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1、第三章流体流淌的基本概念与方程质量守恒定律、牛顿其次定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应当遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章争论。本章首先介绍描述流体流淌的一些基本概念，然后推导出流体流淌的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的争论中是特别重要的。3.1 描述流体流淌的方法在流体力学的争论中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区分流体质点
2、，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a,b,c)是比较便利的，坐标(a,b,C)描述的只是某一特定的质点。在任何瞬时质点的位置可表示为(3.1)对于一给点的坐标(a,b,c),上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为加速度为(3.3)31.2欧拉法流体是由很多流体质点组成的连续介质，布满流淌流体的空间称为流场。表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观看流经该点的流体质点随时间的运动。这种争论流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场：(1)在空间某一点流淌参
3、数，如速度、压强等，随时间的变化；(2)这些参数相对于空间邻近点的变化。此时，流淌参数是空间点的坐标与时间的函数：(3.(4)或(3.4a)(3.(5)流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。采用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在X方向的加速度表示为：(3.6a)同样(3.6c)或写成矢量的形式(3.7)式中称为梯度，或运算符。方程(3.6)右端包含两种不同类型的两项：速度关于位置的变化与速度关于时间的变化。第一类的项称为迁移加速度，由于它们是与流场位置变化所引起的速度变化有关。方程(3.6)右端的最终三项即迁移加速度。其次类项是由给定点的速度随时间变化而引
4、起的加速度，称为当地加速度。方程(3.6)右端的第一项即为当地加速度。在欧拉法中，任何物理量导数的一般形式为(3.(8)式中称为当地导数，称为迁移导数。例如，密度的导数为(3.(9)Example3.1SupposethevelocitydistributioninaflowfieldisWhatistheaccelerationatpoint(3,1,2).例3.1，求点(3,1, 2)的加速度。设流场中速度分布为Solution:解Accordingtoequation(3-6),Wehave由方程(3-6),有=0+x2y(2xy)+(-3y)x2+0=27ms2=0+x2y.0+(-3
5、y).(-3)+2z20=9ms2=0+x2y0+(-3y)0+2z24z=64ms2So,theaccelerationofpoint(3,1,2)因此，点(3,1,2)的加速度为3.2流体流淌的分类与基本概念3.2.1 流体流淌的分类依据分类的观点的不同，流体的流淌可分为很多种类，包括：1 .基于流体的特性无粘流体是忽视粘性作用的抱负流体，没有粘性的流淌称为抱负流淌，反之则称为粘性流淌。流淌也可以分为不行压缩流淌（如液体）或可压缩流淌（如气体）。2 .基于流淌状态依据流淌状态的不同，流淌可分为：定常流淌与非定常流淌、匀称流淌与非匀称流淌、有旋流淌与无旋流淌、层流与湍流、亚音速、跨音速与超音
6、速流淌等。3 .基于空间变量的数目依据流淌参数所依靠于空间变量的个数，流体流淌可分为一维流淌、二维流淌与三维流淌。这种分类适用于全部的坐标系。3.2.2 流体流淌的基本概念1 .迹线迹线是在流场空间所作的一条曲线，其确定了给定的流体质点所经过的轨迹。换句话说，迹线是给定流体质点在一段时间间隔内留下的踪迹，迹线显示在不同的瞬间同一质点速度的方向。它是与拉格朗日法相关的概念。Fig.3-1 Streamline2 .流线某一瞬时的流线是这样一条曲线，在该曲线上各点的速度矢量与曲线相切，如图3-1所示。流线显示了在同一时刻不同流体质点的速度方向，它是一个与欧拉法相关的概念。在定常流中，迹线与流线重合
