《专题72 三角形中的新定义问题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题72 三角形中的新定义问题（解析版）.docx（56页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、例题精讲【例1】.通过学习:角函数，我们知道在上角；.角形中,个就角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的可以在等极三角形中建立边角之间的联系.定义：等IIS三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（s0d）如图.在回（?中,48=ACj更角川的正对记作SM这时sadA=底边BC腰AB.容易知道一个珀的大小与这个角的正对值也是相互唯确定的.根据上述知的正对定义,解下列问遨:I）SWI60=!；对于OI8O*,N八的正对值SWot的取值范围是OVSwMV2:3如图，已知C。$A=，其中/A为锐角，试求sw/A的值.解：（I）根据正对定义，当顶角为60时，等概;角
2、形底角为60，则：角形为等边三M形，则.vJ60=-1=1.故答案为：I.2）当NA接近0时，.MdA接近0.当/人接近IWT时，等候三角膨的底接近于腹的二倍，故SWM接近2.于是.必仞的取值范附是0uulA2.故答案为0swMV2.323:22当C=2E时，YA=90.8+C=90.VZC=2ZB.Z=30，ZC=60c,BC=4,/.AC=RC=2.A=3-1C=23.ABC的血枳=W=232=23：琮I.所述：ZkABC的面枳为4或23.故答案为：4或2.【变1-2.定义：如果一:角形的两个内角与B满足+2R=100,那么我们称这样的二角形为“奇妙三角形”.如图1.ACM1.ZACB=S
3、iy.8。平分NA8C求证：ZXABO为“奇妙三角形”(2若4A8C为“奇妙三角形“，且NC=80.求证：AA8C是直.角三角形；NA8CZ4BC=2Z4D.在A8C中.VZACB=SO.二/A+/ABC=180-ZACB=180c-X0=100.即A+2N48):100.：.AABD为“奇妙三角形(2证明：在AASC中，.NC=8t,Z+Z=100i.48C为“奇妙三角形二.ZC+2Z=IWi或/02NA=IO0，Z=l0oSRZA=IOe，当/8=10时，A=90,ZXABC是宜用三闲形.当/A=KT时.Nb=90.AABC是直用三体形.由此证得.AABC足口箱:角形.(3)解tYSD平分
4、NA8G：.ZABC=2ZABD.；八8。为“奇妙三角形”，二/八+2/AB/)=100或2A+A8O=I(X),当A+2NA80=100时.ZAWD=(100-402=30,.ZABC=2ZABD=.,.ZC=80：当2NA+/Uw)=Io0时，ZABD=1)-2ZA=20.,.ABC=2ABD=AQi.ZC=lo:琮上得出：NC的度数为80或100.【例2.定义：如果三角形有两个内用的差为60,那么这样的三角形叫做“准等边三角形”.【理解概念】1)顶角为1201的等腰三角形不是“准等边三角形”.(埴“是或“不是一【巩固新知】己知ZU8C是“准等边三角形二其中A=35,/090.求/B的度数
5、.【解决问即】90,工分两种情况：当NC-ZA=60,时.ZC=Z+60u=951Z=l801-Nc-NA=50”；当/C-B=60时，A=35.ZC+Z=18)r-ZA=145,.*.2Z=85,.Z=42.5：燎上所述；/8的度数为50域425：,:ZACB-W./4=30,BC=l+3.ZAIfCW-Z=60,.B=2BC=2+J3.8CO是“准等边三角形”.分两种情况：当CC8O=60时.,.ZCfiD=ZC-Wf=30.：.RD=ICD.,CDi+BC1=BD2,CD2+(l+3)2=(2CD)2.解汨：CD=退至或Ce=-维史(舍去).333当/BDC-C8)=W)时，过点。作。Q
6、A8.基足为RVZC=W.：.NBDC+NCBD=W、2ZDC=15O,.,.ZDC=75,ZABD=ZBDC-ZA=45,.8。E是等腰直加.角形：.HF：=DE.D=2W设DEBE-=x.在RIZSADE中,Z=3O,Afc3Dt3r.VRFAE=AB.+3y=2+23.解得：x=2.,.BE=DE=2,.,.W)=2=22:嫁上所述：8/)的K为斐+6或5BZA变式训练【变2-1.新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中看三角形”如图所示,8C中、BE是中城，flAFlBE,垂足为P,像58C这样的三角形称为“中垂三角形”,lJliZAfiE=30,B=6,那么此时AC的长为V7_
7、.RlPlj.VZWP=30,.,.AP=-B=3.2hp=43p=t43；AF、BE是中ta,：.AE=CE,久P为AABC的R心,故答案为3、万.1变2-2.t了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半,则称这个三角形为半线三角形.这条中线叫这条边的半线.【理解运用】如图1,在AA8C中，AB=AC,NBAC=I20,试判断aABC是否为半战三角形，井说明理由；【拓展提升】2）如图2,在AABC中，AB=AC,。为SC的中点，”为AABC外一点,连接MB,MC,若&WCAMBC均为半线三角形,且八。和MD分别为这两个三角形BC边的半线.求NAMC的度数：在(2)
8、的条件下,r,-jWD=-,AM=1,直接写出BM的长.解，（I）ZiASC是我：角形,理由如下：取。C得中点连接AdBDCYAB=AcED为BC的中点.,.ADBC.:AB=AC,ZBAC=120.AZfi=ZC=30,Rff./8=30,：.AD-AH.2，ZXABC是半莲二角形.,.AM=AN.又M八N=90,ZAMC=ZA=451.(3)由题意可知,BC=2MD3.Ih知ZsWA8gZNAC(ASA).：.MB=NC,AM=AN=,v-2.在Rl4M8C中,由勾股定理UJ得，M82+wc2=ac2,W2+2+)-=32.解知M8=2-零(仇伍，.2枚MB的体为2-隼.Slp实战演练I.
