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1、第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年海考SS分析可知：1 .这局部内容高考中所占分数一般在10分左右.2 .题目类型为一个选择或填空题.一个与其他知识踪合的解答遨.3 .考查内容以向量的概念、运算、数fit积和模的运算为主.【考点透觇】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考年年都考，题蟹主要有选择施、埴空鹿，也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试跑多以低、中档也为主.透析高考试避知命题热点为：1.向量的概念，几何表示，向愤的加法、减法，实效与向酬的积.2,平面向量的坐标运算，平面向电的数世积及其几何总:义.3.两非零向价平行、垂直的充要条件.1.图形平移、线段的定比分点坐
2、标公式.5 .由于向量具有“数”与形”双盅身份,加之向餐的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，媒合解决三角函数的化简、求值及二角形中的有关问施，处理有关长度、夹比、垂直与平行等何题以及网推曲线中的典型问遨等.6 .利用化归思想处埋共线、平行、垂直问遨向向家的坐标运算方面转化，向量煤的运算转化为向信的运算等：利用数形结合思想将几何向SS代数化，通过代数运算解决几何时即.【例题解析】1 .向量的概念,向量的根本运算(】)埋解向量的概念，掌握向肽的几何意义，了解共线向成的概念.(2)掌握向V的加法和取法.(3)掌握实数与向埴的枳,理解两个向量共战的充要条件./解平面向盘
3、的根本定理.理解平面卬I的坐:标的概念.学握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向*的数显枳及其几何意义，了解用平面向届的数址积可以处理有关长度、角度和垂直的问SS,掌握向V垂直的条件.(6)掌握平面两点间的矩离公式.例1(2007年北京卷理)。是Z1.ABC所在平面内一点,。为8C边中点,且2。八。8，。C-O那么(A.AO=ODB.AO=IODC.AO=2ODD.IAO=OD命JMt图:此题考查能修结合图形进行向此计算的能力.M1.2OAtOBOC-2OA(DBOD)(DCOD)=O,DB-DC.：2OA+2OD-O,.O-OD.梗选A.例2.12006隼安Jft卷)在OABS中，M=ZaD
4、=/祠=3而，M为BC的中点，那么MN=,(用05表示)命三意图：此曲主要考查向瓜的加法和减法,以及实数与向业的枳.解：由AN=3NCf4AY=3AC=3(+O,iM=a+-h所以，MN4(0+b)-(+%)-U24244例3.(2006年广东卷)如图1所示，D是aABC的边AB上的中点，那么向%肽丽()/（八）.bcBA-C-5c-(D)bcbaff1.,命意图：J即在要考杏向从的加法和减法运算能力.解：CD=cH+Hf)=RC+-H，或选A.2例4.(2006年重庆费)与向量a=#*.?的央解相等，且模为1的向量是(D)(半,T或,平Wj恃T)好：设所求平面向属为，.由C=停用幅，抑d=1
5、.74I*JUKB:此SS主要考杏平面向球的坐标运算和用平面向*处理有关角度的向SS.C=化工版COKaM=普_=1.“1.4k,WWWT-托卜Zx当故平面向量Z与向量QG号OoW2、b=Vg1.的夹角相等,应选B.例5.(2006年天津卷)设向用方与G的夹角为0,且a=(33),2h-a=(-1.1)-那么C皿?一命题意图：此题主要考查平面向盘的坐标运算和平面向fit的数Mt积,以及用平面向Jft的数fit积处理有关角哎的河魄.解：i-(x.y),1.1.1.2/-n-2(x.y)-(3.3)-(2x-3.2y-3)-(-1.1).噌mM=g)Hab31.+32=丽、3+了”=而一亚(C)例
