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1、函数中的新定义问题才点1一次的It薪定义问题【例1.定义：我的把一次函数（0与正比例函数F=X的交点称为一次函数,=h+（O）fy=2xl（=l的“不动点例如求y=2rI的“不动点联立方程.解得1.则y=2xl的“不动Iy=XIy=I点”为（1，1）.I的定义可知，一次函数y=3x+2的“不动点”为-1.-D:若一次函数产皿+的“不动点”为（2,n-1）.求m“的值：（3）若真线y=H-3d0）与X轴交于点A,与F釉交于点8,且内城F=H-3上没有“不动点北若。点为X轴上,个动点，使得S85=3SEAB。，求满足条件的P点坐标-y=3x+2y=解醇x=,Iy=-I.一次函数）=3x+2的“不动
2、点”为（7,-I）.故答案为：（-I,-I）；,.,.n-1=2n=3.；“不动点”为.2=2w+3.解得，”=-:2（3）,/百线y=jtr-3上没有“不动点:直战）=x-3与直线V=X平行.A,：，I，；化函软,Tk-3+中,.v2：l-|.v-4：.)IJ.(2k-3+b=-4tI-3I+b=-1b=-4.这个加数的衣达式是.v=F-31-4；2）O=rx-3-4.y=-x-l（x,该函数的图锹如图所示，性质：当x2时，的他帧K的增大而增大:用函数的图般可得.不等式kx-3+bx-3的解集通1金这4：4)由-61-a=。得“=l?-6巾作出F=N-6”的图象，由图象M知,要使方程H-31
3、-a=0有四个不相等实数根，Wl0w9,故答案为：0o9.考点2反比例的数新定义向题【例2】.探究南散性质时，我们经历了列表、描点、连战亘函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数F=XY-2r+6+m性顺及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.V6542Ib71)写出函数关系式中，”及表格中小，的值；m=-2,a=3.b=4;2)根据我格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象：-(-2)?+8的解佻为4.将点3,D代入点数解析式可入；l=3*-2X3+6Hw,解得：M=-2.二原函数的解析式为：y=.v+-2r+6-2：当X=I时,y=3s当x=4时.=
4、4：.nt2=3.b=4故答案为:如图所示;。8图象上方的自变假的衽阳,由图象可知.当XVO或*4时,满足条件.故答案为：x4.A变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距围的最小值，称为这两个图形之间的由博，即48分别是图形M和图形N上任意一点，当八8的长最小时，称这个最小值为图形时与图形N之间的距离.例如，如图1.AB1.lx.线段B的长度称为点A与出线人之间的距离，当hh时,城段AB的长度也是，与母之间的距离.【应用】1)如图2,在等腹Rt48AC中，NA=90,八B=AC,点。为八8边上一点，过点。作08C交八C千点若AB=6,W=4.则OE与8。之间
5、的距离是_6_：0)交于A(I,WI)与8两点，点A与点BX之间的距离是二点。与双曲线。之间的距离是_Ve_：【拓展】(3)按规定,住宅小区的外延到高速路的距离不超过80，”时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔青群障(如图4).有一条“东南-西北”走向的笔宜高速路,路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状.它们之间的跑离小于WM.现以高速路上某一合适位置为坐标原点.建立如图5所示的直角坐标系.此时高迷路所在百线的函数表达式为Y=x,小区外延所在双曲线G的函数表达式为Y=Z(x0).那X么需要在:高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？图4解：U）如图.过点D作MjBC于点AZ=90,B=AC.VD