7、，但在非定常流中迹线与流线一般不重合。由于流场中任何一点的速度是唯确定的，两条不同的流线不行能相交于一点。流线是速度场的几何表示。假如流场的速度分布是已知的，则可以通过流线的微分方程求出流线方程。流线微分方程的推导如下：设图3-2中的曲线s为一条流线，曲线上任一点的流体质点速度为V,然后在A点取微元流线ds,依据流线的定义，必需满意心外，即dsv=O(3.10)Fig.3-2StreamlineDifferentialEquation由于ds和u的方向相同，它们在x、y及Z轴上的重量对应成比例，因此(3.11)方程(3.10)或(3.11)就称为流线的微分方程。Example3.2Assume
8、velocityfieldisknownas,findthestreamlineequationwhichpassesthroughpointA(-l,1)whilet=0.例3.2已知速度场，求t=0时通过点A(-1,1)的流线方程。Solution:Accordingtoequation(3.11),thedifferentialequationofstreamlineintheproblemis由方程(3.11),本题的流线微分方程为wheretimetshouldberegardedasconstant.Byintegratingtheaboveequation式中时间应被看为常数。积
9、分上式得namely即Thisequationisastreamlineaggregationatanyinstant,conventionallyitisreferredtoasstreamlinefamilyorstreamlinepattern.Whent=0,thestreamlinepatternis该方程式任意瞬时的流线的集合，通常称为流线族或流线谱。t=0时的流线族为Xy=CSubstitutethecoordinatesatpointA(-l,1)intoFig.3-3Example3.2theaboveequation,getC=-1.Thus将A点的坐标(-1,1)代入上述
10、方程，得C=l,所以xy=-1Thisisthedesiredstreamlineequation,asshowninFig.3-3.这即为所求的流线方程，如图33所示。3 .流管在流场中过任一非流线的封闭曲线上的每一点作流线，这些流线将形成一个管状表面，称为流管。流管内部的流体称为流束，如图3-4所示。由于流线上流Fig.3-4Stream Tube 流管体质点的速度总是与流线相切，垂直于流线的速度重量为零，所以流体不能穿过流管流入或流出。对于非定常流淌，流出内各点的速度是变化的，流管的外形也是变化的；对于定常流淌，流出内各点的速度保持不变，流管的外形也保持不变，流管就像真正的管子那样，将流
11、体限制在其边界内流淌。截面为无限小的流管称为微元流管，其极限就是流线。4 .流量与平均流速流量被定义为单位时间内通过一点的流体量，通常用符号q表示。流量可以表示为体积流量qv,m3s,或质量流量qm,kgso在处理不行压流体时通常用体积流量，而可压流体用质量流量较便利。通过微元面积dA的体积流量为(3.12)总体积流量可以对上式在整个流淌面积A上积分得到(3.13)从方程(3.13)可以看出，只有与断面垂直的法向速度重量对通过所考虑断面的流量有影响。在很多计算中，如管道的一维流淌，已知流量，需要求断面的平均流速而不关怀速度的实际分布状况。依据定义，平均流速等于流量除以横截面总面积A(3.14)
12、5 .系统与掌握体在流体力学中，系统被定义为一团可以与外界相互作ControlVolume用的流体质点集合。由于构成系统的物质永久保持不变，一个给定的系统的质量是恒定的，即系统与外界无质量交换。系统的外形、体积与位置是吧转变的，如图3-5所示。Fig.3-5System系统由于在固体力学中物体是很简洁判别的，所以系统法常用于求解与固体相关的问题。然而，对于流体的流淌，单个的流体质点很难相互区分，因此，就需要让我们只关注流体流淌空间来解决问题的这样一种方法。这就是雷诺输运定理，或者更准确的说，称为掌握体法，掌握体法在流体力学问题的求解中有着广泛的应用。Fig.3-6 Control Volume
13、 掌握体掌握体是为了关心求解流淌问题而在流淌空间任意建立的一个确定的区域，包含掌握体的边界称为掌握面。在很多问题中，部分掌握面会与某些物理边界、如管道壁相重合。掌握面的剩余部分是一个流体可以通过的假想的而，如图3-6所示的一维管道流淌。3.3雷诺输运定理在本节中，将推导系统与掌握体间的普遍关系式，其为运动流体的诸如连续性方程、能量方程与动量方程等主要方程供应了重要的依据，通常将该关系式称为雷诺输运定理。如图37(a)所示，在时刻t系统与掌握体的边界重合。经过时间间隔At后，系统移动了一点，并可能略微转变了外形，如图37(b)所示。少量的新的流体进入掌握体(I)中，而少量系统中原有的流体(IIl
