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1、立体几何题型与方法（理科）1 .平面平面的根木性质；掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面向时，（1） .证明点柒线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，城在面内，推出点在面内），这样可根据公埋2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2） .证明共点何题，一般是先证明两条直找交于一点，再证明这点在第三条出战上，而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线.（3） .证共面问遨一般先根据一局部条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2 .空闾直线.（1） .空间总战位置关系三种；相交、平行、异面.相交C1.线：
2、共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点：异面出线：不同在任一平面内，无公共点注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条互纹.（X）（也可能两条直线平行.也可能是点和I1.戏等）直线在平面外.指的位置关系是平行或相交假设直线人力异面，a平行于平面,8与的关系是相交、平行、在平面。内.两条平行我在同一平面内的好影图形是条口线或两条平行线或两页.在平面内射影是直线的图形一定是出线.（X）（射影不一定只有出城,也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，那么斜线长相等.（X）（并非是从平面外二有向这个平面所引的垂线段和斜线段）“6是夹在两平行平面睇的线段，假设a=，那么的位附关系为相交
3、或平行或异面.异面宜设判定定理：过平面外一点与平面内一点的H战和平面内不经过该点的I1.线是界面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2） .平行公理：平行于同一条宜线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个地的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如右图）.（直畿与I1.线所成角w（9）j）（向fit与向R所成角0W.180D推论：如枭两条相交直线和另两条和交直线分别平行,那么这两徽电线所成锐角（或直角）相等.（3）,两异面出线的距离：公垂找段的长度.空间两条直线垂口的情况：相交（共面）乖口,和异面垂直.注：是异而直线那么过小4外一点R过点P且与/2都平行平面有一个或没
4、有，但与4距理相等的点在同一平面内.（却或人在这个做出的平面内不能叫3与4平行的平面）3 .直线与平面平行、宣线与平面基直.（1） .空间出线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2） .直跳与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条H戏平行，那么这条H战和这个平面平行.（“线线平行=城面平行”）注入直线与平面。内一条直线平行，那么。a.（X）（平面外一条直线）直线与平面a内一条11雄相交，那么与平面相交.（X）（平面外一条直戏）假设比线。与平面平行.僚么内必存在无数条出城与平行.（J）（不是任意一条直线.可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行
5、于这个平面.（X）（可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行（X）（两直线可能相交或者异向）直线/与平面a、夕所成角相等，瑶么a夕.（X）（a、夕可能相交）（3） .直战和平面平行性底定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条内线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（”线面平行二线规平行”）（4） .口战与平面率I1.是指直戏与平面任何条口战垂直，过一点有且只有一条直_战和一个平面垂直.过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 假设PAJ_a，a1.AO得“1.O（三垂线定理）， 三垂线定界的逆定理亦成立.直线与平面垂比的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交宜线群垂直,那