6、HlfiG.8。，是等股H角三知形,：.DH一考-BD.V4H=6.40=4,JD=-D=6-4=2.D/-2-2;故彳案为：2:X整理褥：xt-ftr+3=0.=(-)2-4x1x3=M-12=0.：.b=lM或b=-NI(不符合遨意，舍去)，直线Ki的解析式为y=-.k+23.h-+23=-X耨褥：XI=X2=6,K(3.3.,ok=7(3)2+(3)2=6:枚答案为：2.6:3)如图，设点SGr,一是双曲线v=2%=O(+ft),22.-J1.三,l22OU-()2(ba)-1600(b-a)2Vf=g2-gp2=400-y(a+b)2=z-6400-2ab-(b-a)216001(b-
7、a)2设力-am(m0r则ocy,l1600.l1122(m2+1600-ym2)-M2.需要在高速路旁修建隔访屏障的长度2OE=24O2=802.布需要在高速路旁修建隔音.屏障的长度802*.才点3二次*或新定义问题【例3】.小爱同学学习：次函数后，时函数=-(M-I)2进行了探究.在经历列表、描点、连跷步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象，何咎下列问题:观察探究：写出该函数的一条性质：函数图皴关Ty粘对称：方程-（M-12=-1的解为：X=-2或K=O或X=2:若方程-（H-I2=,”有四个实数根，则m的取俏范困是-IVmyo.延伸思考：将函数Y=-（国-D2的图象经过怎祥的平移可汨
8、到函数V=-k-Il-D2+2的图象？写出平移过程，井宜接写出当lyW2时，自变MX的取俯范|机解：（1）视察探究：该函数的条性用为：函数图象关于轴对称：方程-（闻-1）2=-1的解为；K=-2或K=O或X=2:若方程-（国-”2=“,有四个实数根.则“的取值范围是-IVWl0.故答案为：晅数图象关于F轴对称：X=-2或X=O或x=2:-lm0. 2）将函数），=-M-I）2的图望向右平移1个单位,向上平移2个电位可得到函数W=-（1.1.Il0）的函数叫做“船桥”函数.小丽同学画出了“鹄桥”函数F=Iat2+於+d的图象（如图所示，下列结论正确的是（）A.图型具有对称性，对称轴是直线X=1.
9、5B.有且只有-IWxWl时.函数值丫随X值的增大而增大C.若VO,J8+rOD.若V0,则a+bHm+0.：.4（i-2h+c4a-2-2）+c-4r+4+8+=r2+u+c开11向下，对称轴为直线X=1.：.a+b+cNam2+bm+c（，”为任意实数）.,.a+bm故选项Z）正确，符合胭:痣：故选：D.【变3-2.已知桃物线了=+过点A-2.0）和C（-I,3）两点，交X轴于另一点B.求枪物线解析式：2）如图1,点P是8。上方抛物战上一点，连接A。，BD.PD.当8。平分N八。P时，求户点坐标;（3）将他物战图象绕原点O股时针旋转90”形成如图2的“心形”图案，其中点M,N分别是旋转前后
10、拊物线的顶点，点EF是旋转前后搬物践的交点.H线EF的解析式是Y=X;点G、H砧“心形”图案上两点且关于61.对称,则城段G”的最大值是_空巨_.图1图2解；（I）；财物/，=“+两点,.4a+c=0Ia+c=3二搬物设解析式为N=-+42）过点B作HElx轴父DP延长线于点过/）作DFlx千点匕Ihy=-.r+4,令=0,则-+4=0,解得：Xl=-2,m=2,则B(2.0).VDF=3.BF=2-(-I)=3.：.DF=BF.二/W=45：.工/DBE=.XVD-Dfi.8。千分NAOP.DAti,DEB(ASA).1.BA=BE,设出我DE的解析式为y=v.也”OE的解析式为v=XU?3
11、3联立则.等)：0）的图象上，X/.3v+.y）（r+.）=3即：V3r+.y-V3iV3v+y-V3.节点B（tmaY-7&计上时.设立线产-g/j与、釉一轴相交于点“、MWl/,.V（O.3）.当08,MN时，戕段08G制，此时OB=Z巫=近，22由/NA化=6）x+力的“本源函数（.为常数，且a0）.若一次因数.=计力的“滋生函数”是=?-3x+d+l,那么：次函数y=r-3x+w+l的“本源函数”是尸-2x7.解：.j=3+的“滋生函数Y=Oi2-3x+*l,.,.r-3*u+1=i+（+）x+.lfa+lb=a+l解汨卜F,Ib=-I,v=r-3x+a+l的”木派函数,y=-2-I.