9、当三角形中一个内生P是另外一个内为的尚时，我们称此一：的形为“友好三角形为友好角.如果一个“友好三角形”中有一个内角为42,那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为42。或84或92.解：42知是.则友好角度数为42：42角是B则=2B=84.工友好角a=84：42角段不是也不是仇则a+B+42=180，所以，aj-a+42*=180*.解得a=9绘上所述,友好角度数为42或84或92.故谷案为：42或84”线92”.2 .当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中a称为“奇妙角二如果一个奇妙三角形”的一个内角为60那么这仔奇妙角形”的另两个内用的度数
10、为3妙，90或40.80.解：由题意得，当60”的角为“奇妙角时,有另一个角为30.二第三个内升为180-60-30=90；当60的用不是“奇妙角”时.设另两个内的分别为/I,Z2.11ZI=2Z2.ZI+Z2+6-.在Rl出?中.VM2=CP2+ACi.8-x)2=.r+62.x=Z,tJPC=.44WPB=PC则PC=4,11PA=PC.由图知,在RI用C中.不可能.故PC的长为：412.故答案是：4或孑.及4 .定义：说知：角形三条高的垂足形成的:角形称为垂足:.角形.在锐用.角形八8C的每条边上各取一点D.E,F.a)EF称为ZSABC的内接.用形.垂足三角形的性质：在饯用；角形A8C
11、的所有内接三用形中,周长最短的三角形是它的垂足三角形.已知,在4A8C中.点.尸分别为AB.BC.AC1.的动点，八8=4C=5,8C=6,则)尸周长的最小值为-警解:VAB-AC=5.BC=6.：.BE=CE=3.，M=Vab2-be2=4-CDAB.BF1.ACDE=EF=-ffC=3.2VSw-ACF-4-yCME.22.W=等.CF=bc2-bf2=.4Df-C.AF_DFACBC,丝.25AMEF的Jfil长的最小值=3+3噗=墨5.我们定义：等腹三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对,/).如图在ZUSC中,AB=AC顶角5的正对记作MdA,这时sad=容切知道一个角的大小与这个知的正
12、对值也是相“.唯确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题:I)Sad60=!.Saif冷=_V2_.(3如图，已知SinA=春.其中/A为粉角,试求MrfA的值.(2).vO=2:3)设A8=54.HC-3a.则AC4a.6；ABifilAD-AC-Aa,作ZM1.1.AC于点如图所示:则OE=ADsinA=4g=a,AE=AD,oosA三4=.3333CE=M-a=蓝a，CD=CE2-H)E2=J-a)+(率a)=4V10tz.,CD6.定义：如果两条战段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条战段叫做这个三角形的三分戏.(1如图，ZiA8C是顶角为36“的等膻三角形，这个三角形的三分戏
13、己经画出，判断ACAS与&C是否相似：是(填“是”或“否”:2如图.AC.AC=2.BC=3.NC=2NB.则AABC的三分线的长为一H15亚*/I3_.故答案为：是:图(2)如图3所示.CD.AF：就是所求的三分线.设8=,则OC8=DCA=E4C=.ZADE=AED=Ia.此时4A&CsAWC.ACZA(?.设八=八。=x,BD=CD=y.：AAECsBDC,.,.sy=2s3,;八CTJSAabg2：X=(x+y)：2.Xy三2t32X=(x+y)I2解得川:分戌氏分j-fit.故亨案为：-ft.7.概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角.那么称这两个三角形互为