14、)流出掌握体，(II,)代表经过时间间隔t+At后，系统原有的流体留在掌握体的部分。经过时间间隔t+&后，系统=I+,而掌握体=+1。留意，经过时间间隔t+At后，系统变化了，掌握体不变。Fig.3-7 (a) time t(b)time t + t令N表示某瞬时掌握体所包含的某一流体性质，如速度、质量、能量或动量等的总量，表示单位质量流体包含的N,从而N=m,式中m为所争论的流体质量。如令N=m,贝J=l,如=,N就是系统的动量，等等。参量N称为外延性，由于它与所争论的质量成正比。另一方面，n称为强度性，由于它与争论的质量无关。为了简洁起见，通常N代表质量。采用笛卡尔坐标系并在三个坐标方向积
15、分，得(3.15)依据物质导数的定义，N的变化率可表示为(a)式中V，是系统在t+t时刻的体积，V是t时刻的体积。参照图3-7(b),方程(a)可表示为(b)随着dto,rIi且o假如CV表示掌握体，则方程(可右端的第一项变为(C)这是在时刻t掌握体内物理性质的总量关于时间的变化率。方程(b)右端的其次项是流出掌握体的N的流量减去流进掌握体的N的流量，即流出掌握体的净流量。如用CS表示掌握面，方程(b)右端的其次项变为方程(b)则重新写为(3.16)或(3.16a)最终写为(3.16b)这就是雷诺输运定理，它表示系统内N的变化率对于掌握体内N的变化率加上N流出掌握体的净流量。3.4连续性方程连
16、续性方程是质量守恒定律在流体流淌中的应用。换句话说，连续性方程阐述了从某一空间区域流出的质量流量，减去同区域流入的质量流量，等于该区域内的质量增加率。连续性方程有两种，即积分形式和微分形式的连续性方程。下面将分别介绍它们。Fig.3-7积分形式的连续性方程在流场中任取一掌握体，如图37所示。流体不断流进流出掌握体，掌握体内流体的质量随时在发生变化。掌握体内流体质量的变化规律必需满意质量守恒定律，即通过掌握面的流体质量净流入流量等于掌握体内流体质量的增加率，表示为用数学式表示为(3.17)式中，CSI和CS2分别为掌握体的流入面与流出面，CV表示掌握体体积。上式左端第一项前面的负号表示流入面上速
17、度方向与掌握面外法线之间的夹角大于90。，而流入的质量流量为正值。右端项用偏导数表示是由于掌握体对参考系是固定不动的。积分域CSl与CSz之和等于整个掌握面CS,于是方程(3.17)又可写为：(3.(18)这就是适用于掌握体的积分形式的连续性方程。式(3.18)可以表示为更加有用的形式(3.(19)式中Vn表示在掌握体流入面的微元面积dA上的速度在微元面积内法线方向的投影;Vn2表示在掌握体流出面的微元面积dA上的速度在微元面积外法线方向的投影。对于不行压缩流体，由于P二常数，式(3.19)变为(3.(20)上式说明对于不行压缩流体，流入掌握体的体积流量等于流出掌握体的体积流量。当流体为可压缩
18、流体的定常流淌时，式(3.19)右端为零，即(3.(21)上式表面对于可压缩流体的定常流淌，流进掌握体的质量流量等于流出掌握体的质量流量。对于一维定常流淌，连续性方程可简化为(3.22a)或(3.22b)式中C为常数。对于不行压缩流体的一维定常流淌，有(3.23)Example3-3Waterflowsoutfromanorificealonghorizontaldirection,asshowninFig.3-8.Assumevelocityofeachpointonthesamesectionoftheejectedflowtubeisidentical.Theflowtubebendsd
19、ownbecauseofgravity.Bygivenexitvelocityvj=7.5ms,sectionareaattheexitisA=3cm2.Whatisthesectionareaoftheflowtubeatwheretheflowtubeisatanangleof45otothehorizontaldirection?例3-3水由孔中沿水平方向流出，如图38所示。设射出的流束在同一截面上各Fig.3-8Example 3-3点上的相等。由于地球引力的作用，流束向下弯曲。若已知出口速度V=7.5ms,出口截面面积为A1=3cm2o试求在流束与水平面成处的截面积。Solution
20、:?TakeflowtubebetweenAandA?asthecontrolvolume,thentheanglebetweenA?andhorizontalplaneis45o.Accordingtoequation(3-21),forincompressibleone-dimensionalsteadyflow取Al、A2之间的流束段为掌握体。则A2与水平面的夹角为45。对于不行压缩一维流淌，由方程(3-21)得Sincetheresistanceofairisneglected,thecomponentofvelocityinhorizontaldirectionremainsunch