12、故答案为：F=21I.在平面R角坐标系中,如果一个点的横坐标与双坐标相等，则称该点为“不动点”.例如（3,-3）、1,1）、2023.2023）都是不动点）已知双曲践y.（I）F列说法不正法的是C.儿直燃y=x的图象上有无数个“不动点”B.函数y3的图象上没有“不动点”X7,直设F=X+1的图象上有无数个“不动点”My=.r的图象上有两个“不动点-2）求双曲线y上的“不动点”：1时,求，的取（ft范的.如果=l,过双曲城y图象上笫一数限的“不动点”整平行于X轴的H戏/,若撇物线上有四个点到I的距离为m.宜接写出m的取值范用.翎：（I）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（，）口蝶）,=.&当
13、=时，则=”，二点（*n）在白线y=x上，二百线F=X上有无数个“不动点”.故A正确：符（11n）代入y=1.,得”=-1.此方程无解，Xn.,.函数F=?的图取上没有“不动点”故B正确:符n.ft）代入产=+1.得”=+1,此方程无解.二直线.T=AI上没有“不动点”.放CWl误：符.n）代入y=2.J!/n=n2.解得“=0.m=l二函数2=）的图象上有两个“不动点”（0.0）和（1.1），故。正确.故选：C.设双曲找y21：的“不动点”为（x.X）,则xl2,XX解得Kl=-3,2=3,.双曲线y=2上的不动点”为（3,-3）和.X设撤物戏尸加-3/c上的“不动点”为（x,）则x=-3x
14、+cWJar2-4r+c=0.该跄物线上有fl只有一个“不动点工二关干X的一元二次方程r-4x+c=0有两个相等的实数根.-4)2-40c=0.40一CV1.C.0c=F3m4,III2)双曲找丫二在第象限的不动点为(3.3).X工出线，即出线.v=3如图，Vv-2-3+4-(.r-)-.,该抛物线的顶点8.时称轴为直线X=,设直线r在直线/下方且到直线)的ImH为m，直线X=I交直线/千点4.交直线，子点C：.AC=m.A(-.3)，AB344设直战，与直践，关于宜钱，对你,:当点C在点H的上方时,抛物线上有四个点到/的距离为m,5.在并联电跖中，电源电压为Uo=6V,小亮根据“并联电路分流
15、不分压”的原理知道：o=1+21=-.Rl2=-).已知代为定值电阻，当拉变化时,干路电流/st也会发生变化.且干路电流/与K之间满足如下关系：/.=1+聿.)定值电阻配的阻值为6n：小亮根据学习函数的经验,参照研究函数的过程与方法,对比反比例函数2=来探究函数/=RI洛的图联与性质.K列表：如表列出/.与内的几组对应值,请写出”的值：m=2.5”=2:K3452=21.51.2R%=H3m2.2描点、连纹：在平面直角坐标系中,以给出的R的取平为演坐标,以/B相对应的值为纵坐标,描出相应的点，并将各点用光滑他战顺次连接起来：3)观察图象并分析表格,回答下列问遨：/口随*的增大而戒小：ift“增
16、大”或“减小”)函数几=1造的图象是由2=的图象向上平移1个单位而罚到.RR峪.=-=l.R1.Q=6,故答案为：6:(2)当R4时,m=l+1.5=2.5.当A=6时，=1+1=2,故答案为：2.5,2；图象如下:相据图象可知,/Ml/?的增大而减小,故答案为：减小;函数/2=I恪的图飘是由2=的图飘向上平移I个雅位得到.故答案为：上，l6.小欣研究了函数y=去的图象与性质.其研究过程如下：绘制函数图象列去：下表是N与.丫的几组时应值，其中m=I；X432.324(BaBaa32312012y11-2-332m1工1227描点：根据衣中的数值描点(.,v)连城；用平滑的曲线顷次连接各点，请把