14、“等角三角形”.从三角形不足等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分制成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“号角分割践二理解概念：DB图？1)如图1.在RtZiABC中,NACB=90,CD1.AB,请写出图中两对“等角三角形概念应用,如图2,在AS8C中,CD为角平分线,ZA=40,N8=60；求证:CD为ZUSC的等角分制战.动手掾作：(3在ZSA8C中，若A=50,(7)是AAEC的等角分割坡，请求出所有可能的/4C8的度数.:(I)C4CDAABC与ABCD.Z
15、MCTJ与伙7)是“等痢角形”：2)在AABC中.ZA=40*./8=60/AC8=18()-/4-/8=80,.C为向平分线，.,.ZACD=DCB-ACB=40.2ZCD=Z,ZDCB=ZA.,.CD=DA.在4C8C中，NDCB=40,/8=60,/.ZflDC=18():-ZDCB-ZB=WV.JNBDC-ZACH.-JCD=DA.ZBlX=/ACB.NDCB=NA.NB=B.：.CD为AABC的等角分割线：当CO足等腰三角形,如图2,D=DCW.ZACD=ZA=SO，/八C8=N8DC=50+50=100.CDWftj.如图3,DA=ACOt,NACP=NADC=65，ZfiCD=Z
16、A=504.二NAC8=50+65=115,C/)=AC的情况不存在.当CO是等腰二角形.如图%DC=8。时./ACD=NBCD-NB-180-50130当比是等腰Y角形.58答3如图5.DH=BCUf./BDC=ZBCD.设/BDC=NBCD=X.则/8=IM)-IxMZCD=Zff=180,由题总得，ISWT-Zr+50=x,解得答*5o.,.ZCD=180-2t=-.3ZACH-38.定义：在八8C中，若8C=4,AC=b,AB=c,a,一湎足“e*=/则称这个三角形为“类勾股三角形请根据以上定义解决下列问题：&：“直角三角形都是类勾股三角形是假W-或K）命题.如图I所示，若等腹三角形A
17、8C是一类勾股三角形“，AB=BC.AOAB.请求/4的度数.3如图2所示，在AA8C中，NB=2A,H.ZOZA.求证：八8C为“类勾股三角形”.志明同学想到可以在AB上找一点。使得A。=。），再作CE1BD,请你指助志明完成证明过程.（ffll）（图2）（解：在类勾股448C中，Z+=c2.RtAC.NC=90。.由勾股定理得：h2+2=c2.ah+B.=c.bc48C是类勾股三角形，.ac+a2=b2.*.r+r=2.二ZxABC是等核H角二角形.B角形.,.ZA=45；3)证明，VAD=CD.Z4CD+ZA.二NCDB=ZCOZ=2Z.:N8=24,工NCDR=/B,；CD=CB=a,
18、9：ZACD=ZA.：.AD-CD-a.D=fl-Dca.VCE1.AB9IDE=BE=A2E=AD+DE=H-d)=-(1-222cI2.(:RtfiCC中,在RACE中，CE-=AC-E2=b-.,b2-+2（r-i（c-o）J2.tr=ac+（.二八8C是”类勾股三角形”.9.我Q定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度.如图1,在八8C中，AB=AC,鳗的伯为AABC的正度.BC己知：在八8C中，八B=AC若。是ZA8C边上的动点（。与A,B,C不重合）.若A=90,则AABC的正度为_亨_：在图I，当点。在腰八8上（。与八.8不重合）时，谙用尺规作出等腰AAC4保用作图
19、热透：若aACO的正度是喙.求/A的度数.（3若NA是饨角，如图2,ZSA8C的正度为,ZA8C的周长为22,是否存在点ZX使44C7）具有正度？若存在,求出/!（?的正度；若不行在，说明理由.故答案为：冬用尺规作出等候AACO,如图I,图I作AC的中率线交AB干点D.交AC于点：.AD=CD.DEC,AC=2E.4C。的正度是哆,.AD2.=.AC2,AD-2,2AEx2.AD2aeT,在R3ZE中.设AO=扬,AE=X,二DE=VaD2-AE2=2x2-x2毋=xDE=AE.A/%是等腰直角二角形.Z4=45,.（3）存在点使ZiAB具有正度.,C的正度为,WC的周长为22,.AB3.=.
