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1、DSE金牌化学系列精典专题系列第14讲平面向一-、导入：难解的结古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且孩古，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者.长久以来，If1.然许多人劣敢尝试，但是依然无人能解开这个结.当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁希驻兵这个城市之时，试卷去尉开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月,用尽了各种方法都无法蚪开这个结，真是又急又气.有一天，他试存就开这个站又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个站了J当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，突然航筋一梏，他抽出了身上的烟.剑,一剑将结砍成了两半儿结翻开了.大道理：勇敢地
2、跳出思想的绳索，部开心结.过后会发现.事情实际上没有看到的和想象中的那么困难.枳极一点，什么郎会给你让路.二、知识点回忆：J管直舒管/回扣教材，夯基固本！回1.向盘的有关假余名称定义备注向破既有大小又有方向的以:向fit的大小叫做向博的长度（或模）零向吊长度为。的向量;其方向是任意的记作O单位向量.长度等于1个单位的向量平行向用方向相同或相反的非零向量。与任一向俄平行或共线共规向麻平行向盘双叫做共线向出相等向吊长度相等且方向相同的向量相反向收长度相等且方向相反的向址O的相反向量为O2.向量的线性运算向量运算定义法那么（或几何意义）运律律加法求两个向量和的运算h二O族.fHHmtW(1)交换律：
3、a+b=h+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+ib+(减法求与B的相反向ItM的和的运算叫做“与B的差ZY-W数乘求实数入与向量4的积的运算W(2)当“0时，a,ia的方向相同I当那么，AOB=叫做向量与h的夹角(如图I向,夹角O的范B1.是,当0=_,共线，当=时,两向北垂宜,记作a1.b._时,两向QaA果e1.,e2是同一平面内的两个向量，那么对于这T面内的任京向量a,一对实效XI,2.使a=其中，不共线的向,。1,2叫做表示这T面内所有向，的一坦(2)平面向的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与X轴、轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a,育且只有一对实效x
4、,”使a=xi+yj,把有序数对叫做向量H的坐标,记作a=,其中_叫做a在轴上的坐标，_叫做a在轴上的坐标.(2t04三i+yj,那么向量凉的坐标区”就是的坐标，即假设函=(,V),那么a点坐标为,反之亦成立.(O是坐标H点,6 .平网坐标送算Ui向加法、派法、数兼向量及向盘的模设a=(x.y),bfXy,那么a+b三,a_b三a=a三(21向坐标的求法假设向的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标.(2tt(ty),B(xj,y2),那么48=IAffI=.7 .平面向共线的坐标赛示设U=(X“y),b=(X2,y,其中b，).假设Hb0，三、专题训练：考点一向一的有关假念IR设间=Ib
5、那么a=b;假设A,B,C,D是不共线的四点，那么4公=反是四边形ABCD为平行四边形的充要条件I设a=b,b三c,那么a=c,a=b的充要条件是Ia1.=Ib1.且ab；。6设8卜bc,那么ac.其中正确命J1.的序号是()A.B.d2)C.酶D.主解答I不正H.两个向M*长度*等.但它们的方向不一定*1同.正M.4=d,：14面=1。瓜A万OC：,又A,B,C,D是不关级的B点，：B边给ABCD为平行四边册：反之，他谈B边给ABCD为十斤B边给，那么49。Cj1.1.AQ1.TOC；I,SH1.AB-DC.正反，7a-h,.a,b*NJBd1.aXM假设向量IaI=Ib那么a与b的长度相等
6、且方向相同或相反(J)MTffitftM1.aI=IbI,且H与b的方向相同,那么H=I”(4面于零向景。方向不确定，故。不能与任京向平行I(51起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.解，U1.不正确.因为向曾是不同于数的一种量，它由两个因素粗定，即大小与方向，所以两个向不能比拟大小,故不正确.不正确.由IaI=IbI只能判防两向景长度相等，不能及新方向.正确.V1.a1.-Ib1.,且a与b同向，由两向:相答的条件可得u=b.141不正确.由零向性朋可将0与任一向鱼平行，可知(4不正确.正确.对于一个肉意只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的.ABC中，AD=JAH,考点二