6、么这两条点雄乖I1.于这个平面.（“规线垂I1.n线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条立线重H于一个平面，那么另一条也垂宜于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直级平行.（5） .a.垂线段和斜线段长定理：从平面外二,卓向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长：相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长：垂规段比任何一条到税段短.注：垂线在平面的射影为一个点.一条出城在平面内的射影是一条H线.IX）b.射影定理推论：如果一个用所在平面外一点到角的两边的距禽相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。4.平面平
7、行与平面重直.(1),空间两个平面的位黄关系：相交、平行.(2) .平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(“线面平行=面面平行”)推论：垂直于同一条出城的两个平面互相平行：平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一直线平行于另一平面.(3) .两个平面平行的性质定理；如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交钱平行.(“面面平行=城城平行”)(4) .两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，那么两个平面垂百.两个平面乖I1.判定1：如果一条出线与一个平面乖之，那么羟过这条宜线的平面垂直于这个平面.(一雄面垂直=面面垂直”
8、)注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，那么两个二面角没有什么关系.(5) .两个平面垂宜性质定理：如果两个平面垂直.，那么在一个平面内垂百于它们交线的身线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都庵立于第三平面，那么它们交钱垂食于第三平面.简证：如图，在平面内过O作OA、OB分别垂出于因为PMUA04IAPMUa,OB1a那么PM1OAPM1OB.所以结论成立b.最小角定理的应用(ZPBN为最小角)(为展小角，如图)(6) .两异而直线任懑两点间的即禺公式:钝角取加,综上，都取减那么必有Oe(OA)(1) .a.AJ小角定理：COstf=Castf1cos简记为：成角比交践夹角一半大,
9、且又比交建夹角补角半长,一定有4条.成角比交线夹角一半大.又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角半大.又与交线夹角相等.一定行3条或者2条.成角比交战夹角一步小,又与交规夹角一半小，一定有1条或者没有.5.梭柱.梭像(1) .棱柱.a直棱柱侧面积;S-CA(C为底面周长,h是高)该公式是利用口棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜校住网而积：S=CJ(G是斜梭柱直裁面周氏./是斜梭柱的倒梭长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.d共面向fit定理：如果两个向崎不共线,那么向fit。与向法亿共面的充要条件是存在实数对X、/使P=Na+y.空间任一点O和不共线三点A、BxC,那么5
10、R=x5+丽+z54x+y+z=1.)是四外四点共而的充要条件.(简证：OP=(1-y-)O+yOB+zOC=APyA+zACJ.B.。四点共面)注：是证明四点共面的常用方法.(2) .空间向以根本定理：如果三个向求ZE1.不共面，那么对空间任一向业户，存在一个唯一的有序实数组小八z,使P=Xa+yb+.推论：设0、A、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点K椰存在唯的有序实数组八六Z使OP=+zOC（这里总含x+y+z1）.注：设四面体ABQ)的三条梭，h.C=c.1.)-d,n中Q是ABCD的重心.那么向盘通&+芯+；)用而=而+汨即证.对空间任一点。和不共战的三点A、B、C.满足。P=.
11、QA+y08+z0C.那么四点P、A、B、C是共面UX+3,+z=I(3) .a.空间向球的坐标：空间直角坐标系的,丫轴是横轴(对应为横坐标)，粕是纵轴(对应为纵坐标).Z轴是竖轴(对应为盘坐标).令Q=GaI,a,a),b(b1.,b2,bi),那么+fe三(-。仇力力-，60。也+。血+。3，产0，M=Va=7?+%？十/(向量模与向量之间的转化：申=H=1.)空间两个向崎的夹角公式COS=-f叱-=f必,吆出孝：1.1.1.I12+a；+a；yb+;+b;(=(1.,0j).b=他也.空间两点的距离公式：d=y(X2-r1.)2+(,2-12+(22-21)2-b.法向景:假设向及所在直
