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1、一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一第点线匕另外两条边所构成的角与这两个角相等,这W个相等的角落在同一直线上，故称“一税三等角”如下图所示.一线三等角包括一线三点角、一线三锐角、一线三饨角美型一：一做三立角模型如图,若/1、/2、N3都为口角，则有AACPsABjD.类型二：一成三悦角与一线三钝角模型如图,若/1、/2、/3椰为税角，则有AACPsBPD.证明：VZD,=l8O11-Z3-ZC4.ZC=l80o-Z-ZC,而N1=N3.ZC=ZDPB.,Z=Z2.：.ACPS如图,若1、N2、N3都为饨角,则有AA(%sA8PD(证明同锐角)B解题美餐】构迨融叙或全普三角好.才点一：一
2、做三等角直角模型W1.如图.四边形ABCD中,ZAHC=NAa)=90.AC=CD.BC4cm.W1CD的面枳为8c”产.解：过点DIVDHIBC,交RC的延长我于点H,.A8C=9(K.8AC+AC8-90,VZACD=W.：./.HAC-ZHCD.在八8C和AC7O中.ZBac=ZHSDZabc=Zchd,AC=CD；.AABgACHD(AAS),H=C=4.BCD的面枳=X8Cf=X4X4=8(m.；：；T1.:S.变火调练【变式I-I,如图，八在城段。G上，AbC。和。EFG都是正方形，面枳分别为7平方厢米和Il平方匣米,则(?的面枳等于平方厘米.斛:过E作于,如图,VZ1+Z2=9O
3、.Z2+Z3=9O.ZI=Z3.XVZEWD=ZDAG=90,ED=DG.MEDH2ADGA,：.EH=AG.Sabcd=Icht.SOGFE=Ikvn.CD=AD=77m.DG=11c11.RADG./G=DG2-AD2=ll-7=2(cm)1.s(wCDEH=CDAG=72=7cm2.故答案为：7.【变式1-21.如图.一块含45的:.角板的一个顶点A与矩形AHC7）的顶点中:合，直角顶点E落在故BC上,另一顶点恰好落在边CD的中点处,若BC=I2.则AB的长为X.：.AB=CD,Z=ZC=90.Z4E+ZA=9()1.八斤F足等腰亘角：.角形.AE=F.ZAEF=90.：.NFEC+NA
4、EB领；：.NBAE=NFEG在448E和ZSECFtdZB=ZCZbae=Zfec.AE=EF.ABEECF(AAS),：.AB=CE.BE=CF.；点F是CD的中点，/.CF=Acd,.BEHCFB.22;BE+CE=BC12.4A8+A812.：.AH8.故答案为：8.2【变式1-3.如图，在矩形AO8C1.点A的坐标是(-2,I),点C的纵坐标是4.则&C两点的坐标解：过点A作Ao1.r轴干点D.过点B作HElx轴于点,过点C作C尸.v轴,过点A作AFx轴,交点为E:四边形AC8C是旋形.：.AC/()H.AC=OB.；.ZCA=ZBOE.；在/Mb和4O8Cl中，NF=BEO=90Z
5、caf=Zboe.-.acafaboe-4,f1-4).故选：B.222【变武M.如图.在平面宜角坐标系中,OA=AB.NaA8=90,反比例函数y=K(*0)的图象经XVZ4O=90-；./OAC+NZMO=90且/8UA/八80=90”ABD=ZCAO且D=4CO=90,40=48/.ACO5D.4：.AD=COBD=AC：A(n,I)(0)；.OC=AD=I.AC=BD=n.：.B(i+n.I-).反比例南数忏K(XO)的图象经过A.8两点XI(l+n(1-n).ft=二Iy.IXn二故选：儿才点二：一级三角悦角量钝角模型【例2】.如图.已知AA8C和川%均为等边:角形./)在BC上，/