6、6.(2006年湖北卷)向量=(7.)b是不平行于X轴的单位向b且“./=/.那么(D)(1.0)（八）(立)(B)命jtBB:此题主要考表应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量枳，以及方程的思想解题的能力.解:m=UMaNF),那么依即意有+V=1.516X+、-+2应选B.例7.设平面向从外、“：、出的和，4+%+q=0如果向量”、区、M满足卜卜2同，旦q顺时针旋转划后与“同向，其中2123,那么(B：-fey*-O(D)“地域=0，A1fe1.01(；+-bi=O命题，图:此时七要考件向此加法的几的逡义及向状的模的夹角等根本格念.常规解法：.q5+0,，%.2叫+加,(1故把24(i=1
7、.,2,3),分别按顺时针枪转3(T后与5重合,故4+&+a=0，应选D.巧妙解法：令q=O,那么=Y；,由愿意知H=也,从而排!除B.C，问理排除A,应选).点评：巧妙解法巧花取=o,使问题简单化,此IS也可通过Sn乱利用数形结合的方法来解决.2.平面向缴与三角函数,解析几何等问题结合(1)平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题由于结合性强,因而蝶合能力较强，所以亚习时,通过解咫过程，力争到达既回忆知识要点，又然悟思维方法的双理效果，解题要点是运用向瘠知识，将所给向题转化为代数向KS求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典鞭问题，如垂H、平行、共成等，此类题综合性比拟强，难度大.
8、例8.(2007年陕西卷理17.)设函数tr)-a&其中向IftFaCOS2x).sin2*.1),关艮且函数尸Jy)的图象经过点(；.2(I)求实数用的值；(II)求函数.r)的最小值及此时X的值的集合.裤：(I)f(x)=ab=n(I+sin2x)+cos2.v,由/仔卜m(1.+si吟)(I1.)由(1)j/(x)=1.+sin2x+cos2x=1.+TJsin|2x+：.，当Sinj2工+2)=-1时，fix)的最小值为1-，y.JteZ由Sinj2x+；)=-1.,得X值的集合为x=E-例2.(2007年陕西卷文17)设函数/Cr)=。、h.其中向量。=(m.cosx),b=(1+s
9、in.v.1.).veR.Ri)=2.(1)求实数m的值；(II)求函数/(M的最小值.=T时./0)的最好：(I)/(x)=j(1.+sin.r)+cos.r.)=j1.+sin)+cos=2.得加=1.(I1.)i1.1.(I)得/(、)=4|11+(：003+1=00山|)+：)+1.;.当1|1小他为1-J例9.(2007年湖北法理16)A6C的面枳为3,且满足OWABACW6,设A8和Ad的夹角为仇(I)求。的取值范用;(II)求函数/(6)=2sin件-J1.COS2。的最大解：(I)设人Be中角AIi.C的对边分别为Uhc,那么由1csinJ=3,0ccos6.可得OWCotdW
10、I,.Oe.242(ID八例=2sinI-COSIm+26GCOS2。=(1.+sin26)-3cos26?=sin2-3cos2/7+1=2sinj26-yU1.V6?e-,-1.20-4-22sinf219-k13.1.4231.63I3)即当=1时，仍i=3：当=：时，仍E=2例10.(2007年广东卷理)ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,力、B(0.0)、C(c,0)(1)假设c=5,求SinNA的值；(2)假设/A为钝角，求C的取值范|目；解：B=(-3,-4).C=(=J=.sinNA=：5255(2)NA为钝角，那么卜：9S6生，.c的取伯范围是(生“)(c*0.33例I1
