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1、空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】1 .求点m(a,2 .设a(?3,3 .证明a(1,b,c)分别关于(1)XZ坐标面(2)X轴(3)原点对称点的坐标.x,2)与b(1,?2,4)两点间的距离为29,试求x2,3)b(3,1,5)c(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点.4 .设？abc的三边？，?,?,三边的中点依次为d,e,f,试用向量表示，并证明：？,5 .已知ta?i?j?2k,b?3i?j?k求2a?3b,2a?3b.6.已知：向量与X轴，y轴间的夹角分别为？?60,?1200求该向量与Z轴间的夹角？.7 .设向量的模是5,它与X轴的夹角为0?,求向量在X
2、轴上的投影.48 ,5),c(3,?1,?2)计算:2?3,8.已知:空间中的三点a(0,?1,2),b(?1,?4.9 .设a?2,10 .设：?2,0,?1?,b?1,?2,?2?试求a?b,2a?5b,3a?b.?2,1?,试求与a同方向的单位向量.11 .设：?3?5?2,?2?4?7,?5?4,?4?3?试求(1)在y轴上的投影；(2)在X轴和Z轴上的分向量；(3*12 .证明：(？)？(？)？.13 .设：a?3,?220,?1?,求？，(?).设a?2i?xj?k,b?3i?j?2k且a?b求X15.设?0,1,?2?,?2,?1,1?求与和都垂直的单位向量.0),b(72,1,
3、3),c(2,?1,2)求?abc的面积.16.已知：空间中的三点a(1,1,17 .(1)设求？(2?1求？18 .?3?5,试确定常数k使？k,?k相互垂直.?19 .设向量与互相垂直，(a?c)?3?,(b?c)?6?1?2?3?.20 .设：?3?5,?2?3求a?b21 .设ta?3i?6j?k,b?i?4j?5k求(1)a?ai(2)(3?2)?(?3)：3)a与b的夹角.?22 .设：(?)？23 .设：a?1,?6?1?.?(1)a?b；(2)a?b；(3)cos(?).?1,2?,?1,?2,1?,试求：24 .?3?26?72,求a?b.25 .设a与b相互垂直，?3?4,
4、试求(1)(a?b)?(a?b)；(2)(3a?b)?(a?2b).26 .设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a27 .已知，求(1)(2)(3)4)?3?2?,?2,a?b；a?i?b.(?2)?(2?3)i(?)?28.求与2?2,2也？8,?10,?6?都垂直的单位向量.29 .已知:a?3,?6,?1?,b?1,4,?5?,c?3,?4,12?求(a?c)b?(a?b)c在向量上的投影.30 .设ta?b?c?d,a?c?b?d且b?c,a?d证明a?d与b?C必共线.31 .设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向a与b的夹角.32 .设：？2,?3
5、,6?1,2,?2?向量在向量与?342,求向量的坐标.?33 .?4?3,(a?b)?34.求过点p(7,35 .过点p(1,36 .过点m(1,37 .过点a(3,?6求以？2和？3为边的平行四边形面积.2,?1),且以？?2,?4,3?为法向量的平面方程.0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程.？3,2)且垂直于过点a(2,2,?1)与b(3,2,1)的平面方程.b(4,?1,?1),c(2,0,2)的平面方程.38 .过点p(2,1,1)且平行于向量？?2,1,1?和？?3,?2,3?的平面方程.39 .过点m。(1,?1,1)且垂直于平面x?y?z?1?0及2x?y?z?1
6、?0的平面方程.40 .将平面方程2x?3y?z?18?0化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距.41 .建立下列平面方程(1)过点8.1向量及其线性运算1.填空题(1)点(1,1,1)关于XOy面对称的点为(1,1,71)关于yoz面对称的点为(?1,1,1)，关于XoZ面对称的点为(1,71,1).),关于y轴对称的点为(?2,?1,?2),关于Z轴对称的点为(?2,1,2),关于坐标原点对称的点为(?2,1,?2).2.已知两点m1(1,1,1)和m2(2,2,1),计算向量m1m2的模、方向余弦和方向角.解:因为12?(1,1,0),故|12|?2,方向余弦为cos?22,COS?2
7、2,cos?0,方向角为？?4,?2.3.在yoz平面上，求a(1,1,1).b(2,1,2).c(3,3,3)等距离的点.解X设该点为(O,y,z),则1?(y?1)2?(z?1)2?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2,BP?1?(z?1)2?4?(z?2)2?z?3?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，解得？y?3,则该点为(0,3,3).4 .求平行于向量a?2i?3j?4k的单位向量的分解式解;所求的向有两个，一个与a同向，一个与a反向.因为|a|?22?32?(?4)2?29,所以ea?129(2i?3j?4k).5 .已知点b
8、(1,?2,6)且向量在X轴、y轴和Z轴上的投影分别为?4,4,1,求点a的坐标.解：设点a的坐标为(x,y,z),由题意可知(1?x,?2?y,6?z)?(?4,4,1),则x?5,y?6,z?5,即点a的坐标为(5,?6,5).8.2数量积向量积1.若|a|?3,|b|?4,(a,?b)?3,求c?3a?2b的模.解，c2?(3a?2b)?(3a?2b)?3a?3a?2b?3a?3a?2b?2b?2b?9|a|2?12a?b?4|b|2?9?32?12?3?4?cos3?4?42?73所以|c|?73.2 .已知|a?b|?|a?b|,证明:a?b?O.证明：由|a?b|?|a?b|,可得