6、)与AC相交于点尸,Ai=9.8。=3,则CT等于().ZB=ZBC=(.ZfiAfHZDB=120*.ZDB+ZFDC=120BAD=NFDC又.8=NC=60,ABDsACDF,.:RD=CD:CF.I9:3=(9-3)：CF.J.CF=2.故选：R.A变式训练【变式2-1如图.3iAC,AB=AC.八88C点。在边8C匕CD=3BD.E,在城段八。上，Zi=ZZ=ZfiAC,若448C的面积为12,则ZlACF与A8OE的面枳之和为3.解：VZI=ZZ=ZfiAGI=ERA+8AW./BAC=ZFAC+7BAR.：.ZEtiA=ZMC.ZAEB=ZCFA,ZEBa=ZFACZaeb=Zc
7、fa.AB=ACBEV5CF(S).二BE的面伙=CF的面枳.VCD=3BD.,BC=ABD,.A8/)的而枳2A8C的面积I23.44.AC广叮八AOF：的血枳之和=ZXABO的而根=3:故答案为：3变式2-21如图.在等边中，AC=9.点O在ACI：.且A0=3,点。是A8上一动点,连接0P.以。为圆心，OP长为半径圆如交8C于点。，连接PC,如果Po=PC,那么Ap的长足6.：PO=PD.,.OP=DP=OD.：.NDPO=60.;等边AABC.A=8=60.AC=A8=9,：./OPA=/PDB=ZDP-60,OMPD,VA0=3,：,AO=PB=3.P=6.故答案是:6.【变式2-3
8、.如图1.在正方形八8C。中，E是边8C的中点，尸是C。上一点，已知N八EF=90.求证:f=f2平行四边形ABeD中,E是边BC上一点，广是边C。上一点，/AFK=AOC,Z4AF=90=.1(1)证明t如图I中,设正方形的边长为力.：四边形人伙为是正方形.AZfi=ZC=W.ZfF=9C.ZE+ZFEC=9O4,NFEC+NEFC=90,：./AEB=/FFC.,ABEECh.AB_BE,ECCF,:BE-EC-a.AH-C-2a.(2)如图2中，在AD上取一点，使得F=DE图2Y/八EF=90”.ZAFf=ZP=45,.AEF是等腰比角；.角形.=2EF.JFH=H).：.ZkHD-ZD
9、=45,ZAHF=135*.；四边形ABCD是平行四边形，J.AD/BC,.,.ZC=1800-ZD=135,/AHF=ZGVZAFC=ZZX-ZI-AH=ZEFC+ZAIE.ZAFE=ZD.ZHAF=/EFC.,.AFFCE.：.EC：HhEhAlI：2V2：2.EC2.DF2实战演练1 .如图，AC8=90,AC=BC.ADlCE.BElCE,乖足分别是戊D.E.AD=Icm,BE=女，n,则A.3cmB.3.5cmC.4ntD.4.5cm耨:.,DCE,BE1.CE./8EC=N(TM=90:/CA。+/ACQ=90.AC8=90.，/八3CE=90,，ZCAD=ZBCE,在44C0SC
10、8E中，Zcda=ZbecZcad=Zbce.AC=CB4CDCt(AAS).：.CD-HE-3cm.CE-AD=Icm.：.DE=CE-CD=I3=4CE沿的折段，使得C常到矩形内点尸的位置,连接A匕tanZBAF=则CE=55解：过点F作MM/4).交A8十点M,交.CDf点.N.KlVA,MN1.CD.由折强可知,ECEF.BC=BF=烟.NC=NBFE=90FM1/fR4.anZlF=-=.AM2设尸M=,WlAW=Zt.8M=4-2x,在RtAZW解：如图,过点A作AOjjl干点C,过点8作比“于点&设5l2,G之间的M禽为I：ZGZACD-9(r,/8CE+/ACQ=9(.NCAD
11、=NBCE在等腰卤角AAflC中，AC=RC.ZD(EC-90o：.ACD,CBE:.CD=UE=1在RACD中AC=AD2+CD2=22+I2=5在等腋H角&AK中-2C=25=10sin=/=噜故选：D4.如图，在4A8C中.NC=OfF.N8=3().点。、.尸分别为边AC、AB、C8上的点.且ADEF为D.1117耨：VZC=W),./8=30.设AC=1.则A8=14C=2.8C=ab2-AC2=VD=-tCD.D+CD=1.4D=.CD=.477过点D作DHlAB千H点.：.ZADH=W-ZA=W,j.ah=1d=,DW=Vad2-AH2足等边三角形，.DF=DE.ZC=DHE=W
