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1、1.2集合间的基本关系目录【型归纳目录】【好点2【典型例】型I写出给定集合的子集、真子集以及个敷问3M1.Is一一一一一一一一一一一一一一一由集合间的关系求敷的范H1.7四，间一.一.I.一.I.一.I9UH：割断两集合*相等11的III”IIIII”IIIII”IIIII”IIII14【题型归纳目录】【思雉导图】读他/(4令JB(成i/D.)1.awi)C如果两个集介厢M沅京光金IW&*1蒜集合间的基本关系fr.46.V1.UeJUJ.)、檄卷介41强令M1.Kf宴.贝收1.ft.JSirif1.KriUAH)”个皿介儿点若加!个.WKftawt.KarTR力ri).UMM.%集的/级个数为
2、t,个敢为0.【知火点梳理】知火点一.集合与集合的关系(I)一般地，对于两个佻合A,B.如果集合八中任意一个元素都是集合8中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：A(yJcA)读作：A包含于E(或8包含4.图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（AuB且BqA）,那么我们称这两个集合相等.记作：A=B或作：A等于B.4B图示，知板点诠科：（1）“A是8的子集”的含义是：A的任何一个元索都是8的元素，即由任意的xwA,能推出Xw5.2）当A不是B的子集时，我们记作（或32A”，读作：“A不包含于8”（或3不包含Am）.知火点二.真子集若篥合A=B,存在元素X811.
3、r华A,则称臾合八是集合B的口子集.记作：A“（或应A）读作：A在包含于8（或8支包含A知识点三.空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：0.规定：空集是任何集合的子集.结论，（1）AqA（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（3）若人u8,8gC,则AUC（类比Mc则ac）（4）一般地，一个集合元素若为个，则其子集改为2个,其文子集数为2-1.个，特别地，空集的子集个数为1,其子集个数为0【典型例题】三三-.写出!&定集合的子集、其子集以及个数向U【典例1-11（2024iT.苏南京二-：模）集合A=（xwN1.-Iv4的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】
4、D【蟀析】由遨意,得A=0,1231故集合A了噢个数为2416个.故选：D.【典例1.2】(2024京一.广东梅州开学考试)集合A=x0M31UeN1的口子集的个数是()A.4B.3C.8D.7【答案】D【解析】由IS可咕A=02,所以条介A的桌子集个较为2，-1=7：故选：D【方法技巧与总结】(分类讨论是写出所有子集的方法)1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的潦则,做到不重不漏.2、若集合A中有”个元索.则集合A有2个子集，有(2-1)个直子集，有(2-1.)个非空子集，有(2-2)个非空直子集，该结论可在选择题或地空题中宜接使用.t三A-(
5、I)写出集合的子集利真子集. 2)写出集合“肉的所有子集和典子集. 3)写出集合A=g78的所有子集和其子集.(WtJi)(I)子集:0.II：真子集:0： 2)子集：0.f1.b,a.h：真子氨0.a.也：子集：0.6,7,8,6,7,7.8,6,8.J6.7.8)；女子/0,6,7,8,6.7,7.8,6.8.【交式1-2(2024.高一.福建泉州阶段练习)已知集合MxeN.t2.V.teZ-2.v由题意可知M=(M),所以其子象为：0,0卜1,04,式子集为O.*0;(2)因包运可知N=-O1.所以其子集为:0.-1.,O.1.Oj,TO.T1.TO.1.,共2=8个.真F条为:0.-1
