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1、2023年上海市15区中韦数学一模汇专题05锐角三角比相关概念（46题）一.逸邦J1.（共17小题）1 .（2022秋徐汇区校级期末如图，下列角中为俯角的是（）A.Z1.B./2C.73D.Z4【分析】利用仰角与俯角的定义,宜接判阍得出答案.【解答】解：根据俯角的定义,首先确定水平线.水平线以下与视线的夹角,即是俯角.故选:C.【点评】此即主要考卷了相向的定义.题目比较简单.2.2022秋浦东新区校级期末在R1.ABC,ZACB=90o,BC=1.,B=2,则下列站出正确的是AsinAB.CosK=-Q-c-tanA=-D.COtA=【分析】首先利用勾股定理求褥4C的长，然后利用三角函数的定义
2、求解，即可作出判断.【解答】解：在直的ZiABc中，4c=ab2-bc2=22-i2=V3.则SinA=卷=，故八错误：AB2Cw1.=曰=返，故8正确：AB2tanA=毁=-j1.冬,故。错误：ACTJ3con的是)A黑B,芈C架D,黑BDABACBC【分析】由锐角的正弦定义,即可判断.【解答】解：/1、器不一定等于sin,故A符合电意：8、ZA3C是直角三角形,SinB=岑正确.故8不符合超总：ABC、CDAB.NAeVHNA=N8+NA=90.NACD=NB,sin=-.正确，故C不符合题意:AC/)、CO是直用三角形，Sinp=段,正确.故“不符合时意.BC故选：A.【点评】本即考查解
3、直角三角形，关便是掌握饶用的正弦定义.点P与原点O的连线与X轴正半轴的央D.叵175. (2022秋黄浦区期末在直角坐标平面内,如果点P(4.1).角是,那么COta的值是().H1.r4I7A.4B.C.417【分析】由锐角的正切定义,即可求解.【解答】解：如图：cucot40a【分析】由锐用的正切定义，IiP可犯到答案.【解答】解：.uu3=器,ACHC=4Ctan40.故选：C.【点评】本跑考查解直向三角形,关键是掌握锐知的正切定义.7. （2022秋黄浦区校级期末）在RI八8C中，NC=90,Z=,BC=2,那么八C的长为（A.2sinaB.2csaC.2tanaD.2cota【分析】
4、根据锐角三角函数的意义求解后，再粒出判断即可.【解答】裤=丝BC=2,BC4C=BCcota=2cota.故选:D.【点评】本Sfi考直锐角:角函数，聿握锐角三的函数的意义是解决问JS的关键.8.（2022秋黄浦区校级期末）已如海面上一艘货轮A在灯塔8的北偏东30方向，海监船C在灯塔5的正东方向5海里处.此时海监船。发现货轮A在它的正北方向.承么海赛船C与货轮八的距肉是4）A.10海里B,3海里C.S海里D.,5海里【分析】如图.在RtZA8C中,NA8C=90-30=60,8C5海里,根据三角函数的定义即可得到结论.【解答】解：如图.在R8C中,ZBC=90,-30=601.BC=S海里,4
5、C=BCnan60=53（海里），即海监gC与货轮A的矩离是55回海里.故选：B.【点if本即考变了解直角二角形的应用，解膻的关键是从实际问题中抽象出宜角三件形并求解.9.（2022秋杨浦区校级期末）在R1.AA8C中，NC=90“，AB=3,ZA=,而么3C的长是A.3sinB.3cosaC.3cotaD.3tana【分析】画出图形，利用:角函数的定义即可完成.【解答】解：加图所示由正弦的数定义有：si11AAB3.HC=3sinA=3sina.【点请】本期考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边则利用正弦函数可以解决.10 .（2022次？浦区校级期末）在AASC中，NC=
6、90”,如果AC=8,BC=6,那么NA的正弦侑为（）【分析】由勾股定理求HI斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案.【解答解：在BC中,VZC=90，AC=8,BC=6.10.:=AC2*BC2=V82+62.BC-6_3.snAB105故选:A.【点评】本麴考查锐角三角函数的定义.句股定理.理解蜕角三角函数的意义和勾股定理是解决问跑的关键.11 .（2022秋金山区校级期末）在R1.八8C中，ZC=9O,BC=1.A8=3,下列各式中,正确的是（）A,SiM=AB.8$A=AC1.anA=ID.cos=-IaM=-=上=返,COtA=芈=N.AB3AB3AC224BC放选：八.【点评】本题