12、.ZFDE=GO.CFKDF=4CDF*/HDE=180-30“6(=90CFD=ZHDE,；NFCD=NDHE=90：DF=ED.,.DCFEHD(AAS),.AE=43114IHE=CD=4.4_3二17.27-11=1111AEIT11,丽=Tr=I7，M选：d145.如图，在等边三箱形A8C中，4B=4,P是边AB上一点，BP=亳,。是边8C上一点(点。不马端点申合)，作NPfQ=6(r,爪交边AC于点若CQ=e湎足条件的点。有且只有一个.则。的值为D.3解：；八8C是等边三角形,B=4.8=NC=60.AB=BC=4,；/BPg/B=NQDC+NPDQ./R=ZPDQ=W,：./BP
13、D=ZCDQ.BDP-CQD.BP.BDCDCQVC-4.BPq.CQ-a.3_.2BD三三三Sl*4-BDa.2BD2-8WJ+3=O.；湎足条件的点。存且只有一个，.方程IBD1-8WA3=O有两个相等的实数根.=64-423=O.耨得：=-.故选：H.6.AE)E和AFG”是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放巴在等边三角形A8C内.若求五边形。ECHF的而枳,则只衢知道(B.ZS8FG的面积D.DE的面积.ZUBC的面积C.四边形4FG”的周长解：；Zsgfh为等边一用形,JFH=GH.NG=60.：.ZAHF+ZGHC=MO.：八8C为等边二:角形，.B=BC=AC,ZACBZ
14、=6O.1.NGHC+NHGC=IW,：./AHF=/HGC.(l.,AhH和MHG中.ZBAC=ZaCBZahf=Zcgh.FH=GHFCG(AAS).二SjAfH=S-CG*.同理可求S.BGF=S.kH5. Af-H-iE=St.ABC-3SCAF”,.五边形。氏HF的面积=Sf-S.XfH-S-bie=2S.m=2S：MG,.知道的面枳可求八边形。C尸的面机故选：B.7.如图，在正方形AHC。中，八8=4，斤为八8边上一点，点尸在8C边上，且=1,物点E烧着点F顺时针旋转W得到点G，连接/K；,则。G的长的最小色为（D.10解：过点G作G，_1.8C,乖足为H,ZGHF=90t,；四边
15、形A8C/)是正方形.AH-CD=4./8=90,：.NB=NGHF=90,由旋转得:EF=FG,NEFG=90,EF+ZGFM=90,:NBEF+NBFE=W.：./BEF=NGFH.：.AEBFAFHG(XWS).：.BF=GH=I.点6在局M平行且与BC的更离为1的门.线匕二当点G在m边上时，ZJG坡小HG=4-1=3.二OG的被小伯为3,故选：C.B，过。作。C1.8.设。为坐标原点，点A、8为岫物线）=42上的两个动点，O.OAlOB.连接点A、AB干点C,则点C到y轴距离的最大值为（）A.B.4C.整D.1488解：如图,分别作人、8人邂史于X轴于点、F.设0=mOF=E由她物找解
16、析式为y=4F.则八=4；-j44VZDCO=W.DO-,4.点C是在以OO为直位的嗯上运动，.Wh轴正超%O=时，夷C到轴的距寓最大,故选：B.图19.如图，在八8C中，AC=3,BC=4,ZC=W.过C8的中点。作。_1.A。，交AB干点E.WJEti的长为_瑞_解：过点E作EMJ_8C,垂足为：.NDME=乙BME=XT.：./EDM+NDEM=W,VDElAD.二/AOE=OO.ZCD+ZEDAf=90.ZCDa=ZDEM.:点。是8C的中点，/.CD=RD=BC=2.：NC=NoME=90,4CDD.,=7=MECD2；.设EM=2,则CW=3x, /BME=ZC=90，NB=NB.