6、.O.1.OJ,-1.O.T1.共2$-1=7个.非在真广集为:T,0,1.,(M,T,0,-1,1.,共23-2=6个:由(1.(2)可猜想含有”个元素的集合其子集个数为23个,其子集个数为21个,非空出子集个敢为2-2个.【交式13（2024.陶一云南昆明.期中）已知柒合A=wNgsN卜8=213,集合C满足C4,则所有满足条件的集合C的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案1B【蚱折】八二卜WN1.焉234.7.乂E=N3,BqCqA.故张介C为包含元为2和3,且为A的子笫.故集合C可以为:23,234.27,234.7,则集合C的个数是4个.故选：B.Sf1.r1.韦助图及其应用【典
7、例2-12024.高一河两知以阶段练习）下列我示集合M=1.eZeZ和N=（.dV-2=关系的IXJ【陋析】I股适得M.-.2-2.N0.-.故选：C【典例2-2（2024.高、福建两平.期末）下列VCnn图能正确表示集合M=由集合间的关系求介数的范B1.IAM3-1(2024.高一上海杨浦期中)已知集合A=1.,集合B=Mx2-3x+0=0,xeR.(1)若8=0,求实数“的取值范围(2)若Aa8,求实数”的值Q(f11JiI1)若40,则A=9-4二,4即宴数“的取侑范国为42：42-1.,即A2时,Q=0UP满足条件：当K+1.24-1.,即&22时，六：解得-3J3,此时24A3:2A
8、-15标上所述,实数&的取伏他国为A43,故A的范国为出无3).I：方法技巧与划结】(根据集合之间关系，求参数的信或范困)1 .求解此类网也通常是借助于数轴,利用数轴分析法.物各个集合在数轴上表示出来.以形定数.同时还要注意验证湍点位，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=用空心点表示.2 .涉及“Aug或“A励,且8金。”的何题.一定要分A=e和AH。两种情况进行讨论,其中八=。的情况容易被忽珞.应引起足够的曳视.【交式3-1(2024高、上海课堂例)已知集合A=1.8=4/-3.1+a=0*否存在实数”.使得AuB?若存在.求“的值：若不存在,说明理他.【辞析】因为AuSA=,-
9、3x+三0,所以1是2-3x+a=O的根,eJ2-31.+=O,解得=2,当。=2时,S=1.2,符合Au8,故存在。=2,使得Aub.【交3.2(2024满江苏南京阶段练习)已如A=+4x=,6=冲，+2(+1.)x+T=。卜若A,求”的取值范阳.【解析】-8为空第，则a=4“+1)2-4(a2-1)=&/+88+8O,即a7.此时i=i暇二焉HQ=O,辞笳/综上所述.-1或。=1.【支式3-3】(2024高一全国专遨练习)已知集合A=M-12w-5-12-m+3X-5-1.则2,，解得利2所以，”的取值他也为“巾“1；2)if三A,有8=0和两种情况,18=0时.2，h-5Nt”+3,花街
10、，“2；.当BwO时,如图所示.-12n-5-w+32x2w-5-m+3则2m-ST,解褥2mmN2.【交式3U】(2024.高安徵马鞍山一阶段练习)已如集合A=x-2vxv6,8=Mvxvb,其中30的两个不同的实数根.(1)若A=8,求出实数m的伯：(2)若Aq8,求实数析的取值范附.【解析】(1因为A=3,Ha-Zb=6,乂(.v-3m)(.v+w)=0(”，0)的两根分别为一此3，”.故m=-23,n=6.ttZM=2：(2)因为AqB,故。-2646,乂(x-3I)(X+，)=(X/M0)的两根分冽为-m.3.2故、人解得，声2.3wj6枚文数，”的取值范用是，”2.题型四，集合闾的
11、基本关JK【典例4】(2024.高三,山西晋中阶段练习)下列关系中：0e0.0呈网.01.u(01.).(a/)=S,)正确的个数为(A.IB.2C.3D.4【答案】B【解析】N于I因为。是0的兀素，所以0e0,故正确：对于：因为交集是任何T；,的真子瑜卷10S0,故正修：对于：因为集合(M的元第为0,1,集合(0J)的元素为(U),用广象：丽兀会全不相同.审以O,1.(O,1.)之间人存/：勺片关我收情谈：对F：因为供企(“/)的兀素为(。6).央企(,)的元索为(b,a)叫个加介的元素不足相网.所以(0),()不定相等，故情误：标上所述：正确的个数为2.故选：B.【典例421（2024高一