21、anged,namely,thehorizontalcomponentofV2equalsvv2cos45o=v,substitutethisrelationshipintotheaboveequation,wehave由于忽视空气的阻力，流速在水平方向的重量保持不变，式中V2在水平方向的重量等于V1,即V2C0s45*vl,代入上式可得3.4.2微分形式的连续性方程方程(3.18)可改写为(3.24a)式中，Vn是V在dA外法线方向的投影。数学中有高斯公式，式中Bn是矢量B在微元面积dA外法线方向的投影，是体积域C的封闭表面积。式(3.24a)中，PVn也可以看成矢量PV在dA外法线方向的投
22、影，于是由高斯公式得(3.24b)上式代入式(3.24a),得(3.24c)将上式进一步改写为(3.24d)由于掌握体是任意选取的，要使上式成立，被积函数必需到处为零，即(3.25)这就是微分形式的连续性方程。对直角坐标系，上式可以写成(3.26)对于柱坐标系，式(3.25)可表示为(3.27)式中Vr、vVZ分别为速度沿柱坐标轴r、仇Z的重量。对于可压缩流体的定常流淌，因，式(3.26)简化为(3.28)对于不行压缩流体，无论是定常流淌或非定常流淌，因P二常数，式(3.26)简化为(3.29)连续性方程确定了流场中速度和密度之间应满意的关系。对于不行压缩流体，方程(3.29)确定了速度场中各
23、速度重量之间应满意的关系。这样我们可以采用连续性方程来推断给定速度场在物理上是否可能。Example3-4Ifthevelocityfieldanddensityfieldareandrespectively,trytodemonstratethattheysatisfycontinuityequation.例3-4若速度场与密度场分别为满意连续性方程？Solution:Substitutethevelocityfieldanddensityfieldintoequation(3-23),weobtain解：将速度场与密度场代入连续性方程(3-23),得Thismeansthatthegive
24、nvelocityfieldanddensityfieldsatisfycontinuityequation.说明给定的速度场与密度场满意连续性方程。Example3-5Athree-dimensionalincompressibleflowfield,knownthat,trytofindvz.例3-5有一个三维不行压流场，已知，求VzoSolution:Continuityequationforincompressiblefluidis解：不行压缩流体的连续性方程为Fromgivenconditions,Wehave,andtakethemintheaboveequation由已知条件，将
25、其代入上式，得Byintegration,Weobtain积分，得whereC(x,y)isthefunctionofxandy.LetC(x,y)=Oforsimplification,thus式中C(x,y)是x、y的函数。为了简洁起见，取C(x,y)=0,则3.5伯努利方程抱负流体的运动微分方程在流淌的抱负流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz,如图3-12所示。由于是抱负流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z,压强为p。先分
26、析X方向的运动，在垂直于X轴的左右两个平面中心点上的压强各等于Fig.3-12ParallelepipedElement由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力重量为人、为和方，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在X轴方向的重量为Jxpdxdydz又流体微团的加速度在X轴上的投影为，则依据牛顿其次定律得X轴方向的运动微分方程将上式各项除以流体微团的质量P公UMz,化简后得：(3.30a)同理得(3.3Ob)(3.3OC)这就是抱负流体的运动微分方程，早在1755年就为欧拉所提出。对于静止的流体，则由式(3.30)可以直接得出流体平衡微分
27、方程，即欧拉平衡微分方程(2.8)。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。假如把加速度写成绽开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式(3.31)在大多数状况下，作用在流体上的质量力人、人和力是已知的，对抱负不行压缩流体其密度P为一常数。在这种状况下，式(3.31)中有四个未知数以、NyZ和P，而式(3.31)中有三个方程，再加上不行压缩流体的连续性方程(3.29),就从理论上供应了求解这四个未知数的可能性。3. 5.2抱负流体微元流束的伯努利方程1 .抱负流体微元流束的伯努利方程抱负流体的运动微分方程(3.31)只有在少数特别状况下才能求解。在下列几个假定条件下，即可求得抱负流体微