17、图象补充完整.探究函数性质：下列说法不正确的是A4.函数值.v随X的增大而减小H.函数图象不经过第四象限C.函数图象与直线x=-l没有交点D.函数图象对称中心(-I.0)3)如果戊A2在函数图象上，如果w+x2=-2,则.r1+y2=O-,O一帽(I)把X=O代入到yq：y=l,即m=l.图象如卜所示：故答案为：I,图象如上所示：2).当x-l时，函数ftylx的增大而减小，故选项A不正确：H.根枇图象可得，函数图象不经过第四纵眼，故选项/?正确：C.根第函数表示可得：x-l,所以函数图Sl与直线STift有交点，故选项CD.根据图象可知，演数图象对称中心(7.0),故选项0正谛：故选：At1
18、+V2=oix2+l+x+lX1+x2+2（x+1）（2+（X+1）（X2+I）故答案为：0.7.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y言的图型与性质,其探究过程如下：绘制函数图象，列去：下表是X与的几组时应值,其中附=.-3一X-3-2-I_1.1I2322y212442Im3描点：根据表中各组对应猿（X.，）在平面出角坐标系中播出各点.请你描出剁下的点：连线：用平滑的曲线顺次连接各点,已经画出了部分图以.请你把图余补充完整:2）通过观察图象，卜列关于该函数的性侦表述正确的是：（填写代号）函数值）,随X的增大而拈大：y一言关于y轴对称：y关于原点对称；（3在
19、上图中，若宜城y=2交函数y看的图象于A,8两点八在8左边）.连接。八.过点8作BC/。八交X轴于C.KlSouc=4.IhI)中的图象可知,在第嚏限内.v随K的增大而减小：在第二型限内,ylx的增大而增大：函数图象关于y轴对林，故正确：故答案为：.将v=2代入y=I2I得A=I或K=-I.IXI.,M=l-(-I)=2.VAflIElSfJcy=2.在X轴上，：.AB/OC,又；8C。4二四边形0A8C为平行四边形，.S11aV,(AHC=AByA=22-4.故答案为：4.8.t定义】从一个已知图形的外一点引两条射战分别经过该己知图形的两点，则这两条射践所成的以大角称为该点对已知图形的视角，
20、如图，NAPB是点。对线段A8的觇角.JIJ)如图,在直角坐标系中,已知点A2,3).B(2,23).C(3.3)则原点。对三角形A8C的觇角为30:2)如图，在口角坐标系中，以原点O,半径为2画IfflOi,以原点。，半径为4画圆3,证明：IHI02上任您，点PmOi的视角是定值:【拓展应用】很多撮影爰好者再欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图.现在有条转口的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45的位汽拍掇.现以建筑的中心为原点建立如图的坐标系，此时天桥所在的出线的去达式为K=-5,正方形建筑的边长为4,请直接写出宜践上满足条件的位置坐标.解：(I)延长/M交X
21、轴于点Dr过点C作CE1.x轴于点E.点A(2,3),B(2,23).C(3,3).八粒，CE=3.OE=3.二AZk1.x轴.BD=23.OD=2,tanZBOD=r=VstanZC0E=-=-UUUtJ0.8OD=60,ZCOE=W.二ZBOC=ZBOD-ZCOE=W.即原点0时三角形A8C的视角为3(过答窠为：30”(2)证明：如图，过上S上任一点。作圆Oi在中，04=2,OP=A.的两条切线交向Q于人,B.连接。八,OB,OP.则有。t1.朋.OB1.PB.sinZ0PA-=-：.Z.OPA=TM-.同理可求得：/008=30.ZlPfl=60,.即圆02上任意一点P对,Oi的视角是6
22、0.：.同1Oi上任意一点P对展Oi的视角是定值.DPA=A5o，/.APeOZDPeC=45a.不符合视角的定义，Py,借舍去.同理,当在直线A8上方时，视角是此时以A(-2.2)为圆心.A8半径画圆，交面莲F凸,凸不满足：过点Pl作Phk1.A。交。八延长线F点M,则APl=4,PW=Ji-2=3,AMFAPl2-PM=7-.pj(-5.2+7)当在直线CO下方时视角是NAPG此时以。(-2,-2)为圆心，DC半径画圆，交C1.线于,入，声不满足：ilP!W三P2(-5,-2-7):。却Mi,北”：,满足条件的位置坐标p1(-5,2+7)P2(-5,-2-7)9.小明在学习函数的过程中遇到