7、考育了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键.12.2022秋徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔）的北偏东50方向，距离灯塔2海里的点A处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处,则海轮航行的距离A8的长是（）B.2cos50t海里C.2tan40;海里D.2tan50o海里t分析】首先由方向角的定义及已知条件得出NNM=5（,闲=2海里,NA8P=90.再由A8NP.根据平行线的性质得出NA=NNKI=50.然后解RtZXA8P,得出A8=APcGsNA=2A.5sinAB.5coxAC.，,D.5上,SinAcosA【分析】依据RtZA8C中,ZC=OO
8、1,BC=5,可得83=色.即可得到A8的长的表达式.AB【解答】解：YRtZSABC中，C=9）,BC=5,.cosA=磐=-.ABABcosA故选：D.【点评】本牌考连了锐角三角函数的定义的应用,正确记忆锐角A的邻边a与斜边C的比叫做N4的余弦,记作co3是解题关键.15. （2022秋浦东新区期末）在RI八BC中，/8=90”，如果NA=,BC=a.那么八C的长足（）A.tWt点评】本SS考杳了解口角三角形的应用-仰角的角问题，首先构造口角三角形，再运用三角函数的定义解时，是中考常见您里，解题的关德是作出高线构造直.角三角形.17. （2022秋杨浦区期末）在R1.AABC中,NC=90
9、,如果AC=8.BC=6,那么NB的余切值为D.（分析根据余切函数的定义解答即可.【耨答】解：如图.在RtZA8C中,VZC=90.AC=8.BC=f.B【点评】本庭考费解直角三角形，解甥的关键是熟练掌握基本知识，属千中考常考SS型.二.填空JB（共29小题）18. （2022秋黄浦区期末）如图，某恸楼的楼悌诲一级台阶的高度为20J里米，窗度为30厘米，就么斜面AB的坡度为I：1.5.【分析】根据坡度的概念计算,得到答案.【解答】解：斜面A8的坡度为20：30=1：1.5.故答案为：1：15【点请】本即考查的是解H角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅点高度和水平宽度/的比是解题的关键
10、.19. （2022秋物浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米.那么他沿存率也方向升高了_50米.【分析】设他沿着垂直方向升高了X米,根据坡度的概念用X友示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可.【解答】解：设他沿著垂直方向升高了X米，；俄比为I：2.4.他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得.?+（24T）2=13*解窗.x=50,即他沿着垂直方向升面了50米.故答案为：50.【点评】本胞考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问遨.安握坡度是坡面的忸直高度人和水平宽度/的比是解遨的关键.20. （2022秋黄浦区校级期末）辆汽车沿着坡位i=I：5的斜坡向下行驶50米，那么
11、它距离地面的垂一高度下降了25米.【分析】设出垂直高度.我示出水平距向，利用勾股定理求解即可.【解答】解：坡度i=1.：3.，设垂出高度下降了X米，则水平前进了6r米.根据勾股定理可得：.F+（6，）2=502.解得x=2S（负值舍去）.即它距离地面的垂直高度下降了25米.故答案为：25.【点评】本即考查了解直角：.角形的应用-坡僮坡为问飕，解决本超的关键是掌握坡僮坡角定义.21. （2022秋徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10，”,垂直高度上升8m.则坡比i=4：3.【分析】根据为H5定理求出行走的水平距禹,再根据坡比的概念计算即可.【髀答】解：Y在斜坡走了IOm，垂H高度上升幻”，二行走的
12、水平距离为：io2-82=6（”则坡比i=8:6=4：3,故答案为：4：3.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问遨掌旌坡度是坡面的铅点高度人和水平宽度/的比，又叫做坡比是斛趣的关键.22. （2022秋浦东新区校级期末）在R1.AABC中，NC=90,如果AC=4,sin8=,那么A8=6.【分析】根据正弦函数的定义即可宜接求解.【解答】解：.sinB=笑，AB.AC_A_,as2-6-3故答案是：6.【点评】本即考查了正弦函数的定义，是所对的直用边与斜边的比，理解定义是关键.23. （2022秋浦东新区期末）已知一条斜坡的长度为10米,高为6米,那么坡角的度数均为_3T_（备用