20、BC5设AB=Kr,BC=5x,KJAC=3x.八8C的周氏为22.3x+5x+ix-22.二八8=6.C=6.BC=IO.作AH_BCTH,则BH=CM=5,aw=AC2-HC2=VTl-当AD=DC时，如图2所示,设AD=rX:=y,则HD=5-由AHpHD2=AD2,得ll2=yt.解得产普,即八。=善.A()lM碟6=AC3当AC=7X7=6时.如图3所示.I)H=DC-CH=6-5=1,m=ah2+dh2=if=I2=23-：4CD的喷踪上所述,CD的正度为或i10.定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形叫做“倍角三角形”.-4n当=5M.”=也嘤三9.77,45当，=6时，&=-
21、2.44.46当，=7时，57-噢=0.61.47二当”=6时，2S63.12.定义：三角形-边上的点将该边分为两条线段.且这两条线段的枳等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点如图I.ZXABC中.点。是BC边上一点，连接A/）,若=8）则称点D是八8C中BC边上的“好点C=1，点。是8C边上的“好点求戏段的K:43如图3,ZA8C是。的内接：角形，点，在AH上，连结C，井延长交。于点孰若点，是8CO中C。边上的“好点求证：OHlBi若OHBD,。的半径为r,且r=3OH,求我的值.图I图2图3图1斜边AB的中点。与斜边AB上的湍C的垂足。均为B边长的“好点.CE-
22、AE=3a.3+4=7二=IE=CE=3.BE=4,4=5设RD=x.DE=4-.v.在RtaWE中，由勾股定理得.AD2=DE2AE2=(4-X)2+32,；点。是8C边上的“好点AD2=KDCD-(7-x).-)2+32.图3证明，点H-BCD中CO边上的“好点二：.BH2=CHHD.：ZCAfl=NCBD,ZACD=ZABD,：.Aachmdbh,.CHBHahdh.CHHD=AHBH.：.BIt1=AH-BH,1.AH=BH.：.OHIABi连接AD.设O=,则OA=M,由知，OHlAB.：.RDIAR.：./八8/)90.A。是。的宜径.：.OA=OD=3a.ft:RlAOII中,由
23、勾股定理得,AH=22a-VAMHH22aOA-OD.J.D=2a,在RlABDH中，由勾股定理得,DHBH2+BD223a.WBHz=CH-DH(22a)2=CH(23a)4.C7p,4.CH、区42DH23a313.定义I：如图1,若点H在出线/上,在/的同侧仃两条以H为端点的线段MH.NH,满足Nl=Z2.则称MH和NH关于直线1满足“光学性质”：定义2：如图2,tfBC.乙尸。R的二个顶点凡Q、R分别在SC,AC.ABh,若RP和QP关于8C满足“光学性质，尸Q和KQ关于AC海足“光学性质”，P犬和QR关于A8湎足“光学性质”，则称丛PQR为AABC的光找三角形.阅读以上定义，并探究问
24、超：在AABC中，Z=30o,AR=AC.。四三个点/人E、尸分别在&、AC,ABE如图3.若FEBC./)E和FE关干Ae满足“光学性质”.求NEOC的度数：如图4,在中，作C凡1.48于R以八8为直径的圆分别交AGBC于点,E,D.证明：aF为4A8C的光战三角形：证明：ABC的光跳三角形是啡的.A图3图4NB=ZC=15.：.ZAEF=IS.：DE和FE关于AC满足光学性质”,；./AEF=/DEC=75,AZEDC=IWr-/DEC-ZDCE=ISOi-75-75=30:(2证明：如图4中.图4：AB=AC,NA=30,；./B=NACB=75.是直径.ZADH-90,.：.AD1BC
25、,：.BD=CD.ZBDZCAD.-*.*.*.BDDE.：.HD=DE.CFA.AH.ZCFB=W.：DB=DC.DF=DB=DC,：.DF=DB=DE=DC.,.Z=ZDFB=75o,/DCE=/）EC=75,：.NFDB=,EDC=3O1.：.DF.DE关子8（：.满足光学性质.VZDEF=180-3030*=I2O,.DE=DF,1.NDEF=NDFE=30,：.ZDEF=/EDC.EFBC.ZAEF-ACB=IS1.NA户E=N8=75”,：.，AFE=ZDFB=75.NAEF=NDEC=75.FE,。关于八C商足光学性旗.EF.。/关于AB满足光学性质，DEF是为ZiABC的光三角