28、元流束的伯努利方程：(1)不行压缩抱负流体的定常流淌；(2)沿同一微元流束(也就是沿流线)积分；(3)质量力只有重力。假定流体是定常流淌，则有因此方程(3.31)可写成(3.32)假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dzo现用dx、dy和dz分别乘以式(3.32)的第一式、其次式和第三式，则可得到(3.33)由流线微分方程(3.11)有(3.34)将式(3.34)代入式(3.33)中的对应项，则得(3.35)将式(3.35)的三个方程相加，得(3.(36)由于式(3.36)中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个重量，所以要沿流线(或微元流束)进行积
29、分。在方程(3.36)中(3.(37)(3.(38)假设质量力只有重力，因此f=O,fy=O,fz=g,即Z轴垂直向上，OXy为水平面。则式(3.38)可表示为(3.(39)又由于流体为不行压缩均质流体，即P=常数，积分方程(3.39),得(3.(40)(3.41)方程(3.41)称为抱负流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围是：抱负不行压缩均质流体在重力作用下作定常流淌，并沿同一流线(或微元流束)。若1、2为同一条流线(或微元流束)上的任意两点，则式(3.41)也可写成(3.42)在特别状况下，肯定静止流体v=0,由式(3.41)可以得到静力学基本方
30、程2.伯努利方程的物理意义和几何意义(1)物理意义抱负流体微元流束的伯努利方程式(3.41)中，左端前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项Z表示单位重量流体所具有的位势能；其次项p(pg)表示单位重量流体的压强势能；第三项v2(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mv22,则单位重量流体所具有的动能为v2(2g)即(mv22)(mg)=v2(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：抱负不行压缩流体在重力作用下作定常流淌时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的
31、位势能、压强势能和动能之和保持不变,即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换。所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特别表现形式。(2)几何意义TotalHead LineFig.3-13 Geometric Significance抱负流体微元流束的伯努利方程式(3.41)中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项Z表示单位重量流体的位置水头，其次项p(pg)表示单位重量流体的压强水头，第三项v2(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所争论流体由于具有速度V,在无阻力的状况下，单位重量流体所能垂直提升的最大高度，称之为速度水头。位置水头
32、、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图3-13所示。因此伯努利方程也可叙述为：抱负不行压缩流体在重力作用下作定常流淌时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，总水头是一常数。3.5.3伯努利方程的应用伯努利方程有特别广泛的应用，这里只介绍几个常见的应用伯努利方程的实例。1 .皮托管简洁的Pilot管是一根两端开口、弯成直角的玻璃管，如图314所示。1773年皮托首次用这样的玻璃管测量了塞纳河水的流速。其方法是，将玻璃管的一端放人水深为Ho处，开口面对来流；另一端开口向上，管内液
33、面提升，高出水面h。A点速度为零，是水流中的驻点。驻点的压强称为滞止压强或总压。在A点的上游同一水平流线上取一点B,B点未受测Fig.3-14PitotTube皮托管管的影响，B点的速度即水流的速度。对A、B两点应用伯努利方程，得由于Va=O,Za=Zb,代人上式可得（a）由流体静力学，可知（b）将（b）式代入（a）式，得(3.43)2.文丘里管文丘里管由收缩段、喉部和扩张段组成，如图3-25。直径最小处称为喉部,使用时将文丘里管装入流道，文丘里管本身也成为整个管道的一段。在文丘里管的收缩段之前截面1和喉部截面2两处开孔装测管，测量两截面的静压差。依据测得的静压差和截面面积就可计算出管道的流量
