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1、2014高教社杯全国高校生数学建模竞赛承诺书我们细致阅读了全国高校生数学建模竞赛章程和全国高校生数学建模竞赛规则（一下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国高校生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛起先后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上询问等）与队外的任何人（包括指导老师）探讨、探讨与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和竞赛规则的，假如引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必需依据规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们慎重承诺，严格遵守竞赛章程和竞赛规则，以保证竞赛的公正、公允性.如有违反竞赛章程和竞赛规则的行
2、为，我们将受到肃穆处理。我们授权全国高校生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或.正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（假如赛区设置报名号的话）：所屈学校（请填写完整的全名）：重庆师范高校参赛队员（打印并签名）：1.毛申申2. 马甜甜3. 安兴雪指导老师或指导老师组负责人（打印并签名）：张新功（论文纸质版与电了版中的以上信息必需一样，只是电子版中无需签名.以上内容请细致核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格）。日期：2014年7月24日赛区评
3、阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国高校生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅己录（可供赛区评阅时运用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）:全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：C题单独二胎政策的影响评估摘要中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一.对单独：胎政策的实行的影响进行评估具有重要意义.本文利用MAT1.AB2012a软件对评估因素总人口数、人口总和生育率、人口老龄化和老人抚养比等进行预料.对于问题1,依据我国建国之后的人口数量，利用灰色模型的求解方法，预料出实行单独:胎政策
4、和不实行单独:胎人口总量的改变.结果表明，实行单独二胎政策后，我国的总人口不会有较大的增幅.对于问题2,现在中国的总和生育率（平均一对夫妇生育,不利于人口的均衡发展，依据我国人口总和生育率的定义，建立了总和生育率模型，预料出实行单独.胎政策后的总和生育率改变，依据求解的结果可以看出，实施单独二胎政策将使我国总和生育率有一个相对显著地回升，但在累积效应释放后，会渐趋于平衡.对于问题3,建立一个动态差分模型和灰色预料模型，预料将来我国65岁以上人口改变趋势，进而依据是否实行单独：胎政策来进行老龄化程度的比较，结果表明，实行单独二胎政策有利于减弱老龄化程度和降低老人抚养比.关键词单独二胎政策：总人口
5、；总和生育率；动态差分模型；灰色预料模型：老龄化程度1问题重述近三十年来，我国的人口政策，特殊是安排生育政策在限制人口数量方面取得了突出的成果，但是随之也带来了一系列问题.如总和生育率降低、男女性别比例增大、社会抚养比增加，给我国社会发展带来了巨大的负担.十八大提出了开放了单独二胎的政策，以此来缓解一系列人口问题.本文结合实际状况的分析，建立单独二胎政策实施之后的预料模型，对全国总人口数量、人口总和生育率、人口老龄化等一系列评价指标进行了预料，基于以上评估因素对单独二胎政策的影响进行评估.本文主要建立数学模型，探讨分析实行单独二胎政策后，我国总人口数、总和生育率、人口老龄化的改变的问题.(1)
6、实行单独二胎政策后，对全国总人口的改变的影响.依据建国初期到现在我国的人口数量改变，利用灰色模型的求解方法，预料出实行单独二胎政策和不实行单独二胎人口总量的改变.(2)实行单独二胎政策后对我国的总和生育率的影响，总和生育率假如长期低于1.8,或长期在1.51.6水平上徘徊，不利于人口的均衡发展.而目前我国的总和生育率为1.5左右，因此，开放单独两孩政策后，预料出将来几年的总和生育率发展状况.(3)实行单独二胎政策后对我国老龄化问题的影响.老龄化问题对社会的发展具有重要影响，老龄化程度的增加和老人抚养比的上升,将会影响我国经济的发展，但依据目前的人口发展速度，我国的老龄化程度和社会抚养比将持续走
7、高，因此，将对实行单独二胎政策后的老龄化和老人抚养比的改变进行预料最终依据以上评估因素的求解结果，来对单独二胎政策的影响进行总的评估.2模型假设(D收集到的数据真实有效.(2)在模型预料时间内，人口不会因自然灾难、突发事故或斗争等而受到大的波动.(3)少量的人口迁入和迁出可忽视.(4)人口增长只与人口基数、生育、死亡和老龄化有关.(5)某段时间内，死亡率不会发生大的波动，不同年龄段的人口分布也不随时间发生改变.(6)假设申请胜利的夫妇就可以胜利生育二胎.(7)时间t以年为单位，年龄按周岁计算.3符号说明与名词说明符号符号说明mt年的新生人数n1年相应育龄妇女人数a发展系数B参数矩阵X总人口岁时