26、形：证明：由可知，DE=DF=DR=DC,ZEDF=IZOo.石是顶用为120,腰长为BC的一半的等腰三角形，是唯一确定的.二八8C的光战:三角形足附-的.14.新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形二如图中，若AABC和AAOE互为“兄弟三角形，AB=C,AD=AE.IHZftAD.NBAC和/8AE之间的数改关系，井证明.如图，ZSABC和互为兄弟:角形，AR=AC,AO=AR点/入点E均在AAHC外，连接8/入C交于点Af.连接AM.求证：AH平分N8M 3）如图，若AB=ACZHAC=ZADC=.试探究/8和NC的数量关系,并说明理由.(I)解：HAf)ZBAC
27、=7BAE.理由如下：.AEC和互为兄弟：.角形*.*.ZBAC=ZDAE.：.ABAC-NoAC=ZDE-DC,即ZCAE=ZBD.：.ZBD+ZBC=ZCAE+ZBAC=NBAE； 2)证明：如图，过点A作AG1.DMG,AH1.EM尸H.ABC和AAOE互为“兄弟三箱形”，：./HAC=ZDAE,ZtfAC+ZmC=ZDAE+DAC,即NCAE=NBAD.在ABAD和中，ZAB=ACZbad=Zcae.AD=AE.BDCE(5A5).AGlDM,AH1.EM.：.AG-AH.：AGlDM.AH1.EM.W平分NBWE 3)Zfi+ZC=180.理由如下：如图，延长。C至点/，litDP=
28、AD.VZ4DP=M)s.A/)P为等边-：角形，ADAP.ZDAP-Ur.V/RAC=W.N8AD=NCAP.6zBDCP中，AB=ACZbad=Zcap,AD=APZ4DC4P(SAS).Z=ZCP.：ZACD+ZACP=M.8+/AC。=IM.图15.我们定义：三角形中,如果有一个角是另一个角的2倍,那么称这个三角形是2倍角三角形.定义应用如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为45“或个“：性质探索小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出站出：如图I,在4A8C中，如果A=2N8,那么BC2=AC（A8+AC）.下面是小处同学对其中一种特殊情形的证明方
29、法.已知：如图2,在ZA8C中,ZA=90.ZB=45,.求证：HC2=AC（AH+AC）.证明：如图2,延长CA到。，使得Ao=A8,连接80.1D=NABD.B+AC=AD+AC=CD.CA8=AB）=2O.NCAB=90ZD=45,.VZABC=45,.：.ZD=ZABC,又NC=NCBCBCD.BC.ACCD-BCaci=ACc1.BCs=AC（.AB+AO根剧上述材料提供的信恩,请你完成下列情形的证明：已知:如图1.在AABC中./4=2/8.求证：BC2=ACAfl+C）. 3）性质应用已知：加图3.在八8C中，ZC=2ZB.八8=12,BC=10,lAC8；拓展应用已如：如图%在
30、AABC中,ZABC=3ZA,Ae=6,BC=4,求八B的长.MlNtWSffl（1）解：当笥腔三角形的内“I分别为-X,2t时,4=I80,U1.r=45.当等腾三角形的内地分别为装2v,Zr时，5x=l80u,蚱得x=36,2t=72-底角的度数为45或72,故答案为45或72： 2）如图1.作AD平分N8AC.交BC7D.,.ZBC=2ZDAC=2ZBD.VZC=2Z.：./ABC=ZDAC=ZRAD.：.BD=AD.,：Z.ABC-ZDAC.ZACD-ZACH.：.ACDBCA,.ACCDAD*BCACAB：.AC2=HCCD,ACAH-BCAD-BCBl).,.C1+ACttBCCI
31、XBCBD=BC(BIHCD).XBC2=AC.AC+B).由性质探索可知；AB2=ACBCMC),.AC2+IOC-144=0.解卷AC=8或-18(舍弃).故答案为8；如图3,作NC8。=/4,交AC干点。，B图3则/八80=2/4.八M足2倍加三地形.：.AlJr=BD8D*48).Y/BDcMABD的外角.：./BDC=A+AW)=3A,：.ZH!XA8C=3A.乂.C=C.CDCA.CB-BDCDCA-ABCB.。吟B1.23AB3：.ADC-(I),3设8=2r,则A8=3x,二()2=2x(2t+3x).3.1.心华，J1，.5w.,.W-3VT.在平面直角坐标系x0y中,有任意：.角形，当这个三角形的一条边上的中观等于这条边的一半时,称这个三角形叫“和谐三角形”,这条边叫“和谐边”,这条中线的长度叫“和谐距离”.已知A,B(O,4),Cd,2).D,这个点中，能与点O加成“和谐三地形”的点是A,B.“和谐距禺”是_2/5_：(2)连接8C,点M,N是8。上任意两个动点(点M,N
