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1、八个模型搞定空间几何体的外接球与内切球1.1球与正方体如图1所示,正方体/VJCQ-AAGR,设正方体的校长为E,E”,G为梭的中点，。为球的球心,常见组合方式有三类一是球为正方体的内切球.截面图为正方形E/P和其内切困,则0J=r=3;二是与正方体各擅相切的球,低面图为正方形E/PH和其外接回.则IGa=/?=*“；三是球为正方体的外接球,载面图为长方形ACIIG和其外接圆，则IAa=*长方体各项点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的极长为b.c.其体对角线为/.当球为长方体的外接球时.截面图为长方体的对角面和其外接圆.和正方体的外接球的道理是一样的.故球的半
2、径R=I=立+：+.1.3球与正梭柱球与一般的正梭柱的组合体,常以外接形态居多下面以正三梭柱为例，介绍本类短目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱八3。-346的高为九底面边长为”.如图2所示,。和。分别为上下底面的中心.根据几何体的特点.球心必落在高。的中点。,。=14。=凡八。=乎”,倡助直向三角形AOO的勾股定理.可求/?=他尸+(gG1.2.1球与正四面体正四面体作为一个规刖的几何体.它既存在外接球,也存在内切球.并且两心合一，利用这点可顺利掰决球的半径与正四面体的棱长的关系如图4设正四面体S-/ViC的棱长为。,内切球半径为匕外接第1页共12页球的半径为R.取AB的中点为。，E为S在底
3、面的射影.连接CO3DSE为正四面体的高.在截面三角则有形SQC.作一个与边5Q,和力C相切,Sl心在高SE上的圆,即为内切球的於面因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球6同为。此时,CO=OS=R.0E=JSER+r=R,霜_/=.肝=!解得：R=叵,r=&a.V33412同时我们可以发现，球心。为正四面体高的四等分点.图4类型一、墙角模型（三条侧梗互相垂直的三棱雄组合问题，基本方法是补形法，即把三棱错补形成正方体或者长方体）例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C)A.16B.2()C.2411D.3211(2)若三棱锥的三个仰面两
4、垂直，且侧核长均为6.则其外接球的表面积是9解：(1)V=A=16,=2.S=24,选C;(2)4/?:=3+3+3=9.S=4成二=91(3)在正三棱惟5-A3C中.W、N分别是棱5C、8C的中点.且AM_1.AfN,若恻授S4=2、6，则正三梭锥S-AZJC外接球的表面积是.36;T斛：引理正三校11的财检互蜜，证明如下如图(3)-1,取AB.8C的中点O.E,连接A8.AEC。交于连接S”.则H是底面正三角形ABC的中心.SHJ_平面A3C.SH1.AH,.AC=BC1Af=8Z.8_1.A3.，43_1.平面SCD,AHSC.同理：BC1.SA.ACSB1即正三棱钳的对蛾互垂直.本题图
5、如图(3)2.AM1MN.SBHMN.AM1SB.AClSfi.a581平面SAC.；.SB上SA,SBSC.SBSA.BCSA.SA_1.平面SRC.:.SA1SC.故三棱ItS-ABC的三棱条侧被两两互相垂直.(2)i=(23)j+(2J5)2+(23)i=36,即=36.正三核镣S-A3C外接球的表面积是36加(4)如果三棱铤的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是斛：(4)三条IH棱两两垂直，设三条侧蝮长分别为b.c(a,b.ceR),则就=12be=8,(ibc=24,:.a=3,b=4,c=2.ac=()(2/?):=+b2+c2=29.5=4=29
6、.(5)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰包角三角形和边长为I的正方形.则该几何体外接球的体积为(2R)=a2+h-+ci=3./?=-,R=昱p424=一成3类型二、瓯面模型(一条直线雳直于一个平面)1翅设；如图5,PAJ平面A8C解题步骤:第一步：将/VlAC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小国的直径40,连接PO.则P。必过球心。；第二步：。为A8C的外心，所以OaJ.平面A8C豫出小EQ的半径。P=r(三角形的外接四直径算法：利用正弦定理.得=-=2r),OO1=-PA;sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱倍的外接球半径：(2/?-=PV+(2
7、r)2O2=7球的表面积为(D)AlbrB.711C.-11D.-113解析：(4)在4BC中，BC=AC1+-2BBCcosl20=7,Rr例7=f.A8C的外接球直径为2r=丁与一二SinNBAC+(2r)2；R=r(1)在四面体S-ABC中,SAl5FffifAfiC./MC=120；SA=AC=2,八G=I,则该四面体的外接+OOOR=M+Oq2(2R)2=(2r)2+5A2=(2较设：如图6,7.8.P的射影是MBC的外心。三棱IttP-ABC的三条恻蝮相等。三棱锥。-A8C的底面AABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆钳的顶点解题步骤第一步：确定球心。的位置,取A3C的外、。则RO,Q
