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1、用公式法求解一元二次方程一、选择题(共17小题)1 .判断一元二次方程式2-8x-a=0中的a为以下哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？()A.12B.16C.20D.242 .假设关于X的一元二次方程24x+5a=0有实数根，那么a的取值范围是()A.a21B.a1C.alD.a13 .假设关于X的方程2+2x+a=0不存在实数根，那么a的取值范围是()A.a1C.alD.a214 .关于X的方程22x+3k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A.k-C.kV工且kWOD.k一!且k033335 .假设关于X的一元二次方程22x+kb+l=0有两个不相等的实数根，那么一次函
2、数y=kx+b的大致图象可能是()6 .关于X的一元二次方程(m2)2+2x+l=0有实数根，那么m的取值范围是()A.m3B.m-IB.k2-lC.k0D.kB.m3D.mW3且mW22 29.关于X的一元二次方程(m-2)X2+(2m+l)x+m2=0有两个不相等的正实数根，那么m的取值范围是()3 ?3A.mB.m且m2C.-m2D.mC.kD.k-444411.关于X的一元二次方程2+x+m=0有实数根，那么m的取值范围是()A.m-B.m-i-C.m-D.m-444412 .以下方程有两个相等的实数根的是()A.x2+x+l=OB.4x2+2x+1=0C.x2+12x+36=0D.x
3、2+x-2=013 .以下一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是()A.(x-1)2=0B.x2+2x-19=0C.x2+4=0D.x2+x+l=O14 .一元二次方程22-5x+3=0,那么该方程根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.两个根都是自然数D.无实数根15 .假设一元二次方程2+2x+a=0的有实数解，那么a的取值范围是()A.a0,且关于X的方程3k2+12x+k+l=0有两个相等的实数根，那么k的值等于.20 .关于X的一元二次方程x2klx-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是.21 .关于X的一元二次方程1)22x+l=0有两个不相等
4、的实数根，那么实数k的取值范围是.22 .关于X的一元二次方程22-4x+m1=0有两个相等的实数根，那么m的值为.23 .假设关于X的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，那么a的取值范围是.24 .关于X的一元二次方程2x+m=O没有实数根，那么m的取值范围是.25 .关于X的一元二次方程2+2x+m=0有实数根，那么m的取值范围是.26 .关于X的一元二次方程a2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a,b的值：a=,b=.27 .关于X的方程2-2x+a=0有两个实数根，那么实数a的取值范围是.三、解答题(共3小题)28 .关于X的方程2+(2m1)x+4=0有两个相
5、等的实数根，求m的值.29 .关于X的一元二次方程(-l)(x-4)=p2,P为实数.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)P为何值时，方程有整数解.(直接写出三个，不需说明理由)30.关于X的一元二次方程2(2m+3)x+m2+2=0.(1)假设方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)假设方程两实数根分别为xi、x2,且满足x,+x22=31+xx2,求实数m的值.用公式法求解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题(共17小题)1 .判断一元二次方程式2-8x-a=0中的a为以下哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？()A.12B.16C.20D.24【考点】根的判别式.【分析】
6、根据题意得到4=64+4a,然后把四个选项中a的值一一代入得到区是正整数即可得出答案.【解答】解：一元二次方程式28xa=0的两个根均为整数，.=64+4a,的值假设可以被开平方即可，A、=64+4X12=102,=V102此选项不对；B、=64+4X16=128,=82,此选项不对；C、=64+420=144,144=12,此选项正确；D、=64+424=160,A=410此选项不对，应选：C.【点评】此题考查了利用一元二次方程根的判别式(4=b2-4ac)判断方程的根的情况.在一元二次方程a2+bx+c=0(a0)中，当()时，方程有两个不相等的两个实数根.2 .假设关于X的一元二次方程2
7、4x+5a=0有实数根，那么a的取值范围是()A.alB.alC.alD.a()=方程有两个不相等的实数根；(2) =()=方程有两个相等的实数根；(3) ()=方程没有实数根.3.假设关于X的方程2+2x+a=0不存在实数根，那么a的取值范围是()A.a1C.alD.a21【考点】根的判别式.【分析】根据根的判别式得出b24acV0,代入求出不等式的解集即可得到答案.【解答】解：关于X的方程2+2x+a=0不存在实数根，b2-4ac=22-4lal.应选B.【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) ()=方程有两个不相等的实数根
8、；(2) =()=方程有两个相等的实数根；(3) ()=方程没有实数根.4.关于X的方程22x+3k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A.k-C.kV工且kWOD.k一工且kWO3333【考点】根的判别式.【专题】计算题.【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.【解答】解：方程2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,=4-12k0,解得：k-.应选A.【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解此题的关键.5.假设关于X的一元二次方程22x+kb+l=O有两个不相等的实数根，那么一次函数y=kx+b的大致图象可能是()【分析】根
9、据一元二次方程X2-2x+kbl=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0,求出kb的符号，对各个图象进行判断即可.【解答】解：f22x+kb+l=0有两个不相等的实数根，/.=4-4(kb+l)0,解得kb0,b0,即kbO,故A不正确；B. k0,b0,即kbV0,故B正确；C. k0,bO,故C不正确；D. k0,b=0,即kb=O,故D不正确;应选：B.【点评】此题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)()=方程有两个不相等的实数根；(2)=()=方程有两个相等的实数根；(3)O0方程没有实数根.6.关于X的一元二次方程(m2)2+2
