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1、SARS传播模型及其趋势分析SARS传播模型及其趋势分析时培建1徐多林1水声建2（1北京石油化工学院经济管理系2北京石油化工学院通信工程系）摘要围围着SARS传播问题，建立并分析了传统的传染病模型，得出SARS传播的规律。并在此基础上引入了防控因子，借以量化政府及R生部门实行隔离消毒措施对抑制SARS传播的主动效果；同时还采纳了模糊数学的方法，就如何确定值绽开了探讨。关键词SARS：防控因子：隶属函数2003年春天，SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome）,严峻急性呼吸道综合症）在我国部分地区爆发与扩散，给当地的人们带来了恐慌，严峻影响了正常的经济与社会发展。我
2、国政府与公共卫生部门对此赐予了高度重视，实行了各种防范与限制措施，举国上卜团结一心，共抗非典，卓有成效，疫情自2003年5月初得到了有效限制。痛定思痛，我们应当就此进行仔细的反思，尤其应当分析SARS疫情的传播规律，做到有效预防与限制，防患于未然。1模型的建立与求解1.l模型假设（1）为疫区总人口数；（2）单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比的比例系数：（3）将大疫区各离散子疫区看成一个疫区，而不考虑上疫区之间的非典传播（如北京是一个大疫区，海淀、朝阳等各区县为子疫区，此时我们将子疫区抽象为一个疫区）。所谓称疫区皆指抽象后的疫区，所谈及的健康者与病人皆指在抽象疫区中的人群。1.2
3、传统的传染病传播模型不考虑有外界和社会的干涉的SARS传播模型，记时刻的病人数为，初始时刻有个传染病人，则在时间内增加的病人数为，这是一个常规的传染病模型1于是有（1）,（2）式中健康人群和非健康人群之和，为常数；时间，单位：天：时刻的病人数；时刻的健康人数：传染强度（单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比的比例系数）：当时刻的病人数。则有：（3）令，代入方程（3）,方程变为（4）解此微分方程可得：（5） 1.3传统的传染病传播模型的求解用式（5）去拟合北京累计确诊病例2,3,可得：rk=2521,r=0.198,确定系数R2=l-残差平方和/总平方和=0.99942t/di（t）
4、图1北京累计确诊病例拟合效果图图1中，离散点为北京2003年4月20日、6月23日累计确诊病例数，连续的曲线为拟合后的效果图。利用已得的参数来分析:5.3.1 推想首例发病口期令i（t）=l即：解此方程可得t=-30,即首例发病日期大约在3月20日前。5.3.2 推想发病高峰期对式（5）求导（6） 式（6）中表示日确诊病例增加数令，得极大值点为（7）即发病高峰期在4月底，5月初。图3即为每日确诊人数增长趋势图t/人图2每口确诊人数增长趋势图明显这种建模方式仅仅是用已有的传染病模型去拟合函数，并没有考虑到北京等地疫情的实际状况，因为在疫情发展过程中，政府和医疗部门的防控措施所起的效果并非得以体现
5、。1.4改进后的传染病传播模型及其求解现在考虑政府和医疗部门实行隔离与消毒等措施，引进参数防控因子，它指政府和医疗部门实行隔离与消毒等措施，而使传染强度削减的比率，即此时，SARS传播模型改进为：（8） 可得：（9） 当时，说明政府和医疗部门并未实行任何相关防范措施；当时，说明政府和医疗部门防控措施特别严格：当，说明政府和医疗部门的防控措施介于两个极端之间。1.4.1在t=0处起先实行防控措施为了计算便利，这里把资料中所给的北京4月以来的累计确诊病例看作为时的数据，当然实际的不是0,而是介于的一个数；之所以作此假设，仅仅是为了便于计算，因为主要是想分析政府及医疗部门防控措施对值的影响，即这些防
6、控因素可否量化问题。即使，也可以将的详细值代入的解析式，将其与已给曲线相拟合，从而求出和，再在值的基础上进行变动，求出对的影响范围。明显当时，所得的和的值与不考虑防控因子的SARS传播模型相符。为了得出不同值时，以下取的步长为=0.1,且0,1,求出在处的值。所求出的数据如表1所示:表1不同值下的值03391344224524972515252025200.13391210213224452508251825200.23391086198323882492251525190.3339966179722902459250525170.4339851157721322388247925080.53
7、397M3133418952245241124790.6：339643108615771983224523880.733955385112101577189521320.83394726438511086133415770.93394014725536437438511339339339339339339339同时也可以计算出对峰值的预料结果，如表2所示：表2峰值到达时间和高峰期每口新增确诊病例值到9达峰值时的t高峰期每日新增确诊病例01250.1101120.211990.31387.30.414750.516750.61962.40.724500.83237.50.9482516412.5
