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1、nBE=O,nPC-O.设Ii线ACjT：1：IBEF所成的也为0.则“土卜鼎因为EFfiPC，设平面砌的法向/为”=(工乂)则行设E(2O),则S=(/-220).乂PC=(O2-2),所以“；：二j=令x=2,Wy=z=2故平面跳尸的个法向Nji=(22.2).当且仅当$=-3，=1时取,=乂04。490.所以伊6460.综上所述，直线ACUT1.h:BEF所成角的最大值为600.2.(2024,浙江宁波模拟预测,在空间四边形A8CD中,AB=BC=BD=AC=2,AD=DC=2.(I)求证:平面A。CJ.平面ABC;(2)对地线8。上是否存在一点,使得白城与平面ACE所成角为30。,若存
2、在求出点的值，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析存在，器3t分析】3)取AC的中心。，连可证明D1.CRR1.AC,DO1.OB,根据戏面粘1与曲面垂直的判定定理即可证明:：2)以。为。点,8.8.8为在宜坦分别为x.y.z轴建立空间直角生标系,求出A。与平面ACE的法向h；i的坐标,即可求解.所嗜3.(2024.浙江三模)已如四面体A-8CCM8=AC=8C=e=2.AC=1.(2)若8。，26，求直践八8与平面4C。所成角的正弦的.【答案】(1)证明见解析噂【分析】1根据题.Q.J力8D1.A,8D1.CM,结合线面垂Ji的判定定理分析:正明:2)方法1：根据题息可知：平面BCD1
3、.平面Aaf.作辅助线,可知AH，平而BCzX利用等体积法求B到平IfiiACD的距离为.”台线I=U夹角的定义分析求解:力法2：根据,也意可知：丫：向BCD，平面CM.作州助纹，可知AH1-zf118CD.建系，利用空间向砥求线面火角.连AM,CM,iAR=AD=BC=B1.).WBDAM.BDCM,又因为AwCeW-W.AV/.CMTi1.1.ACM.因为CUItiiACM,所以AC1BD则Aj,-g,*j,8(6,),C(,1.,)Q(-6,),可行AC=1J-gm=(6叫.八8=g.-gj.设平面AeD的一个法向班为万=(Ky,z),则0M=T-4=,(mX=3+v=0令KI.则门赤.
4、二一3.可得力；.6-3).设r：线AB号平面八CO所成角为O.WWdMB4扁=孺=*所以底践AB1J平面ACD取成/面用的正弦成为噜.4.(2Q24浙江杭州三模如图，己知三梭台ABC-AIBC，八=BC=CA=AA1=BB1=2,A4=4,点。为线段A国的中戊，点D为线段OA的中点.B(1)证明：电线AO平面C：(2)若平面BCC1B11平面ACC1A1,求直线AA与平面BCC1B1所成城面向的大小.【答案】(1)证明见解析；【分析】取A8也点W,利用平行四边形的性附证明A。0的,从而利用戕向*行的判定定理壮明即可:(1-C5),jsina),利用平面CG4J平面ACGA求行C停。制,再利用
5、线面角的向公式求解即可;法2期合法）：连接CA,送，取AG中点MiiC,C,.8/交点明根据面面矢口的性侦定N!.结合我面角的定义得/AVC即为所求,在直角：角形中求解即小法3（:余弦定理:延长GUAA，8”交于点.匕根据三余弦定理求解即叽【详解】（1）取Ab中点.M,连接CMwe,则cwc。，故c.r共面,I1.I-AAf-JOD平行且相等得，OZMM为平行四边形,AD/OM.囚为ADz平面S，OMUT1.fHOCC1,所以ADTtfiiOCG.2）法1（建系）：连接0A,因为雨8。.UZM=用。2.所以BAOB1为甲行四边形,故OBB12.乂点.D为线段0A,的中点，所以A。J.A。,中A
6、D/OMf：Ao1OM.枚以。为原点，OM-OAy为X,丫轴正方向，乖自T1.f1.BB,Ai向上为二壮正方向,建立空间直角坐标系工则(3.1.o),A(0.X0).,(0.2.0).(3.1,0),因为八8=BC=GA=2,八8的I点M,所以B1CM.ZAB1.OM,CMOM=M,CM.OMU平面CWO,所以A1.i平面CWd又ABu平而A88,A,所以平面CAQI平小A88,A,设NCMO=.CW3.WiC(3(1.-cos),0.sin).设平面ACGA的法向於为，4=(牛人2,).AC=(-/CoSa.T,/sina),Ae=(O(I-CotSa).-2,7JSina),J-Ir,co