34、。依据伯努利方程(a)Fig.3-15VenturiTube(b)由式(a)、(b),有(3.44)由连续方程，有Fig.3-16 Orifice Outflow小孔流出当用图315所示的U型管压差计测量时，由于从而(3.45)由于实际流体都有粘性，用上述公式计算时，需要一个由试验确定的修正系数(通常为0.980.99)对公式进行校正。3.小孔流出一个敞口的大容器内盛有液体，容器的侧壁下部开一小孔，设孔口与液体自由面的高度差为A,不考虑流体粘性的影响，见图316。现争论孔口流出的速度。设液体自由面的面积和孔口面积相比很大，由连续方程，液体自由面下降的速度很小，存在一条流线的一端在水面上A点另一
35、端在孔口的B点。对A、B两点应用伯努利方程由于,由上述方程可得(3.46)Example3.6ThereisawaterstorageequipmentasshowninFig.3-17,thereservoirisbigenough.Thereadingofthepressuregaugeis2.8pawhilethevalveisclosed.Whenthevalveisfullopen,thereadingofthepressuregaugeis0.6pa.Ifthediameterofwaterpipeisd=12cm,whatistheoutflowrateofvolumepassi
36、ngthroughtheoutletFig.3-17 Example 3-6(neglectflowloss)?例3.6有一贮水装置如图3-17所示,贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流淌损失)。Solution:EstablishBernoulliequationforsection1-1and2-2whilethevalveisfullopen解：当阀门全开时列1-1、2-2截面的伯努利方程(a)Whenthevalveisclosed,accordi
37、ngtothereadingofthepressuregauge,themagnitudeofHmaybeobtainedbyadoptingthebasicequationoffluidstatics当阀门关闭时，依据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出H值(b)Substitute(b)into(a),weget将(b)式代入到(a)式，得Thustheoutflowrateofvolumeinthepipeis所以管内的体积流量为Example 3.7AcurrentflowsintoatmospherebypassingthroughpipelineasshowninFig.3-1
38、8.ItisknownthattheheightdifferenceofmercurycolumninU-tubemanometerish=0.2m,andh=0.72mH2O,pipediameterisd=0.1m,outletdiameterofthenozzleisd2=0.05m.Neglectheadlossinthepipeline,findtheflowrateqvinthepipe.例3.7水流通过如图3-18所示管路流入大气，已知：U形测压管中水银柱高差h=0.2m,h=0.72mH2O,管径d=0.1m,管嘴出口直径d2=0.05m,不计管中水头损失，试求管中流量qv。S
39、olution:Firstcalculatethepressureatthecenterofsection1-1inthepipeline.SinceA-Bisisobaricsurface,itsequationis解：首先计算1-1断面管路中心的压强。由于A-B为等压面，其方程为：Thus则Fig.3-18 Example 3-7EstablishBernoulliequationforsection1-1and2-2列1-1和2-2断面的伯努利方程Fromcontinuityequation由连续性方程Substitutegivendataintotheaboveequation将已知数
40、据代入上式，得Sotheflowrateinthepipeis管中流量为AsshowninFig.3-19,aliquidflowsoutfromasiphon,keephunchanged,whenh,ishighenough,flowinthesiphonwillbeinterrupted.Ifthesaturatedvaporpressureoftheliquidispv,determinethemaximumvalueofh,.(Neglecttheeffectoffluidsviscosity）例3.8如图319所示，液体由虹吸管流出，保持h不变，当M足够大时虹吸管中的流淌将中断。假