9、|a?b|2?|a?b|2,可知(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b),展开可得|a|2?|b|2?2a?b?|a|2?|b|2?2a?b,即4a?b?0,故a?b?O.3 .4 .已知a?(1,2,4),b?(3,?3,3),求a与b的夹角及a在b上的投影.解：a?b?1?3?2?(?3)?4?3?9,cos?9?4?16?9?9?9?7,?arccos77.因为a?b?|b|prj9ba,所以prjba?33?3.5.8.3曲面及其方程1.填空题(1)将XOZ坐标面上的抛物线z2?4x绕X轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(z2?y2?4x),绕Z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方
10、程为(z2?4x2?y2).(2)以点(2,?3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为(x?2)2?(y?3)2?(z?2)2?17).(3)将Xoy坐标面的圆x2?y2?4绕X轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(x2?y2?z2?4).2.求与点a(1,2,1)与点b(1,0,2)之比为1:2的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解；设动点为p(x,y,z),由于|pa|:|pb|?1:2,所以2(x?1)2?(y?2)2?(z?1)2?(x?1)2?(y?0)2?(z?2)2,解之得3x2?3y2?3z2?6x?16y?4z?19?0,即(x?1)2?(y?83)2?(z?23)2?209
11、,所以所求的动点的轨迹为以点(1,82253,3)为心，半径为3的球面.38.4空间曲线及其方程1.填空题(1)二元一次方程组？?y?2x?1在平面解析几何中表示的图形是(两相?y?4x?3交直线的交点(2,5”；它在空间解析几何中表示的图形是(两平面的交线，平行于Z轴且过点(2,5,0).(2)旋转抛物面z?x2?y2(0?z?2)在xoy面上的投影为(?z?x2?y2?2)在XOZ面上的投影为(x2?z?2),在yoz面上的投?z影为(y2?z?2).2.求球面x2?y2?z2?4与平面x?z?1的交线在xoy面上的投影方程.解,将z?1?X代入x2?y2?z2?4,得x2?y2?(1?x
12、)2?4,因此投影方程为？?z?0?2x2?2x?y2?3.224.分别求母线平行于X轴、y轴及Z轴且通过曲线？x?2y?z2?4?x2?y2?2z2?0的柱面方程.解：在？x2?2y2?z2?4?x?y?2z?0x得3y27z22中消去?4,即为母线平行于X轴？22且通过曲线的柱面方程.在？x2?2y2?z2?4?x2?y2?2z2?0中消去y得3x275z2?4,即为母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程.在？x2?2y2?z2?422?x2?y2?2z2?0中消去z得x?5y?8,即为母线平行于z轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为春数方程，(1)?(x?1)2?y2?z2?
13、4?x?1?y解：将y?x?1代入(x?1)2?y2?z2?4得2(x?1)2?z2?4,即(x?1)2z2(2)2?4?1.令x?1?2cos?,z?2sin?,所求的参数方程为？x?1?2cos?y?2cos?.?z?2sin?.8.5平面及其方程1.填空题(1)一平面过点(1,1,?4)且平行于向量a?(2,1,?1)和b?(1,0,1),平面的点法式方程为(x?1)?3(y?1)?(z?4)?0),平面的一般方程为(x?3y?z?2?0),平面的截距式方程(xy2?z2?1),平面的3?2一个单位法向量为(11(1,73,1).(2)设直线I的方程为？a1x?b1y?c1z?d1?0?
14、a2x?b2y?c,当(d1?d2?0)2z?d2?0时，直线I过原点；当(a1?a2?0)且(d1?0或d2?0有一个成立)时，直线I平行于X轴但不与X轴相交；当(b1d1b?)时，直线I与y2d2轴相交；当(c1?c2?d1?d2?0)时，直线I与Z轴重合.2.求过三点(3,1,?3)和(0,1,2)的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为x?x1y?y1z?z1x?1y?1z?1x2?x1y2?y1z2?z1?3?11?1?3?1X3?x1y3?y1z3?z10?11?12?1x?1y?1z?1?22?4=0,即5x?y?3z?7?0.?1213 .求过点且垂直于两平面x?
15、y?2z?0和x?2y?5z?0的平面方程.Ijk解：该平面的法向量为1?2?i?7j?3k,平面的方程为？25(x?1)?7(y?1)?3(z?1)?0,即x?7y?3z?5?0.4 .分别按下列条件求平面方程：(1)平行于y。Z平面且经过点(2,?3,?2)；(2)通过y轴和点(3)求平行于X轴，且经过两点(2,1,?2)和(4,0,?1)的平面方程.解：(1)y。Z平面的法向量是n?(1,0,0),可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为1?(x?2)?0?(y?3)?0?(z?2)?0,即x?2.(2)所求平面的法向量即垂直于y轴又垂直于向量所以所jk求平面的法向量为2?11?i?
16、2k,因此所求平面的方程为010?1?(x?2)?0?(y?1)?2?(z?1)?0,即x?2z?0.(3)由于所求平面平行于X轴，故设所求平面方程为by?cz?d?0.将点(2,1,?2)和(4,0,?1)分别代入by?cz?d?0得b?2c?d?0及?c?d?0,解得c?d及b?d.因此所得方程为dy?dz?d?0,即y?z?170.8.6空间直线及其方程1.填空题(1)直线x1?y?2?z4和平面x?2z?4z?4的关系是(平面与直线互相垂直).(2)过点(1,?1,0)且与直线x?3y?1z?22?1?3平行的直线的方程是(x?1y2?11?z?3).(3)直线x?1y?x?y?61?5?2?z?81与直线？的夹角为(?).?2y?z?332.化宜线？?x?y?z?22x?y?z?5为对称式方程和参数方程.?