10、x+l=0有实数根，那么m的取值范围是()A.mW3B.m3C.m(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当-1B.k2-lC.k0D.k0k0解得kVl且kW0.应选D.【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.8 .方程(m-2)2-rx+=O有两个实数根,那么In的取值范围()A.mB.mW?且m2C.m23D.mW3且mz222【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.【专题】计算题.【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到m-200,然后解不等式组即可.=(-3-id)2
11、4(m-2)-0m-20【解答】解：根据题意得()时，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个相等的两个实数根；当aVO时，方程无实数根.9.关于X的一元二次方程(m-2)X2+(2m+l)x+m2=0有两个不相等的正实数根，那么m的取值范围是()3 313A.m-B.m且m2C.-m2D.m0,解得mg且mW2,再利用根与系数的关系得到0,那么m2V0时，方程有正4m-2实数根，于是可得到m的取值范围为gVmV2.4【解答】解：根据题意得m2W0且=(2m+l)2-4(m-2)(m-2)0,解.得mW且m2,4设方程的两根为a、b,那么a+b=-型片0,ab=州W=I0,n-2m
12、-2而2m+l0,m-20,即m0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个相等的两个实数根；当AVO时，方程无实数根.也考查了根与系数的关系.10.假设关于X的一元二次方程2+(2k1)x+k2l=0有实数根，那么k的取值范围是(A.k-B.kC.k0时，方程有两个不相等的两个实数根；当二()时，方程有两个相等的两个实数根；当aVO时，方程无实数根.11.关于X的一元二次方程2+x+m=0有实数根，那么m的取值范围是()A.m2-1.b.m-i-C.m-D.m-4444【考点】根的判别式.【分析】方程有实数根，那么()，建立关于m的不等式，求出m的取值范围.【解答】解：由题意知
13、，4=l-4m20,.*m-4应选D.【点评】此题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) ()=方程有两个不相等的实数根；(2) =()=方程有两个相等的实数根；(3) ()=方程没有实数根.12.以下方程有两个相等的实数根的是()A.x2+x+l=OB.4x2+2x+1=0C.x2+12x+36=0D.x2+x-2=0【考点】根的判别式.【分析】由方程有两个相等的实数根，得到=(),于是根据=()判定即可.【解答】解：A、方程2+l=0,V=l-40,方程无实数根；B、方程42+2x+l=0,V=4-160,方程有两个不相等的实数根：应选C.【点评】此题考查了
14、一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) ()=方程有两个不相等的实数根；(2) =()=方程有两个相等的实数根；(3) 0,方程有两个不相等的实数根；C、=-160,方程没有实数根；D、=l-4=-3(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,方程有两个不相等的实数根.应选：A.【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)00方程有两个不相等的实数根；(2)=()=方程有两个相等的实数根；(3)()=方程没有实数根，是解决问题的关键.15 .假设一元二次方程2+2x+a=0的有实数解，那么a的取值范围是()A.al
15、【考点】根的判别式.【分析】假设一元二次方程2+2x+a=0的有实数解，那么根的判别式()，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值.【解答】解：因为关于X的一元二次方程有实根，所以a=b?-4ac=4-4a0,解之得aW1.应选C.【点评】此题考查了一元二次方程a2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)根的判别式.当(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.【解答】解：根据题意二(-2)2-4(-1)=80,所以方程有两个不相等的实数根.应选:B.【点评】此题考查了一元二次方程a2+bx+c=0(a0)的根的
16、判别式加？4ac：当(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当0,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当?且-4-a0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a力()且=b24ac=324XaX(-l)=94a0,解不等式组即可求出a的取值范围.【解答】解：关于X的一元二次方程a2+3x1=0有两个不相等的实数根，a0且4=2-4ac=32-4a(-1)=9+4a0,解得：a一旦且a会0.4故答案为：alaO.【点评】此题考查了根的判别式.一元二次方程a2+bx+c=0(aW0)的根与4=b24a
17、c有如下关系：(1)()=方程有两个不相等的实数根；(2)ZX=Oo方程有两个相等的实数根；(3)0,且关于X的方程3k2+12x+k+l=0有两个相等的实数根，那么k的值等于3.【考点】根的判别式.【分析】假设一元二次方程有两个相等的实数根，那么根的判别式=b24ac=(),据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值.【解答】解：关于X的方程3k2+12x+k+l=0有两个相等的实数根，=b2-4ac=144-43k(k+l)=O,解得k=-4或3,VkO,k=3.故答案为3.【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程a2+bx+c=0(a0)的根与a=b?-4ac有如下关系：(1) ()
18、=方程有两个不相等的实数根；(2) =()=方程有两个相等的实数根；(3) 0,然后解不等式组即可得到k的取值范围.【解答】解：关于X的一元二次方程2+Ex-I=O有两个不相等的实数根，.kT0k-l+4解得k21,k的取值范围是k21.故答案为：kel.【点评】此题考查了一元二次方程a2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的根的判别式4=24ac.当0时，方程有两个不相等的实数根；当二()时，方程有两个相等的实数根；当AVO时，方程没有实数根.也考查了二次根式有意义的条件.21.关于X的一元二次方程(k-1)22x+l=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是V2RkWl.【考点】