8、间改变的拟合函数匕数据向量心原始时间序列%t+1)男性人口的最小二乘法拟合函数r(t+I)女性人口的最小二乘法拟合函数%人口增长函数A0初始年人口容量.人口最大容量人口总量函数名词名词说明总和生育率指该国家或地区的妇女在育龄期间，每个妇女平均的生育子女数人口老龄化指总人口中因年轻人口数量削减、年长人口数量增加而导致的老年人1-1比例相应增长的动态过程老年抚养比指人口中非劳动年龄人口数中老年部分对劳动年龄人口数之比人口红利一个国家的劳动年龄人口占总人口的比重较大，抚养率较低，为经济发展创建了有利条件4模型建立4.1总人口预料模型对全国总人口问题的探讨是一个特别困难的问题，须要考虑到诸多因素，如诞
9、生率、死亡率，流淌人口等，这里将采纳灰色模型的预料方法来对是否实行单独二胎政策对全国人口总量的影响.在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM.它是依据关联度，生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程.通常GM表示为GM(n,h).当n=h=1.时，即构成了单变量一阶灰色预料模型.模型设原始序列为：X0=1.),(2),.,Z(n).这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将进行生成处理，供应更多的有用信息.其形式为：绡+a/1=”.Qt设原始时间序列为：r=(x%1.)”，x0(n).预料第n+1.期，第n+2期，第期的值:A1.(n+1),.v0
10、(n+2),.设相应的预料模型模拟序列为：产=(x0(1.).A2),.,r(n).设的一次累加序列为:%(i)=EXK=1,2,3,.,n11J,(D=(i)+n(i-1)利用计算GM(1,1)模型参数为a和口，令4=%.则有：3=(BrB尸)BX-1(x+x叫2)1式中B=-1.(,(2)+1.,(3)-i(x,n(n-1)+x,11(n)1Y=1.，/,，xn(Q.由此可得GM(1,1)模型:i0,(i+1)=(x(1.)-%-“+巴4.2总和生育率预料模型设t年新生人数为m,相应育龄妇女人数为n,所以得:第i年龄别生育率为=也.则总和生育率为2=次Z，i=15,16,49.实施.胎政策
11、之后第t年新生人数为P第祚相应育龄妇女人数为q第i年龄别生育率为=2q,则此时的总和生育率为尸=E,i=15,16,49.4.3人口老龄化预料模型我们将全国人口依据由小到大分为n段(n足够大)，记为父，XJ，|J1.X2.Y,xj设第t年第i个阶段的妇女生育率为力，r(t)为性别比例函数，则生育率为a(t)=-4-,第t年第i段人口记为，第t年年龄为X的人口数与夕的比值为a(t),第t年底i段人口自然死亡率为yJ(t)，通过分析我们简单看出，第i段人口在相邻两年之间的人口改变来自：当i=1.时有两个途径：(I)Xj岁的人口转至J,+1.,j阶段以与自身的死亡；(2)其他年龄段中妇女生育的小孩.
12、当i1.时有两个途径:(1)岁的人口转至叱尤+1,入阶段以与自身的死亡；(2)上一年人口转化而来.即有，夕卜+1)=(儿(。)加。/。2(切为+。/-2P(pt+0JRt)*Mt),即=P1-递推得：P“=m.由此，只要知道1=1时的人口数据，就能依次得到之后美奶奶各个年龄段的人口数据，进而可预料将来老年人口的数量.育龄妇女妇女的年龄一般是从15-49岁,老龄人口的年龄一般是65-90岁，将模型简化.令n=4,将全国人口分为0-14,15-49,50-64,65-90四个年龄段，即有，P=尸。)，尸2(/户。)/白)了.A=1-匕&为(t+D。At)九(t+1.)1h丸(t+D0。七九(1+D
13、(1-九/(“1)。、。九九(t+1.)(1_丸(0%9+1),5模型求解5.1 总人口预料模型求解单独二胎政策实施后，国家人口总数较不实施单独二胎会有增长,据有关数据数据显示，单独二胎政策实施后，每年将多增加100万人，但这也仅是在短期内，随着时间的推移，生育会渐渐走向正常，因此，可以用灰色模型来探讨短期内单独二胎对中国总人口的影响.依据表1中的数据，可以看出从1990年到2013年中国人口的数量表1：1990-2013年全国总人口年份/年数量（万人）年份/年年份（万人）1991284531991192271992117171200412998819931185172005130756199
14、41198519951211212007132129199612238920081328021997123626200913345019981247612011134735199912578620121354042131360722001127627利用灰色模型可以对2014-2030年的人口数量的预料，可在MatIab上实现，详细程序见附录一，所得到的结果如图1：图1：2014-2030年的人口数量的预料经过MatIab对灰色模型的求解，假如不实行单独二胎政策，到2030年我国人口总数将达到15.4亿，假设依据有关报道的数据，实行单独二胎政策后，每年的人口将多增加100万，则实施单独二胎政策