13、数据：tan31.,=8t590=0.6.sin37=CoS53=0.6）【分析】整出图形，设坡角为,根据黑=Sina,可求得的度数.AC【解答】解：由题总得,-=sin.AC即Sina=O.6.W=37.故答案为：37”.【点得】本庭考变了解直角三角形的应用，解答本鹿的关键是构造R角二角形，解直角三角形.24. （2022秋金山区校级期末）平面曲角坐标系内有一点P（1,2）.那么OP与X釉正半轴的夹角为a.tanq=2【分析】过点P作1.x轴于点A,由。点的坐标得双、QA的长.根据正切函数的定义得结论.【解答】好：过点P作用1.X轴于点A,如图：P点。（1.2）,.PA29OA=I,啜=H故
14、答案为：2.【力:评】本题考15了点在平面直角坐标系里的意义及耨直用三角形.解决本题的关搂是构造直角三角形.25. （2022秋闵行区期末）如果一个斜坡面的坡角为30”,那么它的坡度i=1：芯.【分析】由于一个斜坡面的坡角为30”，而坡度，等干坡珀的正切值，由此即可求解.【解答】解：Y斜坡面的坡角为30”.,它的坡度i=tan30,=1：3.故答案为：1：3.【点评】此即主要考资了解卢为三瓶形应用-坡度的问时.解超的关键是根据四意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问翎.26. （2022秋闵行区期末）如图.一艘船从4处向北偏西30的方向行驶5海里到8处,可从8处向正东方向行驶8海里到C处.
15、此时这俄船与出发点八处相挺7海里.【分析】根据直角三角形的三角函数汨出ABE,进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可.【解答】解：如图：RCAE,：.ZAEB=9（.VZE4=30,.AB=5i.二SE=?海里.AE=&区海里.,.CE=HC-HE=H.BHB-(海里).22.C=ce2+ae2=(-)2+(-)2=7(海里).故答案为：7.【点评】此跑号行/方向角、斜直角三角形的应用,解遨的关惯是根据H角三角形的三角函数得出AE.BE解答.27. (2022秋徐汇区期末如图，长4,”的楼梯八8的倾斜角NA。为60”,为了改稗楼悌的安全性能,准备期新建造楼梯，使其做斜角/AC。为45,则谡整后
16、楼梯AC氏为_?7_米.分析先在R(BD中利用正弦的定义计算H。,然后在RCD中利用正弦的定义计眸AC即可.【解答】解：Rt4)1.*,.snZARD=.AB4D=4sin60o=23(h).在RtZAC7)中，.sinACO=4.ACMC=-=26(n).sin45故答案是，26.【点评】本西考杳了解口.角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可.28. (2022秋吉浦区校级期末)如果是脱用，JISina=CoS20,那么=7Q度.【分析】比接利用SinA=COS(W)-ZAX进而得出答案.【解答】解：Ysin=cos20.=90-20*=70.故答案为：70点评】此即
17、主要考查了互余两角三角函数的关系.正确把握相关性质是耨题关犍.29. （2022秋青浦区校级期末）小明沿若坡度i=1：2.4的斜坡行走了门米，那么他上升的高度是5米.【分析】设他上升的高度是X米，根据坡度的概念用X表示出他行走的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程汨到答案.【解答】裤：说他上升的高度是X米.；料坡的坡度i=1.:2.4,他行走的水平距离为2.4X米.由勾股定理得：?+（24）2=I32,解得：x=5（负值舍去）,则他上升的高度是5米，故答案为：5.【点评】本即考查的是解直角三角形的应用-坡度坡度问遨,熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽僮/的比是解题的关犍.30. （2022秋吉
18、浦区校级期末）如图,ZA8C在边长为I个单位的方格纸中,2XA8C的顶点在小正方形顶点位置，那么NA8C的正切值为【分析】根据遨意和图形，可以求知ACBC和AB的长.然后根据勾股定理的逆定理可以判断AACB的形状，然后即可求得/A8C的正弦的.t解答】解：由图可得.AC=I2+12=V2.B=yI2+32=V1.OBC=2+/=2,.AC2+nC2=AB2.AACB是自角三角形.故答案为：【点评】本跑考查句取定理的逆定理.解直向三角形.解答本越的关圾是明确题意,利用教形结合的思想解答.31. ZD.即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角.故答案为：大于.【点评】本即考查了面角三角形的应用-坡度
