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1、【单元复习】第二十一章一元二次方程(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)知识精讲第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程知识点元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.叫做一元二次方程。注意一下几点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax+bx+c=0(a*0),其中，ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数：C是常数项.知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫钺一元二次方程的W.也叫做一元二次方程的根。方程的解的
2、定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x=a(az)的方程，根樨平方根的定义可解得x=G,x=-A.(2)直接开平方法话用于解形如x=p或(mx+a)=p(mw)形式的方程，如果p0,.就可以利用直接开平方法。(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它的互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方
3、项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程.求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。杷常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数：(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。21.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=O(a*O),如果b-4ac0,那么方程的两个
4、根为X=-byh2-4ac2”.这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数abc的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=O(a/O)的过程。(3)公式法解一元二次方程的具体步累:(1)方程化为一般形式：ax+bx+c=O(a*O).一般a化为正值：(2)确定公式中a,c的值,注意符号；(3)求出b4ac的伯；(4)若b-4ac0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac0,方程ax+bx+c=O(a=O)有两个不相等的实数根；一元二次方程ax
5、+bx+c=O(aO).S=O,方程a+bx+c=O(a*O)有两个相等的实数根：一元二次方程ax+bx+c=O(a*O),B.A,C,fiA*1D.Az1且AH1.2222【答案】D【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0,根的判别式大于等于0；即可迸行解答.【详解】解：关于X的一元二次方程仅-1.)+2x-2=0有实数根.jJk-IvO(a=22-4(*-1)(-2)O，解得：2；且Jta.故选；D.【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实效根的情况,熟练地掌塞根的笔别式在不同情况下粮的情况是解期的关像,当-40,.m；或mV0时.Im=：不合题意，0故答案为：.O【点睛】本
6、地考Sf了根与系数的关系：若Xi,&是一元二次方程a2+bc=0(a*0)的两根时，bCM+A=-,XM=.aa【考点3实际问题与一元二次方程例5(2022金国九年级期末)某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个.设该厂二、三月份平均每月的增长率为X,那么X满足的方程是()A.50(1+x)2=182B.50+50(1.*x)*50(1.*x)2=182C.50(1.+2x)=182D.50+50(1+x)+50(1.+2x)2=182【答案】B【分析】设平均每月的增长率为X,则二月份生产零件50(1+.6万个，三月份生产零件50(1+.靖万个.由此可得出方程.【详解】解：
7、设二、三月份平均每月的增长率为X,则二月份生产零件50(1.+x)个，三月份生产零件5个.则得：5O+5(X1.+x)+5(K1.+)i182.【点睛】本题主要考交了求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的t为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数关系为d1.x=.【例6】（2022全国九年级期末）如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,则道路的宽为【答案】2m#2米【分析】设道路宽为X米.由平移法把草坪面枳转化为矩形.根据矩形面积=540列方程求解即可.【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，设道路