11、.(2007年山东卷文17)在2XABC中.角4B.C的对边分别为a,b,otanC=37.(1)求COSC：(2)假设C8Ci=*,且+b=9,求c.2W：(1)anC=37.-=37又.$in?C+coC=ICOSC解得COSC=.tanCO,.,.C是锐角.cosC=-.88(2)CBCA=.abcofiC=-,；./)=20.22又.a+b=9:.a2+2ab+b2=S.+fr2=41.,.c2=a+h-ItibcoaC=36.c=6.例12.(2006年湖北卷)设函数/(x)=.(力+力其中向Ifta-(SinM-sx).6u(sinM-3cosx)e=(-cos.v.sinx).x
12、eR(I)求函数(x)的最大值和最小正周期：(II)将函数y=(x)的图像按向IItd平移,使平移后也到的图像关于坐标厚点成中心对林，求长度最小的4.命意图：本小题主要考有平面向城故址枳的计售方法、：:.角公式、三角函数的性施及图像的根本知识,考查推理和运算能力.解：(I)Ih题意劭f(x)=a(b+c)=(s,nx,cosx)(snx-cosx,sinx-3cosx)=SiriX2SinXCoSx+3coSX=2+cos2x-sin2x=2+fisin(2-.).4所以，f(x)的城大侑为2+,最小正周期是红=兀.2(I1.)由sin(2x+次)=0得2x=k.乃.即X=AI_主，依2,44
13、28于是=与-虹-2).t=-)+4.*eZ.因为A为整数，要使M最小，那么只有A=I,此时H=(-.-2)即为所求.例13.(2006年全国卷II)向fit=(sin.1).b=(1.COSd).-yff.(I)假设1.5,求人(II)求I+bI的最大值.命题，图：本小题主:要考杏平面向盘数依积和平面向此的模的计方法、以及；.角公儿：.角函数的性质等根本知识，考查推理和运算能力.解：(I)假设a_1.b，那么sino+cos。=0,由此得Ian=1(一高。-2J);三初点D、E,M满足AD=IB.BE=BC.DM=tDE.te(0.1.y(I)求动直线DE斜率的变化范围：CyA/A（三）求动
14、点M的轨迹方程.命题意图：本小题主要考杳平面向的计算Zf法、三角公式、2.闻7X三角函数的性质及图像和B1.锥曲城方程的求法等根本知识，监考查推理和运算能力.裤法一：如图,(I)iSD(j,y),E(xt,ye),M(x,y.=t,=t,知(x,2,y,-1.)=t(-2,-2)y2t1.同理1.=-2ty=2t-1.,.k_31_2t-1.-(-2t1.)_k(-x.-2t-(-2t2)-12ct0,1,kf-1,1).(I1.),.,=t(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+21.-2,2t-1.+2t-1.)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t,-21.).R1.D;1.：2y=
15、j,即x=4y.，t0,1,x=2(1.-2t)-2,2.即所求轨迹方程为:xMy,e-2,2解法二：(I)同上.(II)如图，=+=+t=+t(一)=(1.-t)+t,=+=+t=+t(一)=(1-1)+t,=+=+t=+t(一)=(-t)+t设M点的坐标为(x,y),由=(2,1).=(0,-1),设一2,1)坐=(1.-tz)2*2(1.-t)t0te(-2)=2(1.-2t)1.y=(1.-1),1+2(1-t)t*(-1.)+t*1=(1-2t)*故所求轨迹方程为:z=4y,x-2,2消去t得X1.1.y.t0.1.x-2.2.=(1.-t2)+2(1.-t)t+v.例15.(200
