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1、实验二 怎样计算1、 实验目的 分别用以下三种方法计算的近似值，并比拟三种方法的准确度： 数值积分法：通过使用Mathematica7.0编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算。 泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算。 蒙特卡罗Monte Carlo法：通过使用Mathematica7.0编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算。2、 实验环境 基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。3、 实验的根本理论和方法1、 数值积分法 以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限的局部G是一个扇形，由曲线及两条坐标轴围成，它的面积。算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而扇形
2、面积S实际上就是定积分。与有关的定积分有很多，比方的定积分就比的定积分更容易计算，更适合于用来计算。一般地，要计算定积分，也就是计算曲线与直线所围成的曲边梯形G的面积S。为此，用一组平行于y轴的直线将曲边梯形T分成n个小曲边梯形，总面积S分成这些小曲边梯形的面积之和。如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。具体公式如下：梯形公式 设分点将积分区间分成n等份，即。所有的曲边梯形的宽度都是。记则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形
3、面积。将所有这些梯形面积加起来就得到这就是梯形公式。辛普森公式 仍用分点将区间分成n等份，直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再做每个小区间的中点。将第i个小曲边梯形的上边界近似的看作经过三点的抛物线段，则可求得其中，于是得到这就是辛普森公式。2、 泰勒级数法利用反正切函数的泰勒级数当*的绝对值小于1，最好是远小于1，这样，随着指数的增加，*的幂快速接近于0，泰勒级数就会很快收敛，比方，取得到的就收敛的快，在中取得到的的近似值的误差就小于，准确度度已经非常高了。我们并不知道是的多少倍，但是却能计算出与相差多少。记，则因此，即，从而得到 1比收敛得更快。利用泰勒级数计算出与的近似值再相加，然后再乘
4、以4，就得到的近似值。还可以考虑用来计算，它收敛的更快。由易算出从而得到即 2称为Maqin公式，利用的泰勒展开式求出的近似值，再代入Maqin公式就可以求出的近似值。由于是通过计算等算出来的，只要计算这些的近似值到足够的准确度，就能保证所得到的的近似值到足够的准确度，我们是通过计算来得到的近似值的。当时，这个近似值的误差为3、 蒙特卡罗Monte Carlo法 在数值积分中，我们利用求单位圆面积的来得到，从而得到，单位圆的是一个扇形G，它是边长为1的单位正方形的一局部，单位正方形的面积。只要能够求出扇形G的面积在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。为了求出扇形面积在正方形
5、面积中所占的比例k，一个方法是在正方形中随机的投入很多点，使所投的每个点落在正方形每一个位置的时机均等，看其中有多少个点落在扇形。将落在扇形的点的个数m与所投点的总数n的比可以看作k的近似值。而任何一种计算机语言都有这样的语言可以实现这样的随机点，能够产生在区间均匀分布的随机数。在Mathematica中，产生区间均匀分布的随机数的语句是 Random产生两个这样的随机数*,y,则以*,y为坐标的点就是单位正方形的一点P，它落在正方形每个点的时机均等。P落在扇形的充分必要条件是。 这样利用随机数来解决问题的数学方法称为蒙特卡罗法。4、 实验容与步骤及得到的结果分析实验1 数值积分计算1、 实验
6、容 分别取n=5000,n=6000,n=1000,用梯形公式和辛普森公式计算的近似值，取20位有效数字，将所得的结果与进展比拟。2、 实验步骤 在Mathematica中输入语句如下：3、实验结果4、 结果分析 三次实验结果所得的第一个数字是利用梯形公式计算出的，结果保存了20位有效数字，实验结果所得的第二个数字是利用辛普森公式计算出的，结果保存了30位有效数字，第三个结果是的前30位有效数字组成的近似值。而且随着n取值的增大，的准确度也随之不断增高。实验2 泰勒级数法计算1、 实验容利用反正切函数的泰勒级数：计算，分别将代入上面的级数，并分别对n取值为n=5000,n=20000,n=40
7、000计算的值，观察所得的结果和所花的时间。2、 实验步骤 在Mathematica中输入语句如下3、 实验结果4、 结果分析在第一个实验结果中，0.469指的是所用的时间是0.469s，后面的数值指的是取20位近似值所得出的的近似值。后面的三个数值，第一个数值是将和代入所得的结果，结果保存了150位有效数字；第二个数值是将代入所得的结果，结果保存了150位有效数字；第三个数值是的前150位有效数字组成的近似值。第二个实验比第一个实验所用时间少，为0.047s，第三个实验比前两个实验所用时间多，为1.672s。可见，随着n取值的增多，所用时间会随着增多，同时的准确度也会随之增高。而且，通过比照
8、数值积分法与泰勒级数法的计算结果，我们发现，当n的取值一样时，相对于泰勒级数法而言，数值积分法的准确度较高。实验3 蒙特卡罗法计算1、 实验容 取，n=5000,n=20000利用随机投点的方法来计算的值。2、 实验步骤在Mathematica中输入语句如下：3、实验结果3、 结果分析 每次投10000个点得出的一个近似值存放在数组P中，一共做10次得到10个近似值，最后通过printp语句将其全部输出得到:3.1264,3.156,3.1376,3.1616,3.1312,3.134,3.1624,3.1616,3.144,3.1448.最后求出这10个近似值的平均值，相当于随机投点1000
9、0次得到的近似值，即3.14596。 第二个积第三个实验结果原理与第一个一样，通过比照，我们发现，随着n取值的增大，的准确度也越来越高。四 三种计算方法的比拟通过上面的实验，我们发现：当n=10000时精度很低，取更大的n，准确度会更高一些。但总的来说，蒙特卡罗法的准确度比数值积分和泰勒级数法低，基于此，我们依然用蒙特卡罗法是因为：假设不是求一个扇形的面积，而是求100个圆的公共局部G的面积时，要确定公共局部G的边界将是一个很困难的问题，此时很难用定积分或数值积分计算，但用蒙特卡罗法就没有多大困难，仍然可以用一个正方形或长发形Q将图形G包含在，仍然可以通过产生随机数在Q随机投点P*,y，通过判
10、断P*,y是否落在，也就是判断是否成立，如果P落在每一个圆的部，则它就落在所有这些圆的公共局部G的部，而让计算机做100次乃至1000次，10000次这样的判断都是轻而易举的事情。因此，蒙特卡罗法在很多场合下，特别是对准确度要求不太高的情况下是大有用武之地的。5、 附录另一种用蒙特卡罗法来计算的方法是1777年法国数学家蒲丰Buffont提出的随机掷针实验。其步骤如下：（1） 取一白纸，在上面画很多间距为d的等距平行线；（2） 取一根长度为的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共投掷n次n是一个很大的整数，观察针和直线相交的次数m；（3） 由分析知道针和直线相交的概率,取m/n为p的近似
11、值，则特别取针的长度时，。6、 心得体会 通过本次实验，在通过初步了解梯形公式，辛普森公式及泰勒级数的根本理论之后，通过使用Mathmatia编程，在计算出结果并从多角度对其进展分析其计算结果之后，我们深刻的感受到了不同的方法的精妙之处，如，在计算值时，数值积分法与泰勒级数法相对于蒙特卡罗法而言，其准确度更高，但是，当不单单是计算一个扇形的面积，而是求很多圆的公共局部面积时，确定公共局部G的边界就会变得很困难，但这时候假设是选择蒙特卡罗法的话，就会显得很简单，因为在计算机上进展无论多少次的投点实验是一件很容易的事，可见，每种实验方法都有他的优点，在不同的情况下选择选择不同的实验方法，会节省我们更多地时间，使得在解决问题更简单方便。
