2024年指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解.docx

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1、1.本章的结构图如卜.:一、指数的性质(一)整数指数帘1 .整数指数种概念:an=aa-a(e/V),=1.(O)nM=-(O.hGN)2 .将数指数室的运算性质:(I)aman=an(rn,HGZ)(2)(,vf=n(w.feZ)(3)(Z)=Z(GZ)3.。的次方根的概念一般地,假如一种数的次方等于“(1.nGAr),那么这个数叫做”的次方根.即;若x=,则X叫做”的次方根,(1.,wN)例如:27的3次方根场=3,-27的3次方根/王=一3,32的5次方根疱=2.-32的5次方根=-2.阐明:若是奇数,则a的次方根记作乐;若aO则标O,若ao则,0则。的正的“次方根记作匹,。的负的“次方

2、根,记作;一行:(例如:8的平方根土、用=2&16的4次方根折不=2)若是佃数,旦。I.Mevj0=0:式子江叫根式,叫根指数,。叫被开方数.(U7)”=.当是做故时,原式=Ia-R+1+I=S-)+(-a-b)-2a因此,+V(4+6)”=一2=6+25=J(5+1.2(二)分数指数帘20J2I.分数指数系:=5(0)=43(“0)即当根式的被开方数能破根指数整除时,根式可以写成分数指数%的形式:黄如阳的运算性质(2(ai)=0则加=QJ=即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数补的形式C规定:(1正数的正分数指数林的意义是fJ=(O,,wN,”1.);(2)正数的或分数

3、指数舞的意义是er?=4-=-=(0.w,11cAr.111.).Wr2.分数指数厘的运算性质:整数指数履的运算性质对于分数指数后也同样合川C=%0,r,swQ)(2)(f1.rJ,=0”(0.r,scQ)(3)(ab)r=a,br(aO.bO.rGQ)阐明:有掰/指数需的运算性质对无理数指数于同样合用I2O的正分数指数厘等于0.0的负分数指数R没意义.3.例题分析:例I.用分数指数林的形式表达下列各式(。):解:ai=a2-az=2=2:I2j/1p-3V:解(1)20/?7-60V一3下庐2IIII5=2(-6)(-3)titz=4abi1.=4a:1,Y/2,丫min*=mi|Im=阳例

4、3.计Jn、冽各式:(5-1.25)+/5(2)(2)疝/M=去例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数.(2)I2I5IW:(5-1.25)5=5-5757=575-53IIIIII1.I57$-5;=行-诉G=f7=(三)综合应用例1,化简:5(2)法一)A-7+A-7=()3+(A-),=(x+)f(X)2-+(X)2J-,+5,+5,i,.解:5,-,+5+5*1=51(1.+5+25)=31.5,-=-5*.5IIII例2.化简:(/-/)+(./-户).III!I1.1.1.IIII解:(”一户)(户-户)=(+)(-)(x-)=x*+y*.I1评述:此遨也现了分子、分母指数间的联

5、络.叫户尸=一,由此联想到平方差公式的特点,进而使何题得到处理.II3_2例3.己知+=3,求下列各式的值:(I)x7+x7:x+a.IJb1IJbI解:.(x3+)2=(i)a+2j7+(x)1=.v+i+2=3+2=5.X2+X2=y5.I又由.+x=3得0+70,II因此一+Js=4.=(x7+Ar)(x+-,)-1.j=5(3-1.)=25.(法二)()+(x-7)J2=(x3)2+(t)2+2ax=+x,+2而F+x3=(X+X-1)(x2+X2-D=(x+x,)(x+x,)2-3=3x(32-3)=185_2(x+)2=20,J又由X+=3O得KO,工X2+20.3_2因此J+/7

6、=同=24.二、指教函教1 .指数函数定义:-般地,函数y=a(00t1.HI)叫做指数函数,其中X是自变量,函数定义域是A.例1.求下列函数的定义域、例域:(1) y=8(2y=1.-,(3)y=3+,(4)y=(aO,1.).解:.2-IO.,.xI原函数的定义域是HxgK.xh:.令=则/O,rw?.,.y=8,(eR.tO)得yO,y1.因此,原函数的值域是,),O.y1.(2) .1.-(),0.0原函数的定义城是0.”).令I=I-(1.)Yx0)WDO,2.y=JZ在0.1)是地函数0y1.,因此,原函数的值域是0.1).(3)原函数的定义域是我,令,=-A1.MJO.Vy=3在

7、(田,0是增函数,二0=(),W1.)得=一四,a+1-1./*0;.,0.-Iyy-因此,原函数的值域是(-1.1).用明:求复合函数的例域通过换元可转换为求简朴函数的值域,例2.当I时,证明函数y=I超奇函数.证明:由a-1.O得,xhO,故函数定义域(HXH0有关原点对称.,、1.+1(+1*1+A.3=KT=E7EfX).(-A)=-因此,函数是奇函数,a-I2例3.设。是实数,/(x)=-言J(XeR),(1)试证明:对于任意”.(x)在R为增函数:(2)试确定。的值,使/(x)为奇函数分析:此题虽形式较为发杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应规定学生注意不一样也型的解

