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1、第17讲：界面直线所成的角的求法【考胡要求】能用向方法解决宣战与亶线的夹角的计算问题.【根底知识】一、舁面直线的定义百爱b是界面面残，经过空间任菽一点。，分别引直理。:，U:我们匕拉”：和C所成的i角（AJ）叫做界面有线和C先成的角.二、异面口线用成的角的足用a（O,-三三、后面白线月成的角的求法”；H方法一，（几何法）帙T作（平移法、补蹴）ii（定义，m（解三角的方向方技二，（向量法c。Sa=E1.，其中是异面白线也九历AWJ角，”4别是由NbHH向量.四、求异面直线所成的角表达的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角.再利用解三角形的知识解答.五、温提示如果你解三角形得到的角的余
2、弦是一个负值，如COSa-你不能说两条异面宣线所成的2角为120,你应该说两条界面直我所成的角为180-12（）=60,因为两条界面直线所成的角的苞国为G（0.f2【方法讲评】方法一几何法使用情景图形中两条介面直线所成的角本身就存在或发方便就看；I出.解盅步舞找T作（平移法、补形法）T证（定义）T指T求（解三角形）例1在正四梭柱AHCDA4GR中，B=2BH,=2,/为的中点.（1）求直线ZC与平面曲所成的角；（2）求异面宣威/C与肝所成的角；（3）求点6到平面匕的距离.解：（1）TAB，平面BC“PCU平面%,.AB1.PC在矩形BCC1.B1.中，BC=2,BB=1.,P为B1.cI的中点
3、，：PC_1.PBPC_1.平面ABP,；NCAP为直线AC与平面ABP所成的角VPC=2,AC=22,RtAPC,NCAP=30*宣线AC与平面ABP所成的角为30,（2）取AA中点Q,连结AQ、CQ,在正四核柱中，有AQBP,ZCAQ为异面直线AC与BP所成的角【交式演除1】四边形A8C。为直角梯形，ADBC,ZA8C=90,PAJ_平面AG且PA=AD=AB=ItBC=I求W的长；(2)求界面直线PC与网所成角的余弦值的大小I(3)求证，二面角A的一O为宣二面角.例2如下图，AFsDE分别是00、0的直径，AD与两町所在的平面均垂直，AD=8.BC是。O的直径，AB=AC=6,OEAD.
4、(1)求二面角B-AIbF的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.解(1).AD与两圜所在的平面均垂直，dCZADAB,ADF,Nj故NBAF是二面角BTUF的平面角.三依愿意可知，四边形ABFC是正方形，A感三越*FZBAF=45.W即二面角B-AiT的大小为45;(2)以O为原点，CB、AF、OE所在宜畿为坐标轴.建立空间直角坐标系(如下图).那么O(O,0,0),A(0.-3720),B(32,0,0).D(0.-37,8),E(0,0,8),F(0,32,0),o=(-3,-32,8),EF*(0t32-8).=丽育0-18-64KCOSH1.9IJ)-一一-/，,-IBDII
5、fTI82设异面直战BD与EF所成角为,那么I-QIJ82COSr三ICOS(HD.E1.)1-IO即宣战BD与EF所成的角的余弦值为用.【变式演练2】如下图，点P在正方体ABCAABCD对角线BD,ZPDA=60(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AAD,D所成角的大小.【高考精选】1.12012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三雌ABC-AHC,C=CC1=2C8,那么直线HC与直线AB夹角的余弦值为()【蹴析】设=,则CA=CC1=1.a.J(20A0).5(0.0,a)Cv.0),5,(0.2o.a).45.=(-2a2a.a),BCi(0.2a.a)-rC
6、.J5.BC-Jsu注cos=;-取件2(2012BAA1=CAA1=M,那么MBC5高考其1全国卷理16】三菱柱ABC-AIBC中，底面边长和他检长都相等,异面直线AB1.与BG所成角的余弦值为.【解析】如图设近=3下=6,左=；设植长为1,则J5?=a+d,5C=+SC=+c-,因为底面辿长和例帔长科相等,且wA_A*H：=一C4J：=60,所以og=0c=6c=!，HrtAJ5jY）:=”：=W，J5C=（）（ac.-2设口jSM的F为6,所以cos6=告W=丁，=4.曲/G1.233012高考真题上海理19）如图，在四梭谯P-A8C。中，底面A88是矩形，PAj底面A88,E是PC的中
7、点.A8=2,AD=Z-J1.fPA=工求1（1）三角形PCO的面积；（6分）（2）异面直线8C与AE所成的角的大小.（6分），分所以三角形Pa）的面积为e解析（1）因为/W_1.底面CO.所以由_1.co,又AO1.X。，巴人CO1.*UaO.从而Ca1.PD.，分(2)法如图所示,建立专间白角坐标系.W8(2,0,0),q2,22,O).(1,2,1).JE=(1,2,1).5C=(0,22.0).设ZiE与三的夹角为8则cos=褊=备=李，由此可知.异面宣线8C与AE所成的角的大小是）7解法二取P8中点F,连接即、AF,那么EF/BC,从而NAEF（或其补角）是舁面直线8C与AE所成的角