19、根的判别式；一元二次方程的定义.【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到kl0且=(-2)2-4(k-l)0,然后求出两个不等式的公共局部即可.【解答】解：关于X的一元二次方程1)22x+l=0有两个不相等的实数根，1工0且/=(-2)2-4(k-1)0,解得：kV2且k#l.故答案为：kV2且k#1.【点评】此题考查了一元二次方程a2+bx+c=0(a0)的根的判别式加？4ac：当(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当(),方程没有实数根.22.关于X的一元二次方程2x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根，那么m的值为3.【考点】根的判别式.【分析】根
20、据题意可知=(),BP42-42(m-1)=0,解得m=3,【解答】解：方程有两个相等的实数根，/.=0,BP42-42(m-1)=0,解得m=3,故答案为：3.【点评】此题考查了根的判别式，解题的关键是注意=()=方程有两个相等的实数根.23 .假设关于X的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，那么a的取值范围是aV1.【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a0且4=224XaX(-1)0,然后求出a的取值范围.【解答】解：关于X的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，JaWO且Z=224XaX(-1)0,解得a-1,a的取值范围是aV-
21、1.故答案为：a(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当、.【考点】根的判别式.【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围.【解答】解：根据方程没有实数根，得到4=b24ac=l4mV0,解得：m-i-.4故答案为：m二.【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0,方程没有实数根.25 .关于X的一元二次方程2+2x+m=0有实数根，那么m的取值范围是mWl.【考点】根的判别式.【专题】探究型.【分析】先根据一元二次方程
22、2+2x+m=0得出a、b、C的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.【解答】解：由一元二次方程2+2+m=0可知a=l,b=2,c=m,Y方程有实数根，=22-4m0,解得mWl.故答案为：ml.【点评】此题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键.26 .关于X的一元二次方程a2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a,b的值：a=44,b=2.【考点】根的判别式.【专题】开放型.【分析】由于关于X的一元二次方程a2+bx+g=O有两个相等的实数根，得到a=b2,找一组满足条件的数据即可.【解答】关于X的一元二次
23、方程ax2+bxl=O有两个相等的实数根，4=b2-4-il=b2a=0,.,.a=b2,当b=2时，a=4,故b=2,a=4时满足条件.故答案为：4,2.【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键.27 .关于X的方程22x+a=0有两个实数根，那么实数a的取值范围是【考点】根的判别式.【专题】计算题.【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0,即可确定出a的范围.【解答】解：方程22x+a=0有两个实数根，.=4-4a0,解得：al,故答案为：al【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解此题的关键.三、解答
24、题(共3小题)28 .关于X的方程2+(2m1)x+4=0有两个相等的实数根，求m的值.【考点】根的判别式.【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出=()即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可.【解答】解：2+(2m1)x+4=0有两个相等的实数根,/.=(2m-1)2(2)原方程可化为2-5x+42=0,Y方程有整数解，.5,9+4p2为整数即可,p可取0,2,-2时，方程有整数解.【点评】此题考查了一元二次方程的根的情况，判别式的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键.30.关于X的一元二次方程X?(2m+3)x+m2+2=0.(1)假设方程有实数根，求
25、实数m的取值范围；(2)假设方程两实数根分别为xi、x2,且满足xF+22=31+xX2,求实数m的值.【考点】根的判别式；根与系数的关系.【分析】(1)根据根的判别式的意义得到)(),即(2m+3)2-4(m2+2)20,解不等式即可；-44=0,解得m=-刍或m=-.22【点评】此题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键.29.关于X的一元二次方程(x-1)(x-4)=2,P为实数.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)P为何值时，方程有整数解.(直接写出三个，不需说明理由)【考点】根的判别式.【分析】(1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要
26、证明()即可；(2)要使方程有整数解，那么四件E为整数即可，于是P可取0,4,10时，方程有整数解.【解答】解：原方程可化为X2-5x+4-p2=0,V=(-5)2-4(4-p2)=4p2+90,不管P为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；56+4p2(2)根据根与系数的关系得到x+X2=2m+3,xjX2=m2+2,再变形条件得到(X1+X2)2-4xX2=31+X1X2代入即可得到结果.【解答】解：(1)关于X的一元二次方程2-(2m+3)x+m2+2=0有实数根，0,即(2m+3)2-4(m2+2)20,.1.；12(2)根据题意得x+X2=2m+3,xjX2=m2+2,Vx12+x22=3i+xx21.,.(X1+X2)2-2X1X2=31+X1X2I,即(2m+3)2-2(m2+2)=31+m2+2,解得m=2,m=-14(舍去)，.*.m=2.【点评】此题考查了一元二次方程a2+bx+c=0(a0)的根的判别式加？4ac：当(),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当(),方程没有实数根.也考查了一元二次方程根与系数的关系.