12、全国.课前预习）已知A=1.Hx是正数,Fx是正整数,。一【力K是实效,那么A8,C之间的关系是（）A.AcBcCB.Z?cACC.CuAG8D.A=HC【答案】B【解析】4合AC的关系如图:【方法技巧与总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成,也就是弄清楚集合是H1.哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合其体化（如用列举法来表示集合）、形象化（川Wnn图，或数形集合衣示.【变式4】,2024福三河北1.山.阶段练习）已知集合A=2=）,则下列衣述正确的是A.IQB.（0）AC.-1.,1.）=4D.（I）IA【答案】C【解析】由，=1.fi1.r=1.所以A=1.-1
13、,故C正确：对于AJ4故AHf课:对J-B.Oa.iB祐i只；对于D.1.uA故D错误.故选：C.【交式82】（2024高一,湖北十垠.期末）集合M=Ax=5h2wZ.P=x.v=5n+AweZ!.S=xx=1.（M+3jeZ的关系是（）A.SPAB.S=PcMC.SP=MD.P=MS【答案】C【解析】作取cM.则a=54-2=5（JtI-I）+3,A1.eZ.所以awP.所以Mq0,任取人则力=5科+3=5（外+1）-2,wZ.所以cM,所以户UM.所以M=P.ff.Rc5.Jf=IOhi+3=5（211）+3,nxe7.,所以cwP所以SqF.Z8,8S.所以SkP,所以SuP=/.故选：
14、C.【交式43（多选图）（2024*全国专题修习已知集合A=Wx2H=x2a-3xa-2,下列说法正确的是（）A.不存在实数。使得A=8B.当。=4时，AUBC.当04044时，BqAD.存在实数。使得8勺八【答案】ADIr,：/A-H.f（2rt31.因为此v所以1；。次数。使得集令（-2=2.八=8,故选攻A正确.透项B：与。=4时.8=x5vx2=0,不淌足AU8故选项B错误.若BuA.则当8=0时，/j2-3a-2,01.;I,此方程组无“数解：-22所以若BuA.则有故选项C错误.选HD正确.故选：AD.型五，乂斯两集合是否相等众不同的集合是（）.A.xj=B.xx2=i【典例5.1
15、（2024.褊一上海随堂练习）下列集合卜IF=I,.rN=1,1,卜弓=“中，有一个与C.1db1.r,1.1答案】B【解析】易知kIF=I=小.t-1.)-1.,i=1.=1.,RWB表示1,其它A、C.D均表小1,B切仪不同.故选：B【典例5-2】(2024高-宁灵石嘴山阶段练习)下列集合中表示同一集合的是=1.),N=(FX)IX+)=1D. =1.2),N=(1.2)【答案】C解析】A选项，M=整数中的元素是整数，N=整数集W的儿求是槃数乐枚花同1.sB选项,”=32)中的元素是(3,2),N=(Z3)中的元素是QJ),故不是同集合:C选项，M=(Hy)Ix+y=1与N=(y,;OIX
16、+y=1都衣示找x+y=1上的所有点，故是利集合；：.的=1,2中：.:.、.，=(。,2)中的元索是有序数对。2),故不是同一集合；故选：C.【方法技巧与总结】判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素,即两个集合中的每一个元素都能在丹个集合中找到，旦元素的数依也相Inh不考虑元索的排列顺序，只关注元素的存在性和数法若满足这”条件，则两个集合相等.【变式54】(2024.福河北期中)下列集合中去示同集合的是()A. =4,N=4,3B. M=(14),N=4.3)C. jW-(x,y).v+y-4.NY小+.”4D. f=4,3.=(4.3)【答案】A【解析】A；根据柒合元，
17、具有无序性,则M=N,/A正确:B：(3,4)和(4,3)是不同元素.故B错误:C：C为W中的元素是育序实数对.而一中的元素是实数，所以CtH误:D：因为“中有两个即4.3,而N中有一个元素，即(4.3),M1.UD：故选：A【变式5-2】),r+=1.,V=.y+y=1.)C. jW=4.5),N=5.4D. M=1.2,N=(1.2)【答案】C【解析】A;，贞；(3.2)5(2.3)不是同个点，A选项错误：B选项：集合M一点处.娱合N是数篥，B选项/误:C选项：根据集合中元素的无i件EIMN足同个集企.C选项汇确:D选项：袈合Af是数集，4合N是点生,D选项错误:放选：C.S9.根据两集合