41、如液体的饱和压强为Pv,试确定h，的最大值。（不考虑流体的粘性影响）Solution:EstablishBernoulliequationforsection1-1and2-2解：列1-1和2-2断面的伯努利方程Sincep=p2=pa,v=O,z2=O,Substituteintotheaboveequation由于p1=p2=Pa,vi=0,Z2=O,代入上式，得Thisequationmeansthatthevelocityattheoutletofthesiphonhasnothingtodowithitspeakheighth.ApplyBernoulliequationtothef
42、reesurfaceandthepeakofthesiphon,wehave该式意味着虹吸管出口处的速度与其最高点的高度h,没有关系。对自由面和虹吸管最高点应用伯努利方程，得wherepisthepeakpressureofthesiphon.Whenp,=pv,theliquidstartsvaporizing,thentheflowisinterrupted,h,reachesthemaximuminthiscase.ListBernoulliequationforthefreesurfaceandthepeakasfollows:式中P为虹吸管最高点的压强。当P=Pv时，液体开头汽化，从
43、而中断流淌，此时h，达到最大值。列自由液而与最高点的伯努利方程如下：Thus故3.6动量方程在流场中任取一掌握体，如图3-20所示。掌握体承受的力包括表面力和质量力。掌握体受到的力可以引起掌握体内动量的变化，流体流进流出掌握体也可以引起掌握体内动量的变化。掌握体受到的力、流入流出掌握体的动量和掌握体内动量的变化应满意动量守恒原理，即掌握体受到的力（包括质量力和表面力）与单位时间内通过掌握面净流入掌握体的动量之和等于单位时间内掌握体内流体动量的增量。可以表示为Fig.3-20ControlVolume掌握体用数学式可以表示为(3.47)由于在流入面nv为负值，故上式第三项前面加负号才成为正值，表
44、示流入的动量。将上式改造为（3.48）方程（3.48）就是适用于掌握体的积分形式的动量方程。方程（3.47）也可表示为更有用的形式（3.49）式中vn表示在掌握体流入面的微元面积dA上的速度在微元面积内法线方向的投影;Vn2表示在掌握体流出面的微元面积dA上的速度在微元面积外法线方向的投影。变为对于定常流淌，掌握体内的动量保持不变，即，则方程(3.49)(3.50)动量方程是矢量平衡方程，可以表达成重量平衡的形式。假如掌握体有多个进出口，每个进出口截面具有相同的速度与密度，则重量形式的动量方程可表示为(3.51)式中分别表示掌握体受到的质量力与表面力的合力。对于一维定常流淌，重量形式的动量方程
45、可表示为(3.52)由方程(3.50)(3.52)可知，对于定常流淌，掌握体所受的质量力与表面力的矢量和等于掌握体动量矢量的净流出量。需要指出，上述动量方程是从牛顿运动其次定律推导得出的，而牛顿运动其次定律只适用于惯性坐标系或者相对于惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系，故上述动量方程也只适用于惯性坐标系或相对于惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系。Example3.9AnincompressiblefluidofdensityPflowssteadilyinaconvergingsiphoninstalledhorizontally,asshowninFig.3-21.Theintersection
46、anglebetweeninletandoutletvelocityisa.Itisknownthatthearea,velocityandpressureattheinletisA.v,prespectively,andtheareaandpressureattheoutletisATandp2.Findtheforceexertedbythefluidonthesiphoninhorizontaldirection.例3.9密度为P的不行压缩流体定常地在图3-21所示的水平安装的收缩型弯管中流淌，流体出口速度方向与进口速度方向之间的夹角为已知进口的面积、速度和压强分别为Ai、W、pi,出口
47、的面积和压强分别为A2和p2o求流体对弯管在水平Fig.3-21Example3-9方向的作用力。Solution:Takethepartofpipebetweeninletandoutletsectionasthecontrolvolume,sincethesiphonishorizontallyinstalled,componentsofgravityinhorizontaldirectionsequalzero.TheforceactingonthecontrolvolumebytheboundaryisdenotedbysymbolF.解：取进出口截面之间的管段空间为掌握体，由于水平安装，重力