17、：.BMEs&bCA.EM_BMACBC.2xBM 34O二8四二冬3 ：RD=2,：.DMBM=2, .3r=2,x-.M=W.BM鸟3171717BEBIM2，懵产+哈）2鲁m；答10 .如图.在平面直角坐标系中，点A6.0),点E,点P是立线=-X-I上一点，AABP=45,则点P的坐标为(3.解：将线段8人绕点8顺时针发行90,得到戌段86Vfi(0.2).A(6.0).取AC的中点Knp=2n16-W=2-.n2nill两点间的距禹公式可知：OE=32+42=5.OP=Jn2+噜）2,=OEinE8=耳引112+（*5=2-普,即7n4-5%-1008=0,解得：/=84或”2=-8
18、4（舍去），.h=2V212=-2V2i二点P的标为:方法二、如图,过点E作打交。干点户.过点作M1.F轴.垂足为M过点上作PM1.Vf于点”.：.NoNE=NEMF=W,：.ZNOE+ZOEN-90.VZOfF=90.：.NoEN+NFEM=绅NNOE=NMEF,若/POE=4夕，HOE=EF,在4(WE和4F中.NcINE=NEMF=90；Znoe=Zmef.OE=EF:必ONEMEF(AS).：.EM=ON=4、MF=NE=3,则点广的坐标为7,1,.”纹。F的解析式为y=.1y=yIh12.解得*=2历1或x=2i().y=i-32折时，产限老=噂=耍，BE_2m-n.ZABM=ZDC
19、N=9Oa,.交C8的延长线于点，殳8C的延K线尸点MW.!P（221.2争），故答案为：（2元.晔1.）12.如图.四边形八8。中，Z=ZC=90.点是SC边上一点，八。是等边三角形.ZM=903/B4W=60：Z/V=9()i-ZCV=6()，/MAE.AEM=180-ZAf=IZOo,是等边二.矩形.ZAED=6()，AE=DE,AE/iHZDEN-180-ZAED-2(.：.ZMAE=ZDEN.VZW=Z.V=60.4E!EVD(AAS),IAM=EN.ME=DN.AB_nCDm4=鸟.73tAR=n,CD=w.AD/I：RlMHl.BM9-tan60A*1.3nSinoOY332.,
20、.-EV-3n.3ftRtDC.V.CN-CDtan603DN=1.霁1.育藐SinoON332ff-D,-3w.BE-EM拉Mh.CEBE.BECE211rn2n-m如图,.,.CE=EN-CN=3313,-乐3V23n-f3ID21723m-3n：善1.2n-m在4A8C,AR=AC,。、人2n-m2m-nF.：点都在出线，上，并口布WM=/AEC=/MC=,若DE=10.8/)=3,求CE的长.解：ZAEC=ZHAC-a.ZtC4+ZCAfc=18(-a.ZZC4f=180-.：.ZECA=ZBAD.在&A。马ZiACE中，Zbda=Zaec,Zbad=Zace.AB=ACBAgACt-
21、(AAS).：.CEAD.AEBD-3.VDE=D+E-1O.,.AD=DE-AE=DE-BD=O-3=7.Cf=7.14.如图所示，边长为2的等边；.角形ABc.中，”点在边HC上运动(不与B.C重合)，点E在边AE的延长线上，点尸在边AC的延长线上,AD=DE=DF.(I)若NAE0=3OVAZADB=X),.2)求证：EDSCDF.八.不变B.一直变小C.先受大后变小(3)点。在BC边上从4至C的运动过程中.班力周长变化规律为2.D.先变小后变大耨：(1)VACii:加形.B=C=BC2.ZBC=ZACB-(.JAD=DE：.ZUAE-DEA-30,ZDB=180-ZID-ZD=90.故
22、答案为：90：2)JAD=DE=DF.：.ZDAE=/DEA.ZDAF=DFA.V ：ZME+ZDAF=ZRAC=fO,：.ZbEA+ZDkA=ar,V ZAHC-ZDEA+ZED-60,.：.NEDB=NDFA.V ZACB=ZCFD+ZCDF=60.：.NCDF=乙BED,R,ZEDB=ZDFA,DE=DF.DECFD(A4S).,DE*CFD.：.BD=CF.HE=CD.：.ABED周长=BABE+DEhBt)+CEh-D=BC+D-2+D.，点。在8C边h从8至C的运动过程中.A。的长先变小后变大，EfJW氏光变小后变大，故选D15.如图.在ZUbC中,已知Ag=AC=5.BC=6.且