8、宽为X米根据题意得：（32-x）（20-x）=540解得：x=2,x2=5O（不合题意，含去）.X=Z,故答案为：2m.【点睛】本胭考查了一元二次方程的应用,这类遨目体现了数形结合得思想,需利用平移杷不规财的图形变为规则图形，即可列出方程，求出答案.另外还要注意解的合理住.从而确定取舍.举一反三一、选择题1. （2022全国九年级期中）把方程Y2（x-3）化成一般式/+“+”，0,则正确的是（）.w=2,=6B.w=2,11=-6C.11=-2,=6D.nt=-2,r=-6【答案】C【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相考即可得出答案.【详解1将2(x-3)去括号得/2
9、x6；移项祖/-260.m-2,n=6故送J【点瞪】本题考杳了一元二次方程的概念,一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念.2. (2022全国九年级期未)若关于X的方程/-2+m=0有实数根，则m的取值苑国为()A.用1B,m1.C.m1.D.m【答案】A【分析1根据方程的系数结合根的判别式A20,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数用的取值苑国.【详解1解：关于X的一元二次方程-2x+,=0有实数根.=(-2)-4mO,解得：，”1.故送：A.【寰睛】本就考查了根的判别式.牢记“当A20时,方程有实数根是解题的关键3. .(2022全国九年级期未)某衣业基地现有杂
10、交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷.设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为X,则可列方程为()A.480时.方程有两个不相等的实数根：当A=O时.方程有两个相等的实数根：当v时.方程无实数根；也考杳了解一元二次方程.9.(2022全国九年级期末)某校准备在一块长为25米.宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子f如图所示)，在亭子四周修四条宽度相同,且与亭子各边垂直的小路.亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪,设小路宽度为I米.(1)花园内的小路面积为平方米(用含X的代数式表示).(2)若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度I的值
11、.【答案】(1.)(-1.x,+45x)(2)1【分析】(I)由亭子边长是小路宽度的5倍.可得出亭子边长是5*米利用花园内的小路面枳=小路的长度X小路的宽度,即可用含X的代数式表示出花园内的小路面积；(2)利用草坪的面枳=长方形花园的面积-小路的面积一亭子的面积,即可得出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】(1)解：小IS宽度为X米,亭子边长是小路宽度的5倍，亭子边长是5*米.花BB内的小路面枳为(25-5x)k+(2O-5Kk=(Toy+45x)平方米，故答案为：(-IO+45.t);(2)依题期得：252O-(-IO+45x)-(5x)j=44(),整理得：+3,v-4
12、=0,解得：占I.S=7(不合趣意.含去答：这时道路宽度X的值为I.【点睛I本就考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关燧是：(I)根据各数之间的关系，用含X的代数式表示出花园内的小路面枳；(2)找准等*关系，正确列出一元二次方程.实战演练一、选择题(共6小题)1.(2022全国九年级期末)若关于X的方程+4x-7=0是一元二次方程，则m的值A.n2B.w=2C.nt-2D.n=2【答案】C【分析I根据一元二次方程的定义求解即可.【详解】解：关于X的方程（，n-2）./T+4x-7=0是一元二次方程，jw-20nt1-2=2解得：m=-2.故选：C.【点睛】此制主要考查了一元二次方程定义
13、：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面化筒后：“一个未知数”；“未知数的最高次数是2：二次项的系数不等于0；整式方程2.（2022全国九年级期末）已知x=.1.是一元二次方程2Xm=O的斜.则m的值为（）A.1B.1C,2D.2【答案】C【分析】把X=代入一元二次方程2Xm=O,再求解即可.【详Wn解：.=.1.是一元二次方程xZm=0的解.1+1-m=0.解得:m=2,故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义,掌握方程的解使方程的左右两边相等”是解本期的关键.3.（2022江苏九年级期末）若分式14计:的
14、值为0.则（）（-1X.v-2）A,x=1.cx=3B,X=3C,x=1.D,xx1.且xx2【分析1直接利用分式值为o的条件进而分析得出答案v4f+3【详解】解：方式；、的值为O.(x-i.r-2)-4x+3=0解得,x=3故送：B【点睛】此题主要考查了分式的值为O,正确掌握分式的值为。的条件是解答本题的关爆4.(2020全国九年级期末)若关于X的一元二次方程k.r-6x9=0有两个不相等的实效根,则k的取值范围是()A.k1.B.k1.【答案1B【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k0且A=(6)*4k90.然后求出两不等式的公共部分即可.【详解】荆：根据用意得KO且A=(-6