8、i*(t+d)=0tt+di(t)i(t+d)=1t/人i(t)1.4.2在t处起先实行防控措施图3从t时刻起先加强限制措施的效果图在1.2中所建的模型就是=0时的特例。现在考虑在处起先实行防控措施：从t点起先按1.3.1中所探讨的情形来分析，那么，模型应改为：(10) 下面要求出t时刻实行隔离措施和在t+d时刻起先实行隔离措施之间的差值，也就是提前或推迟d天实行隔离措施产生的效果。假设在t点或t+d点变更隔离强度，使0变为1,这对t*点(，即在t+d点之后的某一点)累计患病人数的影响值为:(11) 注:当防控因子由O变为1时，在to点实行隔离措施相当于在原点由（I-0）的基础上再乘以一个（1
9、-）,为新的防控因子；在to+d点也类似。很明显，若在t+d点实行隔离措施强度不是1而是2,只需将上式中的（卜1）改为（卜2）即可。下面分别以为09和0.8的状况下，计算出t为5, 15,25时的隔离效果,见表4表4不同时期起先隔离的隔离效果（单位：人）=0.9=0.8t（天）d=ld=2d=3d=4d=5d=ld=2d=3d=4d=5598102312425539871812793814841580149209261304691311832262612517304251581527374449从表4中可以看出，早隔离比晚隔离好，隔离强度越大越好，与实际状况相符合。2对值如何确定的思索模型求解
10、步骤中留下这么一个问题，无论是求还是都须要知道值。是防控因子，与政府和医疗部门及社会公众的防范限制措施有关，它不是单一因素，而是多因素的综合，包括隔离、消毒、医药预防、削减公共场合开放时间以及公众H我防范意识的增加等。可以认为他可以通过模糊统计得到，这种统计所得的值只是反映了政府及医疗部门推行政策平缓期（即在此期间防控政策变更不大）的防范效果。2.1值的计算由于采纳模糊统计方法得到值所需样本必需足够大4,才能保证他的精确性，这里采纳了干脆运用已有隶属函数的方法。设论域，模糊集表示非典疫情得到有效限制，假设非典得到限制的程度与有关，即是的隶属函数4,则有：（12）式（12）中：指每口新增病例数，
11、若值很小，则：即当每口新增病例数小于等于时才可以说非典疫情得到有效限制。为常数，符合降半分布引入此隶属函数的目的在于确定值，因为由上述假设可知。我们供应了一种粗糙的算法。计算框图见图4。给定先估计值（初始值）解得满足否当变动时，解否是图4确定值的计算框图SARS疫情从初始到高峰期，每日得病人数不一样，自4月20日起，起先一段时间i（t+D-i（t）较大，而后渐渐有降低趋势。为了得到一般性要求，我们就要取从疫情初始发展到高峰期那段时间中平均的每口得病人数，即（m即到达高峰期的前一天，对北京疫区而言，系指5月30日，也即m=41）；a的值我们不妨设为2（当然依据社会的关注程度可以进行调动）：值事先
12、须要估计，即先定义其初始值，通过解得k,再依据U的变更，解得的状况值。2.2两点探讨在2.1中所给出的算法不适应计算当期的，因为当期的高峰期到达的时间不知道，假如只依据已有的每日新增病例数，通过求平均值得到U,这就使得u丢失对整个当期每口新增病例数一般性的描绘，进而使值不精确。但是政府和医疗部门可以通过事后计第出值，用以评价和界定在非典期间所实行的防控措施的力度，当下一次疫情来临时.，就有了评比的基准，可以很好的衡量对N(I)的影响。另外在2,1中也同时给出了k的算法，同样k也不相宜计弊当期的值，缘由同上。但同样事后算得的k对下一次疫情的预控能起到主动意义。因为假如当下一次疫情来临时不变，不变
13、，则u即从初期到高峰期平均每口得病人数就可以预知，而当a变动时，通过就可以推出变更防控因子对下一次疫情平均每日得病人数的影响。并且由前可知，当a确定时，下期的发病高峰期到达的时间就会被知道，用u乘以这段时间就能得到下次疫情总共得病人数，进而将此数据与用得到的得病总人数相检验。参考文献：1.陈义华.数学模型.重庆：重庆高校出版社.19952.美D.尤金.MathCmaliea运用指南.北京：科学出版社.20013.殷祚云.1.ogistic曲线拟合方法探讨.数理统计与管理.P41-4620024.刘普寅、吴孟达.模糊理论及其应用.长沙：国防科技高校出版社.1998theSpreadMode1an
14、dAnalysisofTendencyonSARSShiPeijian1XuDuolin1ShuiShengjian2(1DepartmentofEconomicsandManagement：2DepartmentofCommunicationEngineering)Abstract：ThisthesisfocusesondiscussingthespreadofSRS.Wefoundandanalyzeatraditionalcontagiousdiseasemode1,andthenlead(namedtheanti-epidemicfactor)intothemodel.Soitisfe
15、asibletoquantifytheactiveeffectoftheisolationmeasuregovernmentandpublicsanityhadtaken.MeanwhiIethereisaquestionabouthowtodefinethevalueofarediscussedinthefollowingtext.InusingMistyMathematics,Wefindatheoreticalwaytocalculatethevalue.keywordsSARS:anti-epidemicfactor;membershipfunctiontheSpreadModelandAnalysisofTendencyonSARS1