16、6年全国卷II)附物税=4y的拓点为尸，A,把她物跳上的两动点，旦AF=AFB(，0).过水/J两点分别作她物税的切税，设其交点为八，(I)证明丸益为定福:(II)设/的面枳为S.写出S=ZXQ的表达式.并求S的最小值.命题意图：本小咫匕要考查平面向M的计算方法、和附饰曲线方程,以及函数的导数的应用等根本知识,考森推理和运算能力.解：(I)由条件，SAO.1).A0.设Mm,yJ,岚总，yi).由月尸=乂用.即得(Ai1y)=(x:,yt2-),I-X1.=I21.-y=(J2-1)将式两边平方并把”=婷，尸=代入得V=VJS解、式得H=,j=-.且有XiX:=-4/=4j=-4,抛物线方程为
17、y=.求导得y=%.所以过拗物践上从8两点的切线方程分别是y=X(-1)+y.y=j(-X：)+y：即y=-=x-1.解出两条切设的交点M的坐标为2,2)=(2,-D.所以VAB=(XI+X;,2)(-,j%-Ji)=(jft,-,)2(-=0.2Nqq所以V月夕为定值，其值为0.11由知在械中,FM1.AB,因而SBRf.IAV=A4-)2+(-2)2=町2+脑2+1+4d+%=7+因为JF.IBR分别等于小B到她物线准线y=-1的距离.所以于是S=TAUI掰=-+=)由y十力2知后%且当4=1Bt,S取得报小值1.【专时训练与高考预测】一、选择题(2.3),3三(4,.v).I16.Hk的
18、值为2.ZBC中.点D在BC边匕且-2而.E5-r而+s戢:那么，+$的值是()X.-B.-C.-3D.0333 .把直线-2y-0按向球Z=(-1.-2)平移后，所得直设与即r+y2+2-45=今相切，那么实数尤的值为(A)A.39B.13C.-21D.-394 .给出以下命即：Z5=(),那么Z=O或3=0.假设Z为单位向麻且/；，那么Z=Ge.()=aW假设G与各共城，分与；共线，那么i与3共线.其中正确的个数是(A.0B.1C.2D.35 .在以下关于向量的命感中,不正确的选项是()A.假设向麻*(x,y)，向量加(y,*)(x、y0),那么a8 .四边形MO是菱形的充要条件是;=反，
19、HAB-ADC.点G是ZMSC的重心，那么出+而CG0D.ZU网中,泰和直的夹角等于180。-A6.假设。为平行四边形Afia)的中心，B=4e.=6e,那么3统一2等于(A.OB.BOC.COD.DO户户2的图象按:(6.-2)平移后，得到的新图象的解析式为(A.=+10B,y=-6C.r=+6D.y=-108.向心S,).向I1.t_1.。且.那么的坐标为A.(a,b)B.)C.(a)D.(b,a)9.给出如下命题：命题(1)设6、，是平面内两个向联，那么对于平面内任意向量&都存在惟一的对实数八y.使小MJ.S成立：命题假设定义域为R的函数人力恒满足I-r)I-I)I.那么/U)或为奇函数
20、,或为儡函数.加么下述判断正确的选Iij是()A.命时(1)(2)均为假命遨B.命超(1)(2)均为口命题C.命题(1)为其命题,命遨(2)为假命遨【).命即(1)为假命即，命题(2)为典命题10 .假设1.a+b1.=1.a-b,那么向瞅a与b的关系是()A.a=O或b=OB.；a=bC.a11 .O毡平面上一定点，A,B,C是平面上不共规的三个点，动点P满足OP=OU为+处)/O).那么P的轨迹一定通过AABC的()IAC.外心B.内心C,重心D.垂心12 .假设I=Q-3.1)，各=(210,31Z=(O22),那么7(3+)()A.IB.15C.7D.3二、塘空题1. I画=：Mn1.