7、向，的性运算DEBC交AC于E,B(边上的中线AM交DE于N.设AQ=H.AC=b,用U、b砺向正、ItC.DE.DNAM.A/V.2-3自主解答1BC三AC-4B三b-a.1.)EBCtDE三fiC三(b-a.又amMabc的中胃,，debc.得DNDE三(b-a).X.Af三(A+AC三,4fp+b.C三AP+PC-AP-C7i-W-CDI1I2.).2u,=M弼+声崎1.b)(Q-)a+(2+)b.又蔗=b，A变式训练：任意平面四边形ABCD中.E、F分别是AD、BC的中点.求证：E三+DC.解1法一1如下用，在B边ACDEF中，EF+FC+CD+DE三o.塞一边册ABFE中，EF+F/
8、i+ZrA+AE-+(CD+4)+(DE+AE)-o.VExF分弼是AIKBC4fA,.FC+r-o,de+ae-o.2EF-CD-ft4三A+Dc,一炉岭府+配).Qt取以A为J1.t点的向量，应用三角给决那么求证.VE为D的中点，：.AE三AD.FBCitA,.4F-(4B+4C.又AC而+反，AF三B+AD+DC三AB+1)C)+D.：.EF=AF-AE-AB+DC).考点三共线向定理的应用设e“仃是两个不共线向*,AB三2e-8e,C8=ei+3e”CD=2e-e2.求幽A、B、D三点共线.偎设户女1.ke”且B、D、F三点共线，求k的值.AS*I(I)证明:由稗D三CD-C-(2e1
9、-C2I-(e+3e2)三e-4ej,%,AB三2e-8ej,.AB-2丽.：.A、B、D三点关线.(2(1.)TW三e-4e,J1.ftF三5c-kez,#SF-D,即5e-kf三)x-4ej-3杼S,ffk12tZ.k-12.（k三-4思考：将改为Aj=2e-keC4=et+k；e”CD=2e-e,且A、B、C、D四点共线求k”匕MtVA,B、C、D可点关微.：.A、B、C三点共微，B、C、I）三点共做又；丽2e1.k5C1.fe+kj,CD=2e-e：R,k三1.fk2三-2变式训练：设两个三晔向，*和不共Q.(11如果/:=|-3,BC=3c+2etCD=-Hei-Zei,求证：A、C
10、、D三点共线；如果A力=Cr+eC=2e,-3e.,C0-2e1-ke1,且A、C、D三点共线，求k的值.解：(1)证明：VABtc-C2,C三3e+2c2,C,5三-8c-2c2,：,ACaaB+IiC三4eI+ej|t-Sci-2c2)三-1cZ).4CCD*又ACCIi有公关点GA,C、D三点关微.(2) ACAB+BC三(e+ej)+(2e-3e2)三3e-2e：,：A、C、D三点头%ACCj央%从而存底卖蒙).使痔/fCj,印女1.2c-M2c1.ko),凡-2.一k,M三,k三,考点四【例4】如下图，在AOAB中,平面向公根本定S1.及其应用OCj=gi,AD与BC交于点M,设Q=
11、a,OQb,以a、b为基底表示。好.值W答c三(m-a+nb,CB.OB0C三-1a-a+1,Im-;因为C、M、B三点关%所以一j-,F4m+n-1.41fm+2n三1.,-7,3*1,解格,所以Of+b4m+n三1.,3771.n-7思考；保持例Je条件不变.在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M.设施=POAFnoB-吟+/的值.StEM三OM-OE三p)a+b,EF-OF-OE三-pa+q,VE/E*M,131.7*+,教师备选题fr如下图，OABCD的两条对角线相交于点0,设彳万=a,AD=b,试用基底a,b表示内上。4,Oii.沅和。力.MtVAC三AB+AZ)三
12、a+b,。/才，1.C且B边看ABCD是十行B边给，.OA三-tC三a+b)-1a-b,OQ!04*-5-b)；a-;b,C三C-a+b,OP=-D三-a+b.、考点五平面向量的坐标运算例5A(b-2),B(2,1.),C(3,2),D(-23).11|求40+24万一38。.(2设。石=3。/,CN-2BC,求标及M、N点的坐标.gM1.(1)VA(1,-2),B(2,1.),C(3,2).IX-23)AD-I-2-1,3+2(-(-35),BD-+2(-4,2-341.1)=-3+(-S,4-(33)=1.1.4,6).(2tM(xfy)pN(MR丁丽3CA9(x-3,，2)=*-2,-4
13、)M(-3,-10)又K-2前，/.(Xi-3,V2-2)2(1,1)N(1.,0)；fN=(1,01-3,101=(4,10).变式训练：点A1.1.Z,B(281.以及衣；A公，DA-iiAt求点C、D的坐标和丽的坐标.解，设/C、D的变林分别为(M,y)(X2*,由题看得/(x+1.,y-2),不-(3,6),DA(-1-X1.2y1),i三(-3,6).HAC三Afi,O4-一；8/i,所以点C、D的坐标分别量(0,4)、(-2,0).从而丽=(-2,-4).考点六共线向，的坐标运算【例6】平面内给定三个向量h=(32,b=(-U,c=(4,1.).(1求滴足a=mb+c的实数mn(2
14、HR设(a+kc)(2b-a).求实数k(3HR设dI1.足Idc)(n+b),且Idc=,求d,S主解答I由题毒得(3.21m1.1.2)+n(4.1),-m+4n三3f2m+n-2,(2)a+kc三(3+4k,2+k),2b-a-(-5.2),.2(3+4k)-(5)(2+k)-0.k三-31.d三(x,y),1-c-x-4ry-1),a+b-(2.4),yeJW2(yf)=0,1.1.I)2+G-bf得=b三Iy3.d三(3,I)*(53).思考，在问M2成立的前提下，a+kc与2b-u是共线同肉还是反向？解：*w2b-a=(-24)(32)=1-5.2)%o%a+kc2b-a同向.变式