12、线垂直于平面,那么称这个向/乖直于平面,记作，.a,如果ZJ.解么向Ifti叫做平而的法向fit.C.向盘的常用方法:利用法向盘求点到面的距离定理，如图.设n是平iMa的法向盘.AB是平面a的一条射线,其中AWa,那么点B到平面的距离为5t1”1C11.异面直线间的距国=储/是两异面直线，式公垂向量为，C。分别是小/、上W任一点，d为44间的距/）.白城AH与平面所成角=rcsin八8。（/为平面的法向量）.A8,“,利用法向4求：面角的平面角定理：设分别是：面角-/-中平面”/的法向咫那么所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小1方向相同,那么为补角.大反方.那么为其夹角）.二而角-/-/
13、?的平面角e=mrcos*或r-0rccos上（加，”为平面a,。的法向IwIPHIwIImI1.it）.d.证直线和平面平行定理：耳线aa平面a.A,Rea,C,Dea,且C、I）、E三点不共线.那么aa的充要条件是存在有序实数对九使方=5+无.（常设布=CD+CE求解,假设,存在即证毕,找设无不存在,那么直线AB与平面相交）.7.知但网络一、经典例题剖析考点一空间向量及其运算1.A.8.C三点不共线,对平面外任一点.满足条件6=（1+8+IoC.试判断：点P与A8.C是否一定共面？解折：娈列即点P与A,B,C是否一定共而，即是委判断是否存在有序实效时X,），使AP=xA1.i+yAC或对空
14、间任一点.0,审OP=OA+.xAH+yAC。金案：由遨意：5OP=O+2OB+2(X:.即4到平面力。的距阳为竽19.在四棱椎P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面.E.F分别是AB、PC的中点.(1)求证：M平面PA/)：(2)当平面PCD与平面ARCD成多大二面角时，宜线M1.平面PCDi证，(I)取CD中点G.连结EG、FGVE.F分别是AB、PC的中点，.,.EGAD.FCWPD.平面EFGV平面PAD.：.EF平面PAD.(2)当平面PCD与平面ABCD成45。角时，XI践EFI平面PCD.证明：YG为CD中点,那么EG1.CD.=PA1.底面ABCDAAD是PD在
15、平面ABCD内的射影。：CDc平面ABCD,且CDIAD,故CDIPD.又FGPD,FG1.CD,故/EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，即NEGF=45。，从而得NADP=45。，1PAE三R(CBE.得PE=CE.又F是PC的中点.二EF1.PC.I1.1.CD1.EG.CD1.FG.CD1.iFffiEFG,CDEF.KPEF1.CD.故EH1.平面PCD.20.多面体A8C)E中.八8_1_平面Aa).DE1.f1.1.ACD.AC=AD=CD=DE=2a.A1.i=a.F为CD的中点.(I)求证：AFJ.ffiiCDE；(II)求异面直线AC.BE所成角余弦值:(11
16、1)求面ACD和ftBCE所成二面角的大小.裤：().DE1.平面ACD,AFCiFffiACDDEAF.XVAC=AD=C.F为CD中点AFCD./.AF1.ffifCDE.AFdSiCDE.=DEIIAIiDE-1.平面AC。/If1.ijFtfiiACY)j取DE中点M,连结AM、CM,那么四边形AMEB为平行四边形AM.BE.那么NCAM为AC与BE所成的角。在ZkACM中,AC=2a由余弦定理得：CoSNCAM=(2+(、&)(石五22a5a5.异面直线AC、AE所成的用的余弦位为t(III)延长DA。EB交于点G,连结CG。因为ABDE,B=-DE.所以A为GD中点.又因为F为CD
17、中点,所以CG/AF.2因为AR1.平面CDE.所以CG_1.平向CDE.故/DCE为面ACD和面BCE所成:面角的平面为易求DCE=45.21.如图,(I)(II)(III)四边形ABCD是正方形，PBJ_平面ABCD,MzVPB,PB=AB=2MA,证明：AC/平面PMD；求直线BD与平面PcD所成的角的大小：求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小，(I)证明：如图I,取PD的中点E,连EO,EMoE0PB,EO=-PB.MAvPB.MA=IPB.22EOVMA.J1.EO=MA四边形MAOE是平行四边形，AMEVAC.又一ACJ.平面人HC.以DE.DC.DA,为X.y.Z
18、轴建立空间坐标系，那么人(0,-1,0),C(0,1.,0).8(2,1,0).A(QQr),G(O2r),AC,=(0,3).M=(-2,-1.r).CA=(2X).0).由AaCQ=0,知ACJC8.又BA1AC1,从而AC1平面ABC：(I1.)由ACi=-3+/=0,得=6.设平面A八8的法向Ift为=(KKZ)V=(0J,3),Aj=(2,2,0),所以方:就二设一Ms)IMM211所以点G到平面A48的跖疡d=I=王i。H7(III)再设平面ABC的法向状为I=(X,.y,z),C4=(.-1.3),=(2,0,0).所以mCAi=-y+y3z=0设7=,那么I=(O.I1).mC