15、后的人口数量和不实施单独二胎政策的人口数量的比较如图2：(Yy)制鑫图2：实行单独二胎与否的人口数量改变实施单独二胎政策后，到2030年，我国的人口数量将达到15.7亿，有图3和相关数据可知，实施单独：胎政策后人口不会出现较大的增幅.5.2 总和生育率预料模型求解依据有关资料（附录五），可以查出2003-2012年总和生育率的详细数值，如表2.表2：2003-2012年总和生育率年份/年总和生育年份/年总和生育率率20031.398120081.468320041.443520091.3641520051.332620101.181120061.378620111.039820071.4296
16、20121.25665依据表1中的数据nj以看出，我国的总和生育率在近10年来，始终处于1.5以下，而依据有关数据显示，总和生育率假如长期低于1.8,则不利于人口的均衡发展.在育龄妇女人数肯定的前提卜.，实施单独：胎政策，即符合条件的育龄妇女可以增加生产的孩丁个数，因此，可以增加总和生育率.实施单独二胎政策后，总和生育率的改变曲线如图3.1.8总和生育率200025201020152020202520302035年份图3:总和生育率改变曲线由图1nJ以看出，实施单独二胎政策后，我国总和生育率有相对显著的回升，今后几年回升较快，最高点在1.8左右，但累积效应释放后，总和生育率会卜.降，最终会在某
17、一范围内波动.5.3 人口老龄化预料模型求解由于建国之初，我国在政策引导下，人口数量剧增，知道1980年才起先实行安排生育政策，但是已造成了我国人口众多的事实，而从1949年诞生的人们，到目前2014年刚好为65岁，也就是说，我国的进入老龄化人口的数目将犹如建国后的人数增长的速度和数目，意味着我国将进入老龄化社会，依据1949年起先全国总人口的相关数据（附录三）和MAT1.AB软件程序（附录二），画出表示我国从1949-2013年人口数量的改变如图4.640195019601970ICeO1990200020102020年份32109871111Yq公Y图4：我国从1949-2013年人口数量
18、的改变.依据有关资料（附录四）统计出的从1994年到2013年的老龄化程度，即65岁以上的老年人数与人口总数的比值，可以依据灰色模型预料出到2050年的老龄化程度，如图5所示.24图5：1994-2050年的老龄化程度从图5可以看出，到2030年，我国65岁以上人口占总人口的13.487%,到2050年,我国65岁以上人口占总人口的23.3%.而实行单独二胎政策后，我国总人口会有相应的增加，人口老龄化程度会相应的减弱.实行单独.胎政策后，人口老龄化程度与不实行单独二胎政策相比较如图6所示.Jy0.072000200520102015202020252030年份5431110.0.Q图6:人口老
19、龄化程度与不实行单独二胎政策相比较由图6可以看出，实施单独二胎政策后，人口老龄化程度会减弱,到2030年，我国的人口老龄化程度将降为13.256%,可以看出，实行单独二胎政策可以在肯定程度上缓解人口老龄化程度.老人抚养比，即我国65岁以上老人的数量与劳动年龄（15-64）人口数量的比值ODR,ODR=U.mn为65岁以上老年人口数量，m为15-64岁人口数量由于人口老龄化和安排生育政策，m在减小，n在增大，导致ODR在增大,如图7所示的1994-2013年的ODR和老龄化程度.图7：19942013年的ODR和老龄化程度由图7可以看出在此时间范围内老人抚养比在增加，井将会随着老龄化程度的进一步
20、加快而接着增加，这就给我国社会经济等各方面发展带来了巨大的负担，人口红利也将消逝.实行单独:胎政策后，大约在2030年左右，现在实施单独二胎政策所生育的孩子将渐渐进入劳动年龄人口的数量中，在肯定程度上可以缓解老人抚养比，有利于经济的发展.6模型评价本文主要采纳灰色模型的方法来预料将来的人口数量、老龄化程度，做出对“单独二胎政策的影响”的评估，得到了较好的结果.对于最优总和生育率模型与其求解，得出了单独二胎政策的实施会使总和生育率有显著性的回升，有利于人口的均衡发展.对于人口老龄化模型与其求解，得出了单独二胎政策不会使我国人口的总量产生较大的影响.对于模型三与其求解，得出了单独二胎政策的实施会使
21、人口老龄化程度减弱和使老人抚养比降低，以利于经济的发展.从各个因素来对单独二胎政策的影响做出了评估，可以看出，单独二胎政策是正确的、有必要的、迫切的.模型建立合理，结构较好.但是本文也存在一些不足之处，总主要的一方面就是，本文所运用的灰色模型只能做短期的预料，而长期的预料结果不精确，误差较大.7模型改进基于本文的探讨，可进一步对模型进行改进，对单独：胎影响的评估因素有许多，除上述的因素外，还有男女性别比，依据2010第六次全国人口普查数据显示，我国的男女比例为105.20：100,可构建模型，来预料实行单独二胎政策后对男女比例的影响.参考文献1中国统计年鉴国.北京:中国统计出版社.2013.2
22、卓金武.MAT1.AB在数学建模中的运用M.北京：北京航空航天高校出版社2011.2.3姜启源，谢金星，叶俊.数学建模M.北京:高等教化出版社，2000.4赵静，严尚安.数学建模月数学试验M.北京：高等教化出版社，2000.5刘思峰，党耀国，方志耕等.灰色系统理论与其应用.第5版.北京：科学出版社，2010.6姜启源，谢金星.数学建模案例选集M.北京：高等教化出版社，2006.7赖红松，祝国瑞，董品杰.基于灰色预料和神经网络的人口预料J,经济地理,02,2004.8高爽，陈卫.论内在总和生育率J,人口与经济,01,2013.9张青.总和生育率的预料与分析J,中国人IJ科学.04,2006.10