7、s3Acostt+y23z2sina二OXr2(1.-s)2+3z2Sina=O取勺=1,则门=一#.31.+cosaSina小HfMCCS的法向Q为巧(.？4)因为Tf1.i-BCC1B11Tid：ACC1A1.所以n1n0.!x1.+3x(-3)1.1.1.1.=O.,sinasina卬3coa+2cosa-1=O,肝R；COSa=gukcosa=-1.(勺去).放q平,().平%=(卜记方线M与平面8CG5所成线面向为仇AA=(61.0)，m=刍二季ijg即在线人儿3平面HCGQ所成纹面加.法2(堞合法i1.C.eg,取AG中点M则CN=AAI=I=A4=C,AiG41ICC1,由平面B
8、CC1B11.平面ACeA.CC1=平面BCCtB1.平面ACC1A1,CAiU平面ACC1A1,故CAJ.-fBCC1Bi.H1CaIU1BCC1B,.B1CA.A1.C.Z1.I1.fi1CA,C,分i1.C=A1.C=Ji.延长GaAA.58交于点匕则所求线而角即ZAyc,而SinZAVC；处叵.所以SinNAyC-A1V24枚点线AA与平例8CG8,渐成纹面地的大小为法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A为平面E点，过点A的H戏八。在平面上的射影为AB,Ac.为平而内的条1线，令NQAC=8,ZOAR=1.,BAC=z,则这：个加存在个余弦关系；COSe=C8苗8$仅其中。,和4只能
9、是钱知,称为三余弦定卉，又称用小张角定M1.证明:如上图，自修。作OBiABJF也过BqBC1Aere,连接0C,囚为ORITifi).ACu；冏,所以08_1.AC,ZBCAC.BCCQB=B.BC.OBc111.CBO.月以ACJ.冏CHO.乂OCUT-f1.；CHO,所以AC_1.OC,则cosZOAC=-,cosZOA8=/,cos/8AC=%.所以csZOACcosNQA8cosZBC.第cos。=COSaCOS%.延长CC,AA.8,8交)点忆则/8VA=NavG=NSVG.I1.1.T1.I1.iBCC,Bt1平面ACCA.用：余弦定河价COSNBAa=COSNGMCOSZC1V
10、fi1.所以cos,zc1vA=：,所以coszc1VA=号1.frtA1jTh8CC罔所成线面向为/05=jN5.(2024浙江金华三模如图,四棱椎。-八灰7)中，四边形八8(7)是菱形，ZBCj,AfiP是正三角形.G是48CO的JR心，点F满足AP=3FP求证：柘平面BCP：若CP=B,求直线SG与平面Ab所成角的正弦曲.【答案】证明见解析【分析】(I)粮抿求心的性做可得尸G2C，即可根据线线平行求证,2)限如线线.H可得殴血乖忆进而可烟VyC()P1.yBP.根据余弦定理以及勾股定理求解反吱.即可利用等体积法求解长度,利用线面知的几何法来解，或者建立空间出角坐标系.利用法向法与直线方向
11、向量的夹用求解即可.【佯解D如图，遥接AcBD.交点为”,则M虺BD的中点.因为G於ABCD的用心，所以CG=2GM.乂M是AC的”点.所以AC=3GC.IhAP=3FP知F在设段八。匕IIAP=3FP.所以FGPC.而打；T1.fKBCP，PCU平面BCP.所以柘平面BCP.A.+o=o-坐%+0+；%=02-幸所以.cos根据组面垂直的判定定理及性防定埋，证明A。，平面ASC即可:A-io-22.(2024浙江密兴模在如图所示的几何体中,四边形A8C。为平行四边形，_1.平面A8CQ姑QD,BC=2A1.i=2PA=ZZABC=M).(I)证明：平面PCOJ.平面PAC：若PQ22.求平面