23、ZkABg。码将AOEF与AWC型合在一起,八8C不动，ADEF运动,并满足：点E在边8C上沿B到C的方向运动，且。始终经过点A,EF与AC交于M点.求证；4ABEsAECM;/,运动过程中,重电部分能否构成等腰三角形？若能,求出的长：若不能.请说明理由.(1)证明；.A8=AC,.,NB=ZG；AABC-DEF,：.ZAEF=NB.又VNAEF+ZCEM=ZAEC-NB+NBAE.：.NCEM=ZBE.sZsECW: 2)W：ftBE=X,乂YZSABEsEC”.CMCEl.,CM6-xBEABX5CM=-x=-(x-3)2+,.AM=AC-CM=-3)二当x=3时.AM最短为普.W：在AO
24、EF运动过程中,通叠部分能成等艘三角形.理由如下:ZC,.,.AMEZAEF.：.AEAMx：.l(K=如图正方形A8(%)中.点A,8的坐标分别为(0.10).(8.4,点C在第一象限.动点P在正方形A8C/)的边上,从点A出发沿A-S-C-O-A匀速运动,同时动点Q以相同的速度在X轴正半轴上运动，当点P到达A点时,两点同时停止运动，设运动的时间为，杪.当P点在边八8上运动时点Q的横唱标、长度单位)关于运动时间，(秒的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及立P运动速度： 2)求正方形边长及顶点C的坐标：(3在(I)中,设AOPQ的面积为S,求S与，的函数关系式并写出自变fit的取值范
25、围. 4)如果点尸、0保持原速度不变,当点。沿A-8-C-O匀速运动时,P与。能否相等？若能.写出所有符合条件的,的值1若不能，请说明理由.图图W：(1)如图.过8作8E1.O4于尸，VA(0.10),JQ=10,VB8.4),=8.OF=4.A=10-4=6.Aff=10.由图知：点0运动时间为IO秒，运动速收为：m1)!0=l,ftc(I,0).；动点Q，P的运动速度相同，；.点?运动速度为加秒I个单位长度；(2)如图，过B作Wiy轴于点EBE*轴于点则=8,OF=BE=4,由1知：AF=(t.Aff=IOs过C作CGlx轴干点G.与FB的延长线交十点.A8C=90”,AC.-F-6.CH
26、=BFS,.OG=7=8+6=I4,CG=8+4=12,.所求C点的坐标为（14,12）；3过点/作PM_1.v轴广点W,AVlx轴尸点N,.PMRF.则4APsz1a8.APAWMP布下方.tAMMP-w,TT34A-tW/.OO.*.PN=OM=IO-.ON=W=,.工S=SOPQ=GPNCQ=-(l+r)=t2-t+5(OIOi（4）O尸与PQ相等，组成等腰三角形，即当/点的横坐标等FQ点的横坐标的半时，满足条件;当0在AB上时,如图，告（，+l），=Wj尸Q相等，当在8C上时，如图，则PB=t-10,SinZAB/-SinNWWAFBMABPB.6BM10t-10：.BM=Wf-10)
27、.、=出=8佟-/+1).斛得：t=-15当P在CD上时.如图.则PC=t-20.CoSNPCR-Cos/8C=.8_CR*l=t20-,CR=M=A(r-20).O4：.ON=CXi-NG=FH-MH=14-2.(f-20).I4-0与X轴交于A.B两点（点A在点B的左边）.与F轴交于点C1）求线段八8的长（用含，”的代数式表示）：2）当2WmW4时，抛物线过点（,h）和（+5.）.求”的取值的时;=,n+l;(2拗物线产/+(i-mx-，”的对称轴为I41.线N=吗,Y抛物线过点(0.b)和(,.和（“+5,犬口”I=号对称.m-1_a+5+aV2m4.3）作八8。的外接QM.连接.MP,Mt,W8.过点”作M0_1.OP,垂足为。.：.M=MB=MP.，”八地恻线的时称轴且线K=与工E,Ihy=$十(I-.加与轴的交点C(O.-M).OC=W.YfMm,O),O=m.ZC=454.VZ4P=Z4BCAPB=45fZ4f=90,:A11.Mj,JXtll的冲齿1.-AA8WB(r+1)*/的竺林为(山二1.ml).2222VP(0.3).,.W3/;?-1i!?+1),AAf2hj1VPM=AM.3-.n+1)+)(m+1),.222解褥m=.