15、)2-4k*90,解得kv1.且HO.故造：B.【点睛】本题考直了根的判别式:一元二次方程a2+bx+c=0(a0)的根与A=bz4ac有如下关系：当A0时.方程有两个不相等的实数根；当4=0时.方程荷两个相等的实数根：当AvO时.方程无实数根.5.(2022全国九年级期末)杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军,为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭发卡在电商平台上爆单,该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的息销是30000个.若7月25日和26日较前一天的增长率均为X,则可列方程为()A.5XX)(1.+j2=3(XXX)B.5000+
16、5000(I+x)+50(I+xf=300WC.500O(I-)=30000D,5000(1.+.v)+5000(1+x)=30000【答案】D【分析I根据JS意先分别求得7月25日和7月26日的销量.进而利用7月25日和7月26日的总销是30000个列方程即可.【详解1解：由遮意得：7月25日的销为5000(1+x)个.7月26日的例为5000(Hx)2个，则5()00(1+X)+5000(1+)=XJ(XX),故答案为：D.【点睛1本也考查一元二次方程的应用,理解通意,正确列出方程是解答的关键.6.(2022全国九年级期未)某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售15
17、0徜,3月销售216辆.设该品牌电动车销售量的月平均增长率为X,根据题意列方程得()A.150(1-2x)=216B.150(1.-.=216C.I5(1.+Zv)=216D.150(1.+x)i=216【答案】D【分析】设该品牌电动车销脩的月平均增长率为X,根据题意列出一元二次方程BP可求解.【详解】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为X,根据题意列方程得：I5O(1+=216,故选D.【点瞪】本题考查了一元二次方程的应用，根据俄意列出方程是解题的关谯.二、填空题(共6小题)7.(2022江苏九年级期未)关于X的方程g-)-3+3=0是一元二次方程，则a的取值范围【分析1根据一元二次方程的定
18、义解答即可.【详解】解:方程S-DX：-3x+3=O是一元二次方程，.-0.故答案为：。川.【点瞒】本题考杳了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是穆式方程.然后石化面后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.8.(2022江苏九年级期末)已知m是一元二次方程-3x+1.=0的根，则代数式，”-和?-1的值为.【答案】-2【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系,再整体代入计算求伯即可：【详解】解：m是一元二次方程/-3x+1.=O的根，.m,-3m+1.=0.:.m2-3m-1.=m3/n+1.2=O-2=-2,故答案为：-2：【点瞪】本题考杳了代数式求值.
19、掌嶷一元二次方程解的意义是解题关O.9.(2022江苏九年级期末)若加,”为一元二次方程M-2x-2=O的两个实数根，则(m+1.)(+1.)的值为【答案】1【分析】将(m+X+1.)利用多取式的票法计算将含有m+n和mn的式子,再根森一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值,利其代入化筒后的式子即可求解.【详解】解：加，”为一元二次方程/-2-2=0的两介实数根.m+n=2,mn=-2,.(/+!)(/+I)=oj11+r+n+1=-2+2+1=I,故答案为：1.【点瞒】本IS考查了多项式集多项式.求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键.10
20、.(2022江苏九年级期末)已知为、公是一元二次方程F-4x-1.=O的两实数根，则代数式jT+-4=一【答案】14【分析I首先根据根与系数的关系来出1.+X?=-,=4,W0=F=-.然后把M+M-4转化为(x,+x2)1-2x2-4,最后检体代入计算S1.可.【详解1解：/、*：是一元二次方程f-4x-1.0的两次数根，.x+X2=-f=4,x1.-r2=Y=-I,x；+x；-4=(M+xjf-2q.q-4=4:-2x(-1.)-4=16+2-4=14.故答案为：14.【点睛】本SS考变了代数式求值、完全平方公式、一元二次方程加+尿+c=0(0)的根与系数的关系：若方程的两根为XA,则N+
21、q,x1.=i.采用了恒等变换和技体代入的思想方aa法,理解和掌握一元二次方程根与系数的关系是解JS的关键.11.(2022全国九年级期末)劳动教育已纳入人才培养全过程.某学校加大投入，建设校园衣场，该衣场一种农作谢的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为【答案110%【分析】可设平均每年增产的百分率为X.先表示出第一年的产,那么第二年的产、(1+增长率)=363.然后列出方程求解即可.【详解】解：设平均每年增产的百分率为Xt则第一年的产为300(1.*x),第二年的产为300(1.*x)(i+x),根据题意可得300(1.+x)2=363,解得XI=O.1=10%,
22、xz=-2.1.(不符合题然.舍去),即平均每年增产的百分率为10%,故答案为：10%.【点睛】本Ifi考行了一元二次方程的应用，根据题章列出方程是解题的关键.12.(2022全国九年级期末)特殊时期，市疾控专家提醒广大市民,乘坐电梯切莫大意,务必做好个人防护措施.如图所示,某商场在腌式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提领客柒坐电梯时持足第的空间距禹,减少接触.电梯地面部分为一个长为13)Cm,宽为ITOCm的矩形地面，已知无限夜带区域(空白部分)的面枳为29700cm：,若设隔离带的宽度均为Km,那么X满足的一元二次方程I?km【答案】(1.70-.v)(190-2r)=297【分析I把空白部分