23、 .11 .12 .附录一：总人口预料程序c1.earsyinsab;c=ab*;=1.14333,115823,117171,118517,119850,121121,122389,123626,124761,125786,126627,127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091f134735,135404,136072;B=Cumsum（八）;为原始数据累加n=1.ength（八）;fori=1.:(n-1.)C(i)=(B(i)+B(i+1.)2:%生成累加矩阵end%计算待定参数的值D=A;
24、D(I)=口；D=D,：E=-Cjones(1,n-1.);c=inv(E*E,)*E*D;c=c,;a=c(1.);b=c(2);%预料后续数据F=;F=A；fori=2:(n+17)F(i)=(A(1.)-ba)exp(a*(i-1.)+ba;endG=;G=A；fori=2:(n+17)GG)=F-F(iT);%得到预料出来的数据endt1.=1990:2013：t2=1990:2030;forj=1.:24T(1.,j)=G(1.j)j=j+1.;endfori=25:41T(1.ti)=G(1.,i)+100*(i-14);i=i+1.;endp1.ot(t1.,Ao,t2,G,t2
25、,T)%原始数据与预料数据的比较x1.abe1.(,年份)y1.abe1.C数量(万人)IegendC实际值，不实行单独二胎，实行单独二胎)gridon附录二：总人口数量改变x=nmber(:,1);X=X;y=number(:,2);y=y,;p1.ot(x,y,*)X1.abe1.C年份)y1.abe1.(人数/万人)gridon附录三：1949-2013年全国人口数量改变年份/年人口/万人年份/年人口/万人19495416719811000721950165419503008195257482198410435719535879619851058511954650719556146519
26、871093001956628281988111026195764653198911270419586599419901143331959672319617171196165859199311851719626729619941198501963691721995121121196473891965725381997123626196674542199812476119677636819991267861968785342000126743196986271972845319718522920031292271972871772004129988197389211200513075619749
27、448197592421976937172008132802197794974200913345019789625920101340911979975422011134753198354042013136404附录四：1994-2013老龄化状况老年抚养比老年人口/总人口%劳动力/总人口与19949.56.35961618766.6399666219959.26.20011115967.1997424119969.56.40008497567.1996666419979.76.53988643267.50036419989.96.7000104267.59965053199910.26.899
28、8139767.6999030120009.96.95975320170.14983076200110.17.10037844770.39968032200210.47.29994628470.29964267200310.77.49998065470.40014858200410.77.58300766270.91731544200510.77.68989568472.040288782006117.92632828272.3236565200711.18.52987611200811.38.24987575572.80010843200911.68.51417900373.40552120
29、1011.98.87009568174.52998337201112.39.12012468974.42980666201212.79.38967829674.15068979201313.19.70001175873.89984714附录五：2003-2012育龄妇女年龄别生育率和总和生育率15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-49总和生育率2005.25122.6102.438.28.651.770.561.398137482005.56120.8107.642.210.11.930.411.443545142006.34114.491.740.210.92.0
30、50.771.332656282004.59101.599.74716.24.422.261.37866232003.8393.67103.752.320.46.75.191.429678412005.2694.6101.453.821.99.936.651.468384532006.1686.6196.5850.219.87.575.781.364199452015.9369.4784.0845.818.77.514.681.181104120116.1666.5177.2340.8512.563.41.251.039820126.7272.896.8250.8117.155.471.561.25665