19、坡角,熟练掌握三角函数的增减性是解时的关雄.33. （2022秋嘉定区校级期末）小芳在楼卜点。处看到楼上点E处的小红的仰地是34度，那么点E处的小红看点。处的小芳的俯角等于34度.【分析】两点之间的和角与船角正好是两条水平夹角的内错角，应相等.【解答】裤：从点A看点B的仰角与从点R/点八的俯向互为内错角，大小相等.点8处的小明看点A处的小李的怖角是34度.故答案为：4.【力:评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用.主要考查仰角、俯角的概念，以及仰角与俯用的关系.34. （2022秋杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比/=I；1.5.【分析】坡比=斜
20、坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整埋为I：”的形式即可.t解答】解，一段斜坡的钳垂高度为2米,水平宽度为3米，坡比i=2：3=1：1.5.故答案为I：1.5.【点评】本题考杳了坡比的求法：坡比=斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并皎终化成1：n的形式是解题关键.35. （2022秋青浦区校级期末,如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了26米,那么他的高度上升了及一米.【分析】设高度上升了米,则水平前进了2.4米.然后根据勾股定理解答即可.【解答】解：设高度上升了/米，则水平前进了2.4米，由勾股定理得：7h2+（2.4h）2=26,解得力=K）（负值舍去）.故答案为
21、；10.【点评】本曲主要考杳了坡度比与勾股定理褥应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键.36. （2022秋有浦区校徽期末如图.AABC在边长为I个单位的方格纸中,八友.的顶点在小正方形顶点位置.那么/A8C的余弦值为.一5一【分析】利用勾股定理可求出4C、BC.八8的假，利用勾股定理的逆定理可行AC8=9（T,根据余弦的定义即可得答案.【解誓】好：.ZA8C在边长为I个单位的方格纸中,4成.的顶点在小正方形顶点位置.AB=12+32=T0BC=22+22=22AC=12+12=2(22)2+(2)2=1O=(Io)2.,.AC2+BCi=B2.：.Z4C=90o,.cz
22、.ttr-BC-22,25AB1O5故答案为：率_.5【点评】本四考查网格的特征、勾般定埋及余弦的定义.在直角三角形中，钱角的余弦是角的邻边与斜边的比：熟练掌握三角函数的定义是解题关键.37. （2022秋金山区校级期末）如图.在ABC中,sin=.tanC=.AB=A.则AC的长为亏一42t分析】过点A作AIk1.SC垂足为。,先在RtAAQ中.利用锐角三角函数的定义求出AD的长,再在R1.八OC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后根据勾股定理求出AC的长即UJ解答.【髀答】解：过点八作ACBC垂足为。，在RtAkABD中,sin=-fAB=4.4二A。=A8sin8=4X-I=1.
23、4在RIZS4DC中，tanC=1.2=AD2-*CD2=V1.2+22-V.故答案为：5【力:评】本跑号连了解直角三角形，根据麴目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关杨.38. （2022秋闵行区期末）在直角坐标平面内有一点A（5.12）,点4与原点。的连线与X轴的正半轴的夹角为0.那么SinO的值为_后_.Iw【分析】由勾股定理求出。人的长,由锐角的正弦定义,即可解决问题.【解答】解：如图，过八作八和1.X轴于，=12.CH=5.oa=AH2OH2=52+122=,3【点评】本即考查解直角三角形，关健足掌握:的函数定义.39. （2022秋黄浦区期末）在RtAOC中.ZC=90,
24、.已知N4的正弦（ft是那么N8的正弦值是53,【分析】根据税角:.他函数的定义以及勾股定理进行计分即可.【解答】解:RtBCrZC=Wo,由干NA的正弦值是三即吧=/可设则A8=3%由勾股定理咕3AB3ACwAB-Be2=倔.siM=返AB3故答案为：返.3【点得】本即考查锐知三角函数.勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正常解谷的前提.40. （2022秋徐汇区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=I：3,如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方,那么该物体所经过的路程是31.一米.DECD【分析】根据坡度的概念求出水平距黑，根据勾股定理计算，得到答案.【解答】解：传送带