12、PeQ与平面。CQ夹角的余弦(ft.【答案】(1)证明见解析寻【分析】法，先证明COJMC,再证明8,平而/AC,利用面面就H的判定定理得证:法建立空间直角坐标索,利用向求法求出平面FC。和平面PC的法同丁三明:CD1.C.PEUAC.:.PE1-1f1.CDQE.乂因UV向CDQE.PEQC,又PFQC.PE.PFf!PEF交;P.QC1平PEF.又EFUiFiftiPEF，:.QC1EF,.NW话为平面PCQ与平面CQ的夹角或其补角,t!PCp,PC=2,QC=i,P0=22.cos/CPQ=2=,22228.sinNCP0=率，由等面积法怦得PF=哥，X,PE=3dccPE30I3?:、
13、snPkE=-T=.；coszfPFE=-T=PF65731所以平面PCQ与F面DCQQU的余弦值为包.31r.vSaem*+三fcSbi改”.mXh=S.3I1.CG15n.51.1.211.15X力+-25AEAfn-uw=-X2x1.sn-=-.333232髀得P.W=h=.建立如图所示的间区角登标系,则A(-3.2.0),(-3.1.,).c(3,-1.,).Wo,).(3j).Q(-61.3J),M(OOO).1小r而08的一个法向Mi=(Iq0).所以CD(0.1.0),PD-(3.0.)设平面PCDtf一个法向优加=(X,y,z),VAK刎。.取/H=(3.0.1).所以C8，=
14、所以fi1.1.)PAD与平面RWO夹角的余弦优为亚.IO26(2024浙江模拟预测)如图，一知JE三核柱八8。-446.八8=7?4.。分别为核44.8。的中点.说，i=(x.y,z)为平面PA型的法向例，则:=；：；.0令丫=2,得分=(2-f.22),显处Ti1.1.BEI)的法向壮为I=(QQ1.).殳T：1.i|PDEiT1.1.ABED的夹角为。.则COSo=ICai5.mI=1J1=T,解得，=I或r=3.II1.m1.(2-r)+4+43所以观段房的KI或3.32.(23-24高三下.浙江开学考试)如图，四极椎P-ABCD中，平面%C1平面ABCO4尸八C为等边三角形.ADNB
15、C,8CJ_CD8C=2e=2AD.”是棱的中点.(I)证明：PB1.MC,(2)求平面月仍与平面PCD所成角的余弦伯.t答案】(I)证明见解析立7t分析】(D根据余弦定理、勾股定理的逆定理，结合面面垂直的性质定理、4面垂直的性质进行求解叩可：AD1.CDAC-JF+a2=1.，ZDAC=ZAC1.f=：,AR2=AC2+CB2-2AC-C?cos=22+4r-2S;-2-=23.即Afi2+Ad=BC?,所以可御ABAC.又平面AeeDIiV-1.hPAC.-IfJAfiCDC平面PAC=AC.ABc、:面ABCD.所以ABqsI-IfiiPAC,ABC.平面RW,所以平面T-Ifi1.PA
16、CZ等iU-PC.M是杭PA的1卜点.所以MC1PA.T-1.f1.；PABC,rf)iPACPA.MCCfiPAC.所以MC1-IfH.PBU平而PAB.KiPB1.MC.(2)取AC中点。,易钥1.CC,所以OPJGiABCC,4(,-2.),P(,O,6)./I.j(-2,O.o).(44JI1.1.（1）yx,r,iftiPAB的个法向铝是CM乂IX=(2,2.),CP=(0.-2.设=(.z)是平面PC。的法：必；，it-DCOj2x+均为宜角梯形.已知点BCE.F四点共面,且AD_1.B,AD1AC.证咻i)平面AeC平面DEF；ii)多面体八收7)是：棱台：若48=AC=AD=1
17、.DE=DF=2.BC=日求平面HCEF与平面DEF所成角的余弦值.【答案】(1)(i)证明见解析：GD证明见解析立3【分析】(1i)田线线平行褥到线面平行,进if得到面面平行:Gi)II1.面面平行得到线线平行.即BCHEF.作出辅助线.证明出直线E8=C%相交于点土.故多面体ABCDE是:校台:2)由勾股定理逆定理得到线线垂贪，从而建立空脚立角坐标系,得到平面的法向量,求出两平面的夹角余弦值.【详自】I)四边形4曲与四边形AC田均为C1.角梯形,AD1.AB.AD1.AC.ttiARHDE.ACUDF.囚为ABaTf:DEF-DET1.fi:DEF.所以ABHDEF,同理可得ACH平面DE