8、答措施.(1)证明:设x1.X2R.x1.2/(x1)-(a-2)=(a-)-)2_2=2j+I-2x+12(2,-2,(FTixr7Tij,由于指数函数)=2在K上是增函数.1.1.x1.x2,因此2“2即2-2,0,得2”“0,2”0,因此,司)-占)0Hz1)的次后等于M就是J=N,那么数b叫做。为底N的对数,记作IOg“N=b,叫他对数的底数,N叫做真数,即=N,TogaN=baNb指数式“6=N底数指数对数式IOgaN=/,对数的底数真数对数用明:1.在指数式中恭N0,.在时数式中,出数N0.(负数与零没有对数)2 .:对任意aOI1.a,均有=I,kg.1.=O,I可样:Iogi1

9、.=I.3 .假如把J=N中的写成Iogt1.A1.则将d=N(对数恒等式).2 .对数式与指数式的互换4=2Iog42=1IO-2=0.011.og1.o0.01=-2Iog10100=2例如:42=16Iog416=2IO2=100例I.将下列指数式写成对数式:54=25:2、专:3=27:(4riy=5.37.ft?:(1)Iog5625=4;(2)1g.-1.=-f1.:(3)1.og,27=s计算:Iog927,1.og625.解:设X=Iog27则0t=27.31.1.=3j.r=s=625,5=54,=5.(2)求X的佗:Iog5X=-解:x=342x2-1O但必须:2x2-11

10、.x=()台去,从而x=-2.3,r+2x-1.O37(3)求底数:Iogc3=-.IogK2=d.5O353S解:5=3=(3)=37:178=2=27,=2.4.对数的运算性质:假如0.I,fO.N0,那么(1) IOg“(MN)=1.ogM+Iogi1.N:M2)1.og.,=1.og.,M-IogtfN:N(1.g3+21g2-1.)=工1.g1.232Ig3+21.g2-1.2g10O2N5.按底公式:1.og,N=-(a0.oh1;110.11I)证明:设1.og,N=九则=N.两边取认为桁底的对数得:1。以。=1。以八.=从而得:X=警,:.IogtIN=警.gw0*用明:两个较

11、为常用的推论:(I)1.ogZx1.oga=I:(2)Iogb,=Iogub(a-力0且均不为I).m证明:1.og,kgha=I;gIgfrIOgJ=器=器+1.例4.计%5b%22)Iog43-Iogv2+1.og,32.解:原式=-i-r=-r=15;5心.513原式=kg,3bg,2+1.og,2=.例5.已知Iogn)9=,18=5,求IOgj645(用.b表达).8解:.1.ogtt9=,*og1.1.jy=I-Iog1.g2=.1.og2=1.-1.求证:=X2y证明;.3*=4=6:=r1.,=寻著Z=翳.IIIg6Ig3Ig2Ig4_I,T7-ig7ig7-2727,例7.若

12、kgt1.3=/,1.og$5=q,4c1.g5.解:;k&3=p,1.og,3=3p=1.g3=3p1.g2=3p(1.-1.g5).又心85=黑=%Ig3,Ig5=q1.g3=3/M(I-Ig5),二(1.+3)1.g5=3pq3=41 +3pq四、对教函数1 .对数函数的定义:函数_y=k)g“K(O且W1.)叫做对数函数,2 .对数函数的性质:(1)定义域、值域:对数函数y=bgx(0且w1.)的定义域为(0,+8),值域为(-oo,x),(2)图象:由于对致函数及指数函数的反闲数,因此时数函数的图象只须出对应的指数函数图望作有关J=X的对称图形.即可获得.同样:也分与0。1两种状况归

13、纳,以.y=k)g2r图I)与y=ogX(图2)为例.(I)=ogX2;y=1.og,(4-X);(3)=1.og1.(9-.t).分析:此理更要运用对数函数y=1.ogaX的定义域(0.x)求解.解:1由Q得.r0,:.fty=Iog41/的定义域是M1.1.4-,r0Wx4.二函数y=1.og“(4-X)的定义域是4s19-,V0ff1-33,.函数y=1.og*-x?)的定义域是(-3x3.例2,比较下列各组数中两个值的大小:1.og,3.4,1.og,8.5;(2)1.ogo,1.8.1.og1.),2.7;(3IOg“5.1,1.og,5.9.解:(1)对数函数y=kgt在0,+oC

14、)上是增函数.于是Iog23.4kgu2.7;(3)当”1时,对数函数y=1.og,x在(0,+)上是增函数,于是IOg1.,5.1V1.Og1.I5.9,当。V“1.og.5.9.例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小:(1)Iog67,Iog76i(2)1.og,11.1.og,0.8:(3) 1.1.ft9.Iog1.,0.9,Iog070.8:(4) Iog53,Iog63.Iog3.解:(I).Iog671.ogr6=I,1.og.6og16:.Iog1.111.og11=O.1.og,0.81.og,0.8.1.1.091.1.0=1.,Iog1.,0.91.og1.1.1=0,O=1.og71Iog1170.8Iog070.81.og,0.9.VO1.og,51.og,6Iog63Iog73.例4.已知IogK41.og4.比技j”的大小解:;1.og“41,1时,得O-.Iog4mIog4IiIog4nn.当Om1.01.时,得一-0,1.og*tnIog4n1.ogn1.ogm,:.Ont11.4.4的次方根的性侦一般地,若是奇数,则历=:若是偶数,期后7=IH=Ia.-aaV(-8)彷解:略.例2.已知1egN,化简:,a-bY+Q(a+b).解:当“是奇数时,原式=(-A)+(+力=2

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