8、三点共线；第二步：先算出小圜。的半径八。=1.再算出援铤的高Pa=（也是脸钺的高）第三步：勾股定理：o=/+/?2=/+O1O2OAC=2,R二OQ?3如图9T,平面PAC，平面A8C.S.ABIBC(即AC为小四的直径).且PA1.AC.则利用勾股定理求三极锥的外接球半径：1(2R)2=P+(2r)*IR=42+(2)2;2Ri=r2+(X)i2oR=yjr2+OO例3(D正四蝮钳的顶点都在同一球面上,若该梗镀的高为1.底面边长为2、行，则该球的表面积为,(2)正四极锥5-A3C。的底面边长和各级梭长都为、行，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为一解：(I)由正弦定理或找球心都可得2R=7
9、.S=4Mf=49.(2)方法一：找球心的位置,易知，=1,%=1.a=1.故球心在正方形的中心ABCD处./?=1,V=方法二：大圆是轴数面所的外接圆,即大圆是5AC的外接圆,此处特殊，m5AC的斜边是球半径.2R=2,R=1.V=3(3)在三棱椎P-ABC中.PA=PA=PC=5,恻棱尸A与底面ABC所成的角为60二则该三接键外接球的体积为(A.*B.C.11D.43解：选D,圆钺A.3.C在以r=、-的圆上，R=I(4)已知三棱惟S-ABC的所有顶点都在球。的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球。的直径,且SC=2,则此棱钳的体积为()A类型四、汉里模型(直梭柱的外接球、HI柱
10、的外接球)=2.AD=BC=3.AC=8)=4,则三棱锥人一88外接球的表29面积为0-112翻析：如图12,设补形为长方体.三个长度为三对面的对角线长，设长宽各分别为b.c,则2+c2)=25+56+49=li().a2+2+c2=55,42=55.S=55r【55k,对称几何体,放到长方体中】(5)正四面体的各条梭长都为J则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式,放入长方体中,2e=3.r=2K=。迪旦2382类型七、两直角三角形拼接在一起(斛边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：ZAPB=ZACB=iX),求三梭锥尸-A3C外接球半径(分析取公共的
11、斜边的中点O.连接OP.OC则。A=O8=。C=OP=1.48.O为三棱钳P-ABC外接球球心,然后在OCP中求出2半径),当名作矩形沿对角线折起所得三棱锭时与折起成的二面角大小无关，只要不是半角球半径都为定例7(1)在矩形A8C。中.人8=4,WC=3,沿4C将矩形/18C。折成一个直二面角AC则四面体ABCD的外接球的体积为()斛；(1)2R=AC=5,R=-.V=-,=-=.选C23386(2)在矩形A3C。中.AB=2.BC=3,沿将矩形ABC。折叠,连接AC,所得三棱锥A-8C。的外接球的表面积为.解析：(2)8。的中点是球心O.2R=BD=屈,S=4Mf2=l3*;类型八、锥体的内
12、切球问题1 .题设：如图II,三棱钺P-ABC上正三棱银.求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图,EH分别是两个三角形的外心；第二步：求。=18。，PO=PH-r.PO是恻面AABQ的高；3第三步：由MOE相似于AP。,建立等式器=1,解出2 .翅设：如图15.四棱钳P-人8C上正四棱镀.求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图,Ro三点共线；第二步：求/7/=：8C,PO=PH-r,/沙是恻面AFCQ的高；2第三步：由APoG相似于APH建立等式：空=.解出3 .题设：三棱锥一人ZiC是任意三棱稚，求其的内切球半径方法：等体积法.即内切球球心与四个面构成的四个三棱钳的体积之和相等
13、第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；图15第一步：设内切球的半径为r,建立等式：P-AHC-A(S-AC+-PSCz*f-ftc=SMeCr+SrMtrSxaCr+：SPttC=:(SlMeC+S,.0+SpAC+Samr，第三步：解出r=SOTflC+SOTaB+SQ-PKC+SO-PflC习题：1若三棱锋S-ABC的三条便按两两垂直,且SA=2.S3=SC=4.则该三棱检的外接球半径为()A.3B.6C.36D.9翔:(2/?)2=4+16+16=6.R=3【三棱锥有一恻棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】2 .三梭锥SA8C中，侧梭SAJ.平面A8C.底面八5C是边长为J
14、5的正三角形,SA=26,则该三棱钳的外接球体积等于.解析：2r=,E,c7=2.(2K)2=4+12=16.R2=4,R=2,外接球体积;8=挈sin6033【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小IS半径】3 .正三棱钳S-八8C中，底面48C是边长为、回的正三角形倒楼长为2,则该三棱锥的外接球体积等于.解析：M8C外接8的半径为，三梭锥S-A8C的直径为2R=-r=-.外接球半径K=,sin6033或内=(K-6)2+l,R=9,外接球体积v=g成，=C乃&=必等.33333274 .三棱锥。一八8。中,平面PAC_1.平面八8C,尸AC边长为2的正三角形，ABlBC,则三棱锥P-A3C外接球的半径为.242解析：APAC的外接叫大圆.2=-=?-.右后5 .三梭锥P-A3C中.平面PAC_1.平面A8C.AC=2,PA=PC=3,ABlBC,则三极锥。-ASC外接球的半径为.皿y/0PAi+PC：-ac9+9-47.,zn1,7、I62.八,42解析：COSNF=-,sinZP=1-().SinNP=,2PAPC233998192992962人至=M=H,96 .三梭ItP-ABC中,平面PACJ_平面A3C,AC=2.PAlPC,ABlBC,则三极锥PA3C外接球的半径为.解：4C是公共的斜边，AC的中点是球心。，球半径为/=1