18、F，W为AB.ACUinABC.ABoAC=A,所以平由:ABCH平面DEF:=,*V(U,1.),平面DEF的法向此为A=(OO1.),34.(23-24高三上浙江宁波期末)如图，在四校锥A-fiCOE中,AEJ.底面HCDE.BE1.HC,BE1.DE,AE=RE=4,BC=3.DE-5.*,：F(1.DE.阶-3,过点E作好的或找交AD于点G.(I)证明：AF平面8EG；(2)求平面BEG与平面ACKm的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】(I)根据鹿1结合线面垂出的判定定理和性质定理分析证明I因为A_1.平面Sa)E.Eu平面CDE,所以AJ.8.乂因为酩上比，I1.AEDE=E,
19、所以8EJ.，面人),I1.AFc平面MF，所以BE工AF.而EGAF.IBEEG=E.BE.EGU丫面BEG.所以AFJ平而MG.(a5.0),C(4.3.0),F(0.3.0).由(1)知,平面MG的个法向*为Ak=(OAY),itAD5Y4;*0h-CD=-4+2=()设T1.1.!.ACD的一个法向不为”=(.t.y.Z).因为AD=(0.5.-4).CD=(-1.,2.0),则令y=4,.11V=2,=5,可汨”=(24,5),设平面BEG1jT1.fiiAa)的夹角为,则cos。=IcoS,叶扁=康二等.!IPr-I1.IiBEG:)IK1.ACD11J夹角余弦值为巫35.(23-
20、24将三上浙江嘉兴期末等边三角形A8C的边长为3.().。分别是边AB和AC卜的点,且AP=2AO=2,如图1.符-A/，沿8折起到AOP的位置,连结八队Ae.点0满足AQ=2QC,且点。到平面81，的距离为1,如图2.(I)求证：内平面八四：(2)求平面ABC*j平面1.OP夹角的余弦值.t答案】U)证明见解析李【分析】坐标法：曲题意可得AoJ平面8CPO,则以。为原点如图建空间自用坐标系。一,利用空间向地证明即可：几何法:取OB中点S和线段Ab靠近点B的三等分点厂连结5T,SH70,可证得四边形STQP为平行四边形,则ST/PQ,再利用线面平行的判定定理可证得用论:2)坐标法：利用空间向I
21、S求解即可：几何法：延长BeOP交于点R在第AK，作。DJAK,连结BD可得，BDO为面角B-AR-O的平而角.在RtJ?OD中求懈即可.【详解】(D证法I(坐标法K因为AQ二IQC.,i,到平面BbO的力俱为所以点儿到平面SCQp的密寓为I.W为Ao=I,所以AtO1面BCPO.囚为08,0PUY面BCPO,所以AOJ08.AiO1.OP,在JoP中，OPzOi+AP:-2OPwsZOAP1.+4-21.23.所以OP+AO=AP1.所以OP_1.AQ.所以OP工OB.所以以。为原点,以OBQPQAt所在的直线分别为工工Z轴建立空间在角坐标系.如图所示.则A(0.0.1),8(2.0.0),
22、P(,3,),C所以p0=051-乂平面型Q的法向!1.!41U=（0.1,0）,111) PQn=O,纹/Qa-IIiiAbo.所以收平而AQ.取08中点S和线段A8*近点8的三等分点r,连结S7；SP.IO.内为AQ=2,AP=IAO=I.所以7Q8C.SP=TQ=C.所以SP丁。.所以四边形STQP为平行四边形.所以STI/PQ.乂STUfnABo.PQ1f;)BO.所以也平面ABO.2)解法I(坐标法)；平面儿。尸的法词V/1=（1.0.0）.设YmAHC的法同3%=（HF工），BCIB半。A8=(20,T).W=?.2=23.1!JMj=(3.I,23).设平面A&C与TihiAoP夹角大小为O.则ce=nJ=今叩邛而ABC与平面A1OP夹角的余弦伯W.解法2几何法:延长8C.OP交于点七连结AK作OD，AR连结80.因为OP1.OB.AyO1OB.OPAyO=O.OP.AyOU平面ACW,所以80/平面A1OR,因为AR.OD平面AOR,所以8。J.AR.BO1.OD.DO1A1R.OBOD=O.OH.ODoiir7or=j+Q=京.如平面ABG川而A。尸夹角的余弦值为立.