19、B=2x=0v,故cos=罟;=,根据法向电的方向，H,M7可知二面角八-A-C的大小为arccos四)创新武退1.如图.正三棱柱A8CAIBC1.中,。是SC的中点.AA=A8=1.(I)求证：A1.a/平面ABQ：(II)求：面角8A8一。的大小；(III)求点C到平面ASQ的距离.解法一(1)证明：连接AB,设A1.BnABI=E.连接DE.YABC-AtBC1.是正三极柱，I1.A1.=AB.四边形AiABB1.是正方形，.E是A1.B的中点，又D是BC的中点.DE/7A1C.VDEc5IHfi1.ABD.A1.C(Z平面ABQ.1AC平面ABQ.(II)解：在面ABC内作DF_1.A
20、BF点F,在面AIABBI内作FG1.ABj于点G,连接DG.V平面AABB1iABC.DF平面A1.ABBFG是DG在平面A1.ABB1.上的射影，VFG1AB1./.DGIAB1ZFGD是：面角B-AB1-D的平面角A1.A=AB=I.iiEZABC中，DF=-.在AABE中,FG=BE-匚.48在RDFG中，IanZFGD.FG3所以，二面角BAB1.D的大小为amian当.(III)解：；平面BIBCGJ平面ABcF1.ADBC.ADB1.BCC.又ADU平面ABQ.：.平面BBCCABD.在平面B1BCC1内作CH1B1D交BD的延长纹于点H.那么CH的长度就是点C到平面ABQ的距离
21、.由AcdhsABiDB.得CH=3二=.B1D5/7.-即点C到平面ABQ的距离是一.V5V蟀法二：X1建立空间自用坐标系D-Xyz,如图，/1(1)证明：一弃二连接A山.设A山CABI=E连接DEi殳AA=AB=I.那么D(0.0.0),A1(0.1),C(-.0.0).24422.DEU平面八MQ.人CZ平面八8).GI一3I(II)解：A(0,y,0).B1(-,0,1),AD=(0,0),B1D=(-.0-1)，设F=(P.qM是平面A曲。的法向此那么M而=Ot且丽=0,故一Wq=O.gp-r=O.取r=1.1.=(2.0.1)：同埋，可求得可求AB1B的法向量是n,=(3-1.0)
22、.设二面角B-AB1-D的大小为0.：COSe=Jc上一=也,Ii1.1.H215：.二面角BAU1D的大小为arccos、目.5(III)解由(II：得平面ABID的法向f1.t为”I=(2,0,1).取其单位法向量=,0,e),又皮=(.0,0).：.点C到平面八%。的距离d=DC-=2.如图，正三梭柱ABe-A1.B1.G的各梭长都为a,P为AIB上的点.(1)试确定Af的伯，WPC1AB：PB(2)假设求二面为P-AB-C的大小：PB3(3)在(2)条件下，求C1.到平面PAC的距离。2.解析答案：四、复习建议解法一：(1)当”=1时,KJ-1.ABPB取AB的中点D,连结CD、PD:
23、.ABC为正三角形，CDIABo当P为A1.B的中点时，PD/AA.YAiA1.底面ABcPD_1.底面ABC.PCAB(2)当4=工时.过P作PD1.AB于D,PB3如下图,那么PDJ底在ABC过D作DE1.AC于E,连结PE,那么PEIACAZDEP为二面角P-AC-B的平面角，BDBP32乂PDAIA=-,AD=1DAPAi25DE=4Dsin60=-=.525又丝A1A53：.PD=-a5：.tanAPED=3ZPED=601DE即：面角P-AC-B的大小为60设G到面PAC的矩离为d，那么%,_?=匕uv,/PDA1.A二PD平面A1CADE即为P点到平面A1C的距离.又PE=JPB
24、rTDA=1.W。尸+(y0尸=孚”:2Sm=Si(ICI.).1,12&-1.12.3.-(-aa)a=1)a325325蟀得J=-2即G到平面PAC的距离为2解法：以A为原点，AB为X轴，过A点与AB正直的C1.战为，轴，AA1.为Z轴，建立空间且角坐标系AXyz,如下图，就么B(。，0.0：,A.()-0.“)，C(a.0),22设P(.O.z)(I)由丽丽=0,得y(.r-)=0.,X=-,22即f=时，PC1.AB1PB(2)当幺=2时，I1.丽=2而得(Ko.Z-a)=2Sx,01.Z)PB333即(3AM-2M3(z-w)=-2z2X=-a5=Mz-23.*.P(a.0,0)55设平面PAC的一个法向吊:11=(.z,)那么1竺=2即nMC=O23(xyzr)(-,0.Wa)=O(K)1.Z苧.0)=O2,M,八-aX+z=0.即，取X=3,则y=-Iz=-2n=(3-r3,-2).又平面ABC的一个法向量为n0=(O.0.1)cos=Inn0I-21=，=412二面角PAC-B的大小为180-120=60设C到平面PAC的矩离为d.琳”,F7.R7n充I(3-3,-2)(O,O,-那么d=ICCIcos|=!-=即C到平面PAC的距离为4.2I=mi+2+J2-2mncos0(为模角取破,0)