23、这样一个函数：y=g,若GO时，R=F-：若XVo时，m=-X-I.小明根据学习函数的经验.对该函数进行了探究.1列表：下表列出y与X的几组对应值.请写出“r.的值=0:n=3:X-2-I012yIm00/J描点：在平面宜用坐标系中，以给出的自变埴X的取值为横坐标,以相应的函数值为纵出标，描出相应的点并连雄，作出函数图象；2下列关于该函数图象的性质正确的地：(填序号)下前X的增大而增大：该函数图象关于y轴对称：当x=()时,函数行最小猿为-1：该函数图象不经过第三象限.若函数伯y=8,则X=3或-9:4若关于X的方程2x+c=国有两个不相等的实数根.请结合函数图望,直接写出C的取值范围是_r故
24、答案为，0.3：描点,连线作出函数图象如下,2）从图望可知：下列关于该函数图双的性质正确的是:故答案为：若XeO时,X2-1=8.解为x=3或K=-3.若ZO时.蟀得X=-9.故答案为：3或-9：4由图象可知：关于X的方程2+c=x）有两个不相等的实数根，则c-2,故答案为：c2.10.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跻度A8为4米.在距点八水平距离为d米的地点,拱桥距离水面的高度为h米.小红根据学习函数的羟依，对d和h之间的关系诳行了探究.下面是小红的探究过程，请补充完整：羟过测取，掰出了“和的几组对应依，如表.4米00.611.82.433.64h1米0.881.902.38
25、2.862.802.381.600.88在d和力这两个变盘中.d是自变fit.是这个变量的函数：在下面的平面直角坐标系XaV中,画出（1）中所确定的函数的图象：当K=O时，y=0,88.桥墩隔出水面的高度AE为0.88米.故答案为：0.88；设F=O?+版+c,把（0.0.88）、（I.2.38）、（3.2.38）代入得，c=0.88a+b+c=2.38.9a+3b+c=2.38a=-0.5解得b=2.c=0.88：.y=-0.5?+2rK）.88,对称轴为直线x=2.令V=2,则2=0.5?+2v+0.88.解将x*33（舍去）或0.7.故答案为：0.7.Il.小明为了探窕函数M：y=-Fm
26、h-3的性质，他想先画出它的图象.然后再观察、归纳得到，并运用性麻解决问题.完成函数图攀的作图，并完成填空.列出y与X的几组对应(ft如表：X-5-4-3-2-IO12345-8-3OIO-3OIO-8-表格中，a=-3：结合上表，在下图所示的平面口角坐标系xQ.而出当x0时函数M的图象：观察图象，当X=-2或2时,J有最大伯为I；求南数M；F=-?+4H-3与之战/：y=Zx-3的交点坐标；BP(m,y),(ffl+l,)两点在函数M的图象上，当户0时函数M的图象如下：观察图象，当K=-2或2时，.r行的大值为1；故答案为：-2或2.1：y=2x-3fx=-6(=0 2)U9解献X或I：y=
27、-x-4x-3Iy=-I5y=-3y=2x-31h(y=-xx-3解得二的数M：3=-+4国-3与出线/：产女-3的交点坐标为(-6.-15),(0,-3).(2,1)： 3)VP.Q两点在函数M的图象.匕ftyy2.：.m的取值袍围m三点中,是一次的数y=-+l图象的“直旋点”的有一填序号：2)若点N(3.I)为反比例函数y*图象的“百.灰点求公的值：X:次函数.r=-/+2什3与K轴交于A,8两点(A在8的左恻)，与y轴交于点C，点。是：次函数Y=-r2r+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求。点坐标.W：(I)点(3,0绕原点顺时针旋转90得点(0.-3).当X=O时,y=l.二点不是一
