(3ak+b=0.lb=4al4l=Tb=4a!lf,(B的解析式是y=-44.W出线CUZAOH的平分线,则OD的腕析式是FX.y=x4y=-yx+4a12涧得:则。的空标是(竿a-y-a)OA的中重线的解析式是=a则C的坐标是(yaya)将C点坐标代入反比例由ft.V一三.MJi
21、=a24设OA的垂出平分线交X轴干点下,过点D作DEIXDfc于点E,1图,V/DOA=45,：CO和为等腰fl角二角形.OC=2F=-.OD=y2E=12.：.CD=OD-OC=2-,/以CD为边的i方形的向积衅.,32、22-(1Ta)7,则O2等可噂=74.如图,已知第一飘限内的点A在反比例函数=2的图象匕第二象限内的点8在反比例函数）=K的XX解:过人作Af1.X轴，过8作WMX釉.D.-23OAlOB.A()B=r.ZOF+ZEOA=90,：/8“尸+8”=90.：.ZEOA=ZFHO.YN8FO=NOE=90.,.BFOOEA,fy.RiAOfiI.cosZBO-y-.hj3i：a
22、ii,根据句般定理行.no2：.()B：OA2:I.:S,BFSS.,Of-A=z2:1.Y在反比例函数Y-I.X:S2=I，*S仲=2,WJ*三-4.故选：.y5.如图，反比例函数y=Kvo）的图象经过点A（1）,过点八作A81.轴，垂足为8,在y轴的X正半轴上取点P（O,r）.过点P作自然。八的垂找/,以真战/为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B,在此反比例函数的图象上，则，的值是（）解：如图.；点八坐标为（7,I）.：.k=-IXI=-I.X 。川5为粤腋人知三角形，ZAOB=45i9JPQ().ZOP(2-45, 点3和点B关于出线，对称.,PB=PB.BB,PQ.Z,PQ=/OPQ=
23、4寸,NBP=90tBP1.vWhi.的坐标为0)的图X解：A与C关于。B时称.-A的坐标是(3,2).把代入y=区得；2=.X解得：*=6.故选：D.1.如图，峻产卷与双曲线y=K(*0,.v0交于点A,将宜城UX向上平移4个平位长度后,与),粕交于点G与双曲城)=区(.k0.x0交于点B,若。t=38C典Ik的值为()解：.将rt=X向IT移4个，m发：1.jIlll交i-.,.,C,.T=,ri11jtVf1-y.分别过点A、8作AO_1.x轴，Elxfe,CFlBE，点F,设A(3*,OA=3BC.BCO.CFxSil.SCFSAAOD,.CF=：,.IiflZily-3x亳r=x(.
24、v+4),豺阀;=1.*=3ll=.228 .如图.已知四边形AbC。是平行四边形.HCIAH.A,8两点的坐标分别是(-1.0).(0.2).解：设点C坐标为(fl.”2*.(0./0),-a(2+Z=-I-rt),整理得2crah-b+ab.解得b=2i.过点。作轴垂线.交X轴于点,在直角三角形4。4中.由已划易得八/）=的.AH=a.DH=b=2a.ADJA+。卬.即20-（）的图象上,直线外分别与X轴3轴交于点A.B.UBE：BF=I:X2m.过点作EP1.y轴于P.已知（龙P的面积为I,则A侪昆2,OEF的面积足_旦二_用Tn含m的式子表示）解I作C_1.r轴干C.FDlxfD,FH
25、1.yttlf/.如图.；AOEP的面积为I,，和=1，而AO.=2.反比例的教解析式为y2XVEPlyh.FHIy轴，：.EP/FH.XbpesMhf.PE_BE=1“HFBFm即HF=mPE.12/；,-.liJj.ttm*.SOiJ+S=OR=S.QEC+SM.ECM.而S4ofd=Sgqec=I.1OO.Soa=SIM2(.)lm-)2tmt10.如图，在RlZiOS中，OA=4,八8=5,点C在O八上，C=l,OP的圆心P在线段8C上，且OP与边AB,Ao都相切.若反比例函数）=Ka0）的图象经过圆心几则*=_&_.X4解：设0。与边A8.Ao分别和切干点从I）.连接。从PD.PA.