21、=4.X与元的夹角为60,那么同与正一怒的夹角余弦为.2. (4.2.x).=(2.1.3),且41.那么X=.3. 向殷(Z+而)_1.(7-5B).(5-4Zi)(75-2/?).那么和5所夹角是4. Ad,O,O),BgI,O),C(0,0,1),点D满足条件：1.)B1.AC,DC1.AB,AD=BC,那么D的坐标为1.5. 设为是宜战，/是平面，a1.a,bk,向城在“上，向飞百在/上，a1.=(1,1,1),=-4,0.那么以夕所成二面角中较小的一个的大小为.三、解答题1 .ABC,三个内角分别是hB、C,向肛=(岁吟即告与当心=时，求Z.2 .在平行四边形ABCD中，A(1.1)
22、.B=(60),点M是城段AB的中点，城段CM与BD交于点P.(1)假设AO-(3.5),求点。的小标：(2)当I丽H而I时，求点P的轨迹.3 .平面内三个力可K，冗作用于同，点0旦处于平衡状态，不，石的大小分别为1.kg.fkg,耳、弓的夹角足45。.求尺的大小及K与耳夹角的大小.1.a都是非导向最，且=3。与7一5垂直,-S与7a-2。垂直,求a与。的夹角.5.设=(1+cos0,sin),5Ucos6,sin/?),c=1.,0),a(0,K)Be(x,24),a与。的夹角为6”b与C的夹角为外,且%Oi=-,求SinW二2.646.平面向盘,(3.-1),*(A,手).(1)证明：ab
23、.(2)假设存在实数K和3使得33)b产一A,g.且*1_六试求函数关系式心/XD;(3)根据(2)的结论,确定A=N。的单网区间.【参考答窠】一、选择题1.B2.D3.A4.5 .答案:提示:假谀点C.是/优的重心，那么有GA+C8-GC=O,而C的结论是GA+C8-CG=O,显然是不成立的，选C.6 .B7.B8.C9.A10.C11.B12.D二、塘空题1.*2.23.60-4.(1.1.1)jj!c(-)5.arccos.3 .解：由(,；+3侪；-%)=6，fi-4)(70-2fc)=,H7a+6ab.Id-30b+b=.4 .解：设D(x,y,z),那么加=(,y-1.,z)CT5
24、=(x,y,-1.),4D=(X1.y.z).C=(-1,0.!),而=(-1.1.0),BC(0.-1,1).又I)B_1.ACo-X+z=0.DC1.ABO-x+y=O,D=BC(-1)2+z2=2.联立解褥x=y=z=1.或X=尸z=_1.,所以D点为(1,11)J(-1,-1,1)三、解答遨1.1,=(cos,+tos?-r5,C、A-B5.、A-5,Jr=-COSe-+cos*-=-sm-CB44Q5I-CoS3+8)1.ccs(A-)1.v./An,1=-+；=-(9+4cos(-)-5cs(+B)=-(9+4CoSACUSB*4sinASin65COSACoS8+5sinASin
25、B)=-(9+9smAsin-coscos).o,.m11.-1sinsinB1又Un八Ian8-.EP9COSACgB99sinAsinB=co、ACoSA.g,故IZI=孚2 .解：设点C坐标为(x0,y0),又充=而+3A=(35)+(6.0)=(95),即(x1,-!.yn-D=(9.5).,x0=10,yo=6.即点C(0,6).(2)解一：设P(X,y).那么P=P-4=(-!.v-1.)-(6,0)=(x-7.y-1.AC=AM+MC=AB+3MP=AB+3(AP-XB)=3AP-8=i3(x-1),3(-1)-(6,0)=(3x-93-3).1HI口ABCD为菱形.ACAD.U
26、Wr-7.y-1)-(3x-93y-3)=0.(X-7X3.v-9)+(y-1.)(3y-3)-O.x2+/-iOx-2y+22=O2=o.7同、双H8肝=0.两式相减:v夕代入得b2.，。-60,即，与。的夹角为60.,costf=ab=1Ia1.1.N2a5 .解：(2cos,2$irTcos,2)=2cosV(cosV.sinV)a:%=2，.222fr:(2sin9,2Sin7cos7)I1.=2sin2(sin,cos2)11RaBKka-K02=2_2,又1.：=62-22=62=3a-B1si112=Sin(-6)=-36 .证明：”(5,-d.加(；，?：.3-+(-1.)-=0.a!22(2)解：由题意知,+23-31-33-2.J,f9又1.J故X才(-f-3Xr)(r+)=02222整理得：/一3。一4第0即依4/一，44(3)解：由(2)知：A=r)=-f,-f44：.k=F(t)=令/0得WV-I或f1.故GS单调递减区间是(-I,I),单调递增区间是(-.-DU(i.+)