25、与地面所成斜坡的坡度i=1.:3,它把物体从地面送到渴地面IO米高.二水平距禹为：3X10=30（米为.物体所经过的路程为：102+302=1.oi（米，故答案为：10I.【点评】本牌考查的是解出角三角形的应用一坡度坡角问遨.掌旌坡度的概念是解跑的关键.41. （2022秋徐汇区校级期末）如图所示，在平行四边形八8C。中，过点A作八垂足为E,联结。、E,尸为线段。E上一点，且NAF=/8.若A8=5,AD=8,sin8=,则AF的长为-J5-.AD【分析】如图，AE1.AD,求出八,CE的长度；证明八加/底,得到丝厘:Igff1.AD=8,Df=45.CD=AB=5,求出八F的长度，即可解决问
26、JS.【解答】解：如图.在RtZA8E中,乙UB=90.AB=5.：.AE=4.,：四边形ABCD为平行四边形.,.ADC.ZB=ZAIXJiffijAE1C.4ED.NADF=NDEC；：.DE1-AE2+A2=16+64=80.ZJE=45而/AFE=/8,：.ZAFE=ADC.HPZADFZDAF=ADF+NEDC.：.ZDAF=ZEDCx.,.ADFDEC.二丝理；而AO=8,DE=45.CD=AB=5,DECD4F=25.故答案为：25.【点评】本咫考杳平行四边形的性质，解H知三角形等知识，解题的关键是掌握基本知识，MF中考常考Sfi型.42. （2022秋浦东新区校级期末）如果Si
27、na=近.那么锐向=601.2【分析】根据特殊用：.角函数位，可得答案.【解答】解：由Sina=近，得2钱角=60,故答案为：60.【点评】本牌考查了特殊角三角函数值,熟记特殊用三角函数值是解也关键.43. （2022秋浦东新区校侬期末）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了I米,则该斜坡坡度片1：26-.【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平沟度与水平距圉的比值即为坡度，从而可以解答本SS【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了I米，此时水平距窗为X米，根据勾股定理，ff1.r+1.2=52.解得X1=26,x2=-26（舍去）故该斜坡坡
28、度i=1.：26.故答案为：1：26.【点评】本牌考筐解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解遨的关圾是明确什么是坡度.44 .（2022秋晋浦区校级期末已知点P位于第象限内，Of=25.且OP与X轴正华轴夹角的正切位为2,则点P的坐标是（2,4）.【分析】根据题意，画出图形，过点P作1.v轴丁A，根据正切伯可为族=2,设设OA=K,则用=2x,利用勾股定理列出方程即可求出*.从而求出。4、P.即可求出结论.【解答】解：如下图所示，过点尸作册1.V轴于4设O=x,则PA=2x.VOA2+M2=OP2.x2+（2x）2=（2）2解得：*=2（负值舍去），：.OA=2.PA=4,二点F的坐标为.故答案
29、为：（2.4）.【点评】此题考查的是解直痢三角形和求点的坐标.掌握利用蜕角三角函数和勾股定理解直角三角形是解翘关键.45 .（2022秋浦东新区期末）在R1.八8C中，ZA=W,已知AB=1.AC=2,八。是/ZMC的平分线，那么八。的长是_2叵_.3【分析】过8作8八8交八。的延长战于E,根据角平分战的定义得到N8AE=4S,推出打是等腰巨角一:知形,求得BE=AB=1.根兆勾股定理解到AE=d%P=2根据相似:角形的性质即可得到结论.【解答】解：过8作交A/）的延长线于.JZBC=W,八。是N/MC的平分城.ZfiAE=45.A8E是等腰面角三角形，；.BE=AB=1,二a-AB2+BE2
30、=2V2.VZCA=90,ABkBE.：.AC/BE.,.,AC.EHD,.AC-ADBEDE,故答案为：2.【点评】本题考查了勾股定理,两平分税的定义.等腰直角三角形的判定和性颇，相似：角形的判定和性质，正确地作出辅助税是解应的关健.46.（2022秋徐汇区期末）已知一斜坡的坡比为I：2,坡角为a,那么Sina=一坐一5【分析】坡比=坡角的正切（ft.设竖出直角边为*,水平直角边为2r.由勾股定理求出斜边,进而可求出的正弦（ft【解答】解：如图所示：由阳意,得：Iana=，=!，设竖出直角边为水平出角边为2则斜边二x2+(2x)2=Vsv.【点评】此即主要考香坡比、坡角的关系以及勾股定理：熟记坡角的正切等于坡比是解决问遨的关逡.