26、如图所示.则仃01.3.PE1.AB.设。尸的半径为八.4B=5ACl.：.S”户。=当8PE=与r，S)IM=4AC0O=r.2222VZ4O=9().OA=4.AB=5.:.()8=3.s-4八CO8=X1X3=W222*.eS、BC=S6人P犀SfZ4加j：PDlOA.ZAOB=iX).：.NPDC=NBOC=90.,.PDBO.：.&PDCsABOC.PD=CDBOOC.PDOC=CD*BO.：.X=3C72.cd=4-.2：.OD=OC-CD=3-=.22.点P的眼标为母y.fl:例戌故y=区(A0)的.一”XII.如图，QA8C是平行四边形，对角战08在轴正半轴上，位于第象限的点A
27、和第二软限的点C分别在双曲线Y=气和y=丝的一支上，分别过点A、C作X轴的垂线.垂足分别为/和M则有以下的结论：XXAM.klIg阴影部分而枳吟（Jtl+Jb:当4OC=90时，IAiI=IAaI:举解：作AJ_y轴于ECFlyiY四边形CMBC是平行四边形ISAoBSeOBAE=CF.，OM=OV.YS,o*h*h=OA九AMIkIl备E而S11M-il、，S二：.：.=SMMSfwe2由于A如图,，SO=京=ONCM小0,*20.,.SR|i；t：-(Al-2),故僧误:当AOC=90,二四边形。48。是坦形.不旋确定OAOC相等.而OM=OM，不能划断4IO.M空ACNO.不能判断AM=
28、CM.不能确定同=I卬故锚阳若OABC是差形.则OA=OC.而OM-ON.RtOfRtCVO.：.AM=CN,ll=IfaI.1=-2.两双曲线既关于X轴对称.也关于轴对称.故正确.故答案为：.12.如图，在平面史角坐标系WJy中,已知出线/：Y=-X7,双曲戏、=.在/上取一点4.过4作XX轴的垂纹交双曲规于点明，过用作N轴的垂线交/于点A2,请继续操作并探究：过A2作X轴的垂线交双曲线于点也，过82作),轴的垂缓交/于点Aju，这样依次得到/上的点Ai，42,Al，4.记点4的横坐标为如，若n=2,则G=-,ca=：若要将上述操作无限次地诳行下去，则m不可能取的值是Oi-I.8l的纵坐标和
29、A2的纵坐标相同,则小的横坐标为G=-用的横坐标和曲的横坐标相同,则出的纵型标为S=-Bz的级坐标和方的纵坐标相同.则山的横坐标为G=22-31-3出的横坐标和Ba的横坐标Nl同，则由的纵坐标为M=-3.队的飒坐标和.44的纵生林相同.则人的横坐标为“4=2.i的横坐而；和&的横坐标相同,则&的巅坐标为*噎即节m=2时，4-5zz2 323.2013:o7!.3.1.,1.=m=-：点小不能在y轴上（此时找不到Bi）,即x0,点4不能在“釉上（此时A2,在y轴上,找不到BP，HPy=-l0.解得：W-1：练上可得m不可取0、-I.故答案为：-0.-I.NJB.求出所有符合条件的点P坐标.的图象
30、与反比例函数y=K（x0的图象交于点A（,3），Uy轴交广点1求“，A的值;Il戏。过点A,与反比例函数图象交于戊C,与K轴交于点。，AC=AD,连接CB.点。在反比例函数的图望上，点Q在X轴上，若以点A.B.P，Q为顶点的四边形是平行四边形，谓a+l=3*u=41把x=%产3代入y=K褥=12:点八（4.3,。点的纵坐标是O.AD-=AC.点C的纵型标是3X2-()=6把产6代入尸卫得x=2,XAC(2.6).作粕于交八8子E,X=2Ht.y=X2+1=2，：.E(2.2).VC(2.6).Cf=6-2=4,Saabc4的界4X4=8：当A是对角彼时，即：Inl边形ApBQ是平行四边形,V4
31、(4.3),B(O,I),点。的纵坐标为0.,.y=l+3-0=4.当v=4时.4=卫.Xx=3f：.P(34)当AB为边时.即：四边杉48QP是平行四边形(图中的(M8QP).IhyQ-y=yp得，O-Iyp3,r=2.当=2时，x=-y=6.Af(6.2.综上所述：P(3,4)或(6,2).14.在平面直角坐标系中,已知一次函数1=hr+b与坐标轴分别交于A5,O).B0,-)两点,且与反比例函数y2=?的图象在第一象限内交于RK两点,连接ORAOW的面枳为,1)求一次幽数与反比例函数的解析式.当.v时，求X的取值范阻.(3)若C为线段A上的一个动点.当PC+KC最小时.求APKC的面积.花：，U次田故W=N+/,1”吐卜八(5.0),B(O.)两点,.一次函数的解析式为：W-.ZiCAP的面积为4.,.-OAVP=T1.24；点。在一次函数图象上.-=4.解得X=4,222；点。在反比例函数理=?的图