23、的面积看作是长为(70-x)Cm,宽为(1.90-2r)cm的长方形的面枳列方程即可.【详解1解：设隔离带的宽度均为Um.由题意得：(1.70-.t)(190-Zt)=297,故答案为：(70-x)(190-Iv)=29700.【点睛】本IS考直了一元二次方程的由用，找出合适的等关系是解题的关犍.二、简答题(共6小题)13.(2022江苏九年级期末)已知关于X的方程(m1.)2+(m2)x2m+1.=0.(1.)m为何值时.此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解;(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.【答案】m=1.：x=-1.(
24、2)m*1.：二次项系数为m1.,一次项系数为m2.常数项为.2m+1.【分析】(1)当二次项系数为O,一次项系数不为O时,方程为一元一次方程，然后解方程即可；(2)当二次项系数不为0时.方程是一元二次方程.(1)解：若关于X的方程(m1.)z+(m2)x-2m*1.=0是一元一次方程,则m1.=O且m2x,解得m=1.原方程变形为x2+1.=0解得x=1.(2)解：当m时，关于X的方程(m1.)(m-2)x2m+1.=0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m.1.,一次项系数为m.2,常数项为.2m+1.【点睛】本地考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大,掌握一
25、元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本就的关键.14.(2022全国九年级期末)把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项.(1)(2x-1.)(3x+2)=2+2;(2)(22-x)22+x)=(3+)2.【答案1(1.)5U.4=0,二次项系数为5;一次项系数为1;常数项为4(2)2z+6x1.=0,二次项系数为2：一次项系数为6;常数项为1【分析1根据多项式的乘法化简.再化为一元二次方程的一皎形式,进而求得二次项系数、一次项【详解1(1)化筒后为52+.4=0,因此二次项系数为5：一次项系数为1;常数项为4;(2)化简后为22+6x+1.=0,二次攻系数为2;
26、一次项系数为6;常数项为1.【点睛I本就考查了多项式的乘法.一元二次方程的一般形式,理解一元二次方程的一般形式是解题的关健.一元二次方程的一般形式是：r+r+c=O(“，Ar是常数且”0)特别要注意aw的条件.在一般形式中ax?叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a.b.c分别叫二次项系数，一次项系数,常数项.15.(2022全国九年级期末)已知关于X的方程(m.6)/1.x=3,试问：(IJm为何值时，该方程是关于X的一元一次方程？(2)m为何值时.该方程是关于X的一元二次方程？【答案】(Dm=+或/或1(2)w.-3【分析】(1)根据方程中只含有一个未知数目未知数的最高次数是1次的按式
27、方程是一元一次方程,可得答案；(2)根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2：(2)二次项系数不为0:由这两个条件得到相应的关系式.再求解即可.【详解】(1)解：由题意,得m21.=1.,解得m=+,当m=时,该方程是一元一次方程：m/=0,解得in=当m=不时,该方程是一元一次方程;m21=0.解得m=1,m=1时,该方程是一元一次方秤,堤上,当m=+或6或t1时，该方程是关于X的一元一次方程；(2)解：由Jffi意，得m2.1=2且mjw.解密m=j,当m=J时.该方程是关于X的一元二次方程.【点瞒】本IS利用了一元二次方程的概念,只有一个未知数
28、且未知数最高次数为2的孩式方程叫做一元二次方程,一般形式是a2+bx+c=0(且at),特别要注禀a*0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点.16.(2022江苏九年级期末)嫁合与探究：如果关于X的一元二次方程+fer+100+(，-40)口40-2(，”-50)=4700整理得：“尸-160/”+M(X)=O,解得m=80,答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶11价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元.【点睹】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用,解题的关爆是找准已知与未知量的等关系.18.(2022全国九年级期末)某水果商场经销一种高档水果，原价每千克128元,连埃两次降价后每千克98元,若每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率；(2)若该水果每千克盈利20元.每天可售出500千克.经市场调查发现.在进货价不变的情况下.商场决定采取适当的涨价措施，若每千克法价1元，日销保将减少20千克.现该商场要保证楂售该水果每天盈利9000元.且要减少库存.那么每千克应涨价多少元？【答案】(1)12.5