15、训练：向量a=1.,1.),h=i4x),u三a2bv=2a+b且uv,求x.MiU=(Ij)+2(4x)=(1.,1.)+(8,2x=(2J+4,x=(6J+x).Vuv,.%X2x)-6.B+ACA1.i-C那么IAMI=()A.HB.4C.2D.1标法解答I*IAZf+AC-4-AC,KABAC,等么AM为RtAABC箝边BC上的中因此IAI-J1./；CI-2.2、(2010陕西高考)向猫a=(2,Db=(1,),c=(-1.,2)假设(a+b)c,那么=标准解答由JS知a+b=(1,1),C=(-1,2).由(a+b)c得12-(1)X(-1)=b+1=0,所以=-1.四、技法巧点：
16、1 .向怂的线性运算在进行内线性运算时聂尽可能转化到平行四边形三角形中,运用平行四边步法那么、三角腰法那么，利用三角形中位线，相t1.三角形对应动成比例等平面几何的性质，把未知向，转化为与向量育宣按关系的向球剜*2 .共线网窗定现(1)向量共线的充*条件中聂注意当两向量共篁时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线向,可用向，共线来解决，但应注意向共线与三点共线的区别与联系，当两向出总且有公共点时，才能得出三点共线.(311R役3与b不共线B,a=b,那么.=O.(4OAOB+OC伍，为实效),假设A、B、(三点共练那么计=1.3 .基
17、底的选取在解决与向有关的具体问题时，合理地域舞基层会给解JH带来方便.在解有关三角形的问M时，可以不去将意逸界两个IR本向,面可以用三边所在的三个向量.后可以根据IHf任Jt下两个即可.4.向公的坐标表示向=的坐标表示，实际上是向量的代敷表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代敷化，将敷与形紫密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学的熟知的数运算.这也给我11解决几何问!提供了一料新的方法一向,坐标法，即建立平面宣角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向的坐标运算解决向J8.五、稳固练习：一、)共6个小J1.,每题S分，总分值30分)1. (2011mAt8C中，Z)是八8边上一点，假设
18、AZj=2。公，CD=CA+CB,那么号的值为I).I.B.C.2D.2. (2O113WM)P是ZU8C,所在平面内一点，假设丽：.西+而GWR),那么点P一定在(.)A.A8C的内部B.AC边所在直线上C.A8边所在直线上D.SC边所在亶线上3. 八BC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别虹线八8、八C于E、F两点,假设44=Q95(:A7-29一-2B.D.那么的小值是r*4. 假设三点八(2,2),(f1.,O),G0AMMKO1.共线，那么的值等于c,35.2a+(1.-d.1.+那么.8 .(201IJUff=t三)直角坐标平面内的两个向量=(13三(m,2w-3)使平面内的任意
19、一个向量C你可以唯一的表示成C=a+h,那么m的取值范HI是.三、mm9 .O1.iO+OCG、为实数)，假设I、B、C三点共线，求m+,=1.10 .如图，在A1.C中，在AC上取点N,使得AN=利C,在.18上取点M,使得4M=qA3,在8N的延长线上取点P,使得、7，-*乂在C”的延长线上取点Q,使得MQfCM时，APQA,试确定，的值.Q11 .点G是418”的重心，M是A8边的中点.假设夕。过八。的心G,且。N=.OHb,OPna,OQnb,求证+=3.六、反思总结：一当堂过手训练(快练五分钟，稳准建奇功!)1 .给出以下命JB向，花与向氏4的长度相等，方向相反I+8i=0a与b平行
20、，那么a与b的方向相同Jft相反I两个相等向量的起点相同，那么其终点必相同；,4A与函是共线向*,那么*、B、C、D四点共知.其中不正确的个数是()A.2.B.3C.4D.52 .对于善零向猫a,b,a+2b=0”是ab的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.我不充分也不必要条件3 .设d、e、F分JM是Aabc的三边BC、CA,AB上的点，且反2而，CE-2EA,AF-2F1.i.那么向iz5+屣+齐与。()A.反向平行C.互相案宣B.同向平行D.既不平行也不垂直4 .化倚(湎一丽)一(衣一丽)5 .设向量e,e不并战，4=3(e1+ej),Cfi=e1-e,CD=2e1+
21、ej,告出以下结论：A、B、C共线1、B、I)共戡IB、C、D共线：A、C、I)共战，其中所有正确结论的序号为.6 .如果e1.,e2是平面内的一忸基底，那么以下命题正确的选项是(.)A.假设实效XI,2ft1.e1.+2e2=O,那么XI=A2=0B.空闾任一向量5都可以表示为H=Ak1.+A2c2,其中A1.,2RC.A1.e1.+A2e2不一定在平面内，1,26KD.对于平面a内任一向我；“使a=Ne+A2e2的实效A1.,A2有无效IaA. 4=-2,4),那么以下说法正H的选项是().A点的坐标是(一2,4)B. B点的坐标是I-2用C. A为坐标原点时，B点坐标为(-2.4)D. B为坐标原点时，A点坐标为(-2.4)8 .a=(43)h=8,5)且ab,那么、等于()A.5B.IO9 .在正Aabc中，AQ与A*的夹角的大小为10 .假设a=(2,3),b=(-1.,0),那么3b-a的坐标是,