28、次函数y=-+l图W的“It旋点”：点(-1,0)绕原点班时针旋转90得点(0,I),当x=()时.y=l.：.久-1.0是一次函数y=4+l图象的“直航*5点0,3)绕原点联时针旋转90q(3.0,当x=3时.y=Tx3+l=05.点0.3)是诙朗数y=-+l图象的”出版点”；底y=-x+l图4故答案为：2点N(3.I)绕原点顺时针旋转90得点(1.-3).F.iN(3,l)为反比例嫉8yg图象的“F旋点”，,-3=：.k=-3：，：函数产-JrH3jlllJ-.H两点(A(H的在似J).令y=0.则-F+2x+3=0,解得：Xl=3.X2=-1.：.A-I.0.B(3.0).；二次函数y=
29、-,+2v+3与y粕交于点C.令x=0,则=3.：.C(0.3),设内线AC的解析式为)=公+,(-k+b=Olb=3二出线AC的解析式为=3+3设点D(0,3a+3).则。(.a.3+3绕原点顺时针旋咕90”得点(为+3,-a).；点D是二次函数),=-+2v+3图象的“直旋点”,-2+2(A+3)+3=-.：a0!-Ji9.点。的坐标为或(-号，-y)13.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0,对于任意的函数位”都满足-MWyM,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,图中的函数是有界函数，其边界是1.直接判断的数y=20)y=-2x+-4x2
30、)是不是有界函数？若是有界函数，宜接写X出其边界值：若一次函较F=H+b(-2WXWI)的边界值是3,且这个函数的最大值是2,求这个一次函数的解析式：将二次函数y=-.r2(-lrn.w0)的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是，裤：()v=2(0)不是”界函数：XV=-2r+l-4X2)是有界函姐当K=-4时,y=9.当X=2时，y=-3,二对干-4JS2时.任意的数值都满足-9y9.二边界值为9.当%0时,由有界函数的定义得函数过(1.2),(-2.-3)两点,设y=h+b,将(1.2)(-2.3代入上式得P+b=2,解得：(-2k+b=-3当ZO时,由有界的数的定义得函数过(-2.
31、2).(I.-3)两点.设产好1.将(-2.2).(I.3）代入上式得k+b=-3函数解析式为、=-.lb=33Tim,函数向上平移m个总位后，x=OHf,y=m,此时边界做百I,与即意不符，故mWl,函数尸-F过点7,7）,的部分图象组成一个“月牙城，相同的交点分别为M,N（点M在点N的左例），与y轴的交点分别为八，&且点八的坐标为 0.-I）.求M.N两点的坐标及抛物线G的解析式：若他物线Q的顶点为4当M=W时.试判断：.用形MNQ的形状，并说明理由：在（2）的条件下，点PC,-4）是抛物线。上一点，抛物线Q第三象限上是否存在一点Q.使汨SMPM=5（Qv,若存在，诂直接写出点Q的坐标：若
32、不存在，说明理由.解：(I)令y=0,WJznr+4ou-I2m=.耨得X-I或Jr=-6.：.M(-6.0),N(2.O).设附物线凸的解析式为=“(A6)(x-2).将点A(0.-I)代入，得-=-I.标力“=*.v=-12)；122Vzn=4,-9=4，2)2D=410Z)=41O.W.V=8.：.MD=ND.足等腔：也形：./：.I).Kf.s.rw=-.SiiH:.p-4）是振物线。上，r+4r-12),412耨得，=-1或，=-3.：./)-I.-5)或P(-3,4设直城AM的解析式为y=fct+fr.Jb=-Il-6kb=O2解褥6.b=-l.V=-X-I.6过点P作PGy轴交AM点G,lP(-)时,GI-I,-),吗X2XbU=,解得m=-.OCV=.*go=-.15阅读材料：一般地,对于某个函数，如果臼变或X在取值范用内任取X=“与X=时.函数值相等,加么这个函数是对称函数”.例如：=x2,在实数莅国内任取X=。时，=1=r,所以是“对法函数二y=2W+i是对称函教埴”是”或不是”).当在