8、在4E“中，由EF=AF=71、AE=2知EF是等宣角三角形，所以NAEF=宁.因此异面直设8C与AE所成的角的大小是【反应训练】1.四面体ABeD中，E、F分别是AC、BD的中点，假设d=2AB,EFAB,那么EF与CD所成的角善于()A.30,B.45C.60*D.90*2.ABCD-AAC1D1为正方体,点P在线段Ae上运动,异面宣线BP与AD1.所成的角为。，那么6的粒图为()A.(0,)B.(0,22C.(O,1)D.(O,3.在正方体g-4AGA中，为的中点，。为底面卬的中心，P为梭4&上任意一点,那么直战朗与直线,所成的角是()A.工B.工.C,D.三64324.直三梭柱ABG-
9、ABC,ZBCA=90,点小、R分别是AB、A1.G的中点，BC=CA=CC1,那么BD1.与AF,所成角的余弦值是()A.画BJ.C.画D.在1025105四边形32?为直角梯形，ADBC,N390,t1.平面阳且飞4=a仍1,BC=2求比的长I(2)求异面直线PC与他所成角的余弦值的大小,B超三叁MC(3)求证二面角片内一为直二面角6设A值和瓯所在的两个平面互相垂直,且3QBaNABC=/DBUYXf.求：笊、(DE1.线出与平面比0所成鱼的大小：/帅fa娃W与比两成的角：(3)一面角-M-C的大小.匚J至一h7一副三角板拼成一个四边形/如图，然后将它沿尾折成直二面角(D求证平面血_平面/
10、6(2)求松与比1所成的角；入X(3)求二面角所C的大小/.一/、【交式演练详细解析】七c仁IY)C变式演练I详细解析1(DM*因为Ef1.平面阳gBC,nmCt即Z7。8Q90,由勾股定理得加=PA2+AB2=2.：.心Spb2+pc=瓜(2)扁如图，过点C作鼓交加的延长线于E连结留那么/V与9所成的角为NZb或它的补角.绻物=,.PB=!PA2+AE21.由余弦定理得cos/惭”需萼=-#-2rCCE6：PC身故所成角的余弦值为C.6(3)证明：设版而中点分别为C月连结小AG.DF.那么GF/BC/AD,且Gf1.=B(X=AD,从而四边形为平行四边形，又血平面痴.血痴即4R7为矩形，DF
11、1.FG.在力中，m、伤，=f2,F为防中点,：.DF工PC从而血平面困故平面的！平面6W即二面角Am一力为直二面角.【交式演修2详细解析】W：如图所示，以D为版点,DA为单位长度It立空)I直角坐标C1)-yz.AJ55=(1.0.0).左二(0,0,1).连挎BD,BD.在平面BBDD中/.kDP交B”于B设丽=(1)QO),由已知(DH,DAWO,由工5S=55acoxidh,5,可用2=E7W.解得季所以而=停.李斗因为co丽，记=二-1.M二二&BitUiDH.CC45,MVJTIIJDP与CC所成的角为45.4.：(2)平面ADD的T法向量是Sf=(0.1,0).，“.r.4召/X
12、P0一.x0,因为cos=-二，所以(苏，充=60，可得DP与平面ATD所成的角为30.【反应训练详细解析】1 .AM9r：取AD中点G.连结EG、GF,那么GECD,GE=ABVd=2AB.ffi=2(37,.EFAB,EFGF.ZGEF=30,答案tA2 .D解析】：取点P的极限位宣,即线段AIG的墙点.答案:D3 .D【解析】，(特殊位法)将P点取为4,作血助于E连结AA那么为编的射影，又血痴AXM1.04,即与用成90角.答案；D4 .A【解析】解法一，(何法)如图，连结D1R,/I那么DIFj!4G/.1.C1.=BCIXF,=BC设点E为BC中点DF=BEZ1.=EF.NEFIA或
13、补角即为所求由余弦定理可求得CosZEF1.A=.IO解法二，(向法)建立如下图的坐标系，设BO1.那么A(-1,0.0),F,(-p0,1),B(0,-1,0),D1(-1,-1,1)即断=(0.1),股=(一匕：，1)1222.81.vf2,O=f2,尸为无中点，:.DF1.K从而眦1.平面曲故平面的1.平面5W即二面角万一比一为宣二面角另法响量沏()6【解析】解(1)如图，在平面位内，过/作血园垂足为从那么例1.平面丽：.N4W1P为宣线4?与平面町所成的角由题设知题治题那么M1.MAH=DH,.NW=45(2)%1.M且M为W在平面即上的射影，：.BCXADt故如与比所成的角为90(3)过H作版1.BDf垂足为品连结四，那么由三知，AR1.BD,故/胸为二面角ATP-C的平面角的BOa,那么由题设知,心原曰“.8=在中，tanW=-=2HR故二面角/Tf-C的大小为IUCtan2另法（向空法:（略）8.【第析】（I）第：如若2,由OAD,ZCD=30,曷知点A,C,D的坐标分别为显然向怂；：=（0，。,I）是平面ABC的法向.二面角CABf为60,故可取平面ABD的单位法向=”,矶），使得=60.从而=；.设点B的坐标为（-.y.O）J1.1.1BC.n工AB.取I=史,有3舄知.,二一逅与坐标系的建立方式不合，金去.3