18、相等求*数【典例6.1】(2024高三湖南常伤阶段练习)若集合“，|:=1,“+上。,则产(-卢3=.【答案】i【解析】因为卜.，.1卜心+反0,可得=0,所以0,0,=W,a.0,当。=|时，=,显然不成立；所以=1,R江。=-1或a=I(含去)，所以aM4-bM4.(Tyg.一03a“故答案为：1【典例6-2】(2024.商一全国.课后作业)己知集合A含有两个元素I和2,梁令8表示方程+r+”=O的解组成的集合.且集合A与集合8是同一个集合.则=：b=.【答案】-32【解析】因为集合人与柒分8是同个集合.1.VeA.2eA,所以Ie8.2w8,即1.2是方程x2+t+=O的两个实效根，fI
19、+2=-O=-3所以I.，解得A.(1.2=ob=2故答案为：-3.2I：交式6.1】(2024高一,上海嘉定.阶段练习)已知集合A=k*.v+y.0).若A=8.则+y=.【答案】-I【解析】依飕盘可知Xw,由于A=5,所以,v=O,此时=,0.1.B=.0,所以V=I,解图A=-I或X=I.1,则/$_产=.ab-U=J(1.1.a+b=1.【答案】2ah-i【解析】因为后INO.1.OaN1.所以必=-1,千是可用，。=1或fft=Ja二Wi=T由，Q=I1.,1.11三hb三-1.a+b=*-1.ab三-1j11J4ct=Ja-It,所以。1.b-I,h=I所以JMr八=2.故答案为：
20、2【变式6-3已知集合A=a.W.8=m-.+d,其中awO.wR.若八=8,则【答案】-2【N析】（t-d+a+d=a-t-aA.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据元索与集合.集合与集合关系:。是0的一个元素.060.正确：。是什何非空堪介的八I3故07。、O0,正确：。没仃无家，故00,正脩：I1.0O、00.错误,正确；所以正版故选：C【典例7.2】(2024ri-ffi)下列各式中正确的是()A.0=0B.0UOC.0=(0D.00【答案】B【解析J对于AiSj虬O三0的表示格式不嚏嘉与集合间用w,七不能用您%故A不正确；对于B选人正确,因为0力仃:何集合的子集I对于C选项.因
21、为0方任何集合的子集,所以有0UO,故C不正确:时JD选项仙于空巢没H包人爸,所以Oe0本情误的,故D不正确.故选B.【方法技巧与总结】空集是特殊的集合，它不包含任何元素,空柒具有独特的性侦：它是任何集合的子集，包括它自身.空集与任何集合的并案仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集，【交式7-1(2024.而一.北京东城期中)下列正确的足(A.00.1.2B.Oe0C.0=OD.0g0【答案】D【肝析】选项A，0不足0,1.2的兀素.即0wJ,2不成立,则AM选项B,。中没有任何元素,即。任0.则B错误：选项C。中没勺吁何片素,而o表示集令里面只有一个元索.即两者不相等.则C情误：选项D
22、.京0为第M。中的兀东，即0w0,则D正确：故选：D.【变式7.2(2024海,海南海口期中)有下列关系式:“=。；um;0=0:(4)O-0s(5)0c0.。e0,其中不正确的是()A.(T2)B.(2X45)C.(5X4)D.g)【答案】C【解析】对：因为集合元素具有无序性,显然正确：时：因为班合佃句=抄故buE正确,印正确:时：空东。是一个集件而第台0是以空尔为元东的一个象介，因此0=0不正确：:o是一个集合.仅f-个元素0.但是空集，,ft.F是O*0,4J不正确:对：由可知，0非空，于是有0uO.因此正确;对：显体Oe0成立，因此正确.嫁上,本题不正确的有，于是本题选项为C故选：C.【变式7.3（2024卷一广东广州期中）下列关于空集的说法中，错误的是（）A.00B.0C0C.00D.0c0【答案】A【解析】对于A.因为W用于元素与篥合之间.故A惜谍：刻于BD,因为集是任何集合的子集，故BD正确：XtFC,因为0是堪令0中的元本，故C正确.故选：A.
