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1、第八章8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如y+py+qy=f()(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中P、g均为实数，/(K)为已知的连续函数.假如/“)三0,则方程式(1)变成y9+py,qy=0(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将探讨其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1 .解的叠加性定理1假如函数力与”是式的两个解，则y=Gv+G)也是式的解,其中GG是随意常数.证明因为X与乃是方程(2)的解,所以有N+M+qy=().Vi+RV；+；1,=0将y=C1V1+C2y2代入方程的
2、左边，得(C1.yf+C,)+p(C1.y；+C,y)+(C1y1+C2.y2)=C1.(y+py+0时，不是两个不相等的实根.-p+yp2-P-yP22，-2X=e匕R=e一是方程(2)的两个特解，并且&=常数，即,与力线性无关.依据定理2,得方)2程的通解为y=C/+Cb当-4q=0时，as是两个相等的实根.G=一个这时只能得到方程的一个特解/还需求出另一个解心，且比工常数,设区=。)，即Xyi=e%()%=enj,(M,+r1.u),)；=e,(ur+2im,+rt2u).将%代入方程,得+2ru+rJ+p(“+c)+g“=O整理,得e,u*+(2+p)u,+(r：+prt+q)u=O由
3、于e*H(),所以+(2r1.+p)u,+(r12+prt+t)u=O因为4是特征方程(3)的二重根，所以r1+pr1.+q=O,2rt+p=0从而有it=O因为我们只需一个不为常数的解,不妨取“=x,可得到方程(2)的另一个解y1=xer.那么，方程的通解为y=Cte+C1.xe,x即y=(C,+C,x)e,1当/-4g0时,特征方程(3)有一对共腕复根=,+f,A=a-i(万HO)于是H=尸,叫力=产日利用欧拉公式ei=COSA+/sinK把y,y2改写为y1=ea=em*=em(s+isinx)y2=e,+)=eCOS,I2=三(防一.2)=。6疝佻方程(2)的解具有卷加性,所以其，力还
4、是方程(2)的解，并且&=WF吟=ia11A工常数，所以方程的通解eCOg1为y=(C1.cosx+C2six)综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下：(1)写出方程(2)的特征方程r+pr+q=O(2)求特征方程的两个根八百(3)依据弓石的不怜悯形，按下表写出方程的通解.特征方程+pr+q=O的两个根小4方程y+py+g.v=0的通解两个不相等的实根rir2y=*两个相等的实根1=4y=(G+jM”一对共挽及根r1.2=atiy=ea,(C1.cosx+C2sinx)例1求方程./+2.+5.，=0的通解.解：所给方程的特征方程为r2+2r+5=0r1.=-+2i,r2=-1-2/
5、所求通解为y=e1.(C1.cos2.v+C2sin2.v).例2求方程票+2%S=O满意初始条件S1.=4,S1.=-2的特解解所给方程的特征方程为r1+2r+1.=0O=G=T通解为S=(G+G)将初始条件S1.=4代入,得G=4,于是S=(4+CRe对其求导得S,=(C,-4-Ck,将初始条件S1.1.-2代入上式,得Q=2所求特解为S=(4+2)e例3求方程了+2，-3，=0的通解.解所给方程的特征方程为+2r-3=()其根为r1.=-3.r2=I所以原方程的通解为)，=C1e-,+C,e,二、二阶常系数非齐次方程的解法1 .解的结构定理3设.V*是方程的一个特解，Y是式(1)所对应的
6、齐次方程式的通解，则)，=y+)，*是方程式的通解.证明把y=y+/代入方程的左端：(Y+)，*)+巩丫+)*)+4Y+.、)=(Yh+pY,+F)+(y：分别是方程y,py,+qy=1()与+(万+p+f)Q(x)=Pmx(5)以下分三种不同的情形，分别探讨函数Q(X)的确定方法：(1)若4不是方程式(2)的特征方程/+pr+q=O的根，即下+6+”0,要使式的两端恒等,可令QX)为另一个加次多项式。”：QE(X)=b0+btx+b2-+bnxm代入(5)式,并比较两端关于X同次耗的系数,就得到关于未知数包,而,的J+1个方程.联立解方程组可以确定出Aa=Oj.M.从而得到所求方程的特解为.
7、v*=Q3(2)若Zi是特征方程/+pr+q=O的单根，即尤+以+q=0,24+p*0,要使式成立,则Q(t)必需要是，次多项式函数，于是令Q(K)=XQB(X)用同样的方法来确定。KX)的系数“=(3)若2是特征方程/+pr+g=O的重根，即2+/M+B、0均为常数.此时,方程式(D成为+1.,y=-Acosftiv+/Jsin-(7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式的特解P也应属同一类型，可以证明式的特解形式为y*=a(cosm+fesinv)其中公为待定常数*为一个整数.当土ri不是特征方程，+*+q=0的根，取0；当上ei不是特征方程/+pr+q=O的根，4取1；例6
8、求方程r+2F-3),=4sinx的一个特解.解r=1&i=i不是特征方程为尸+2r-3=O的根，衣=0.因此原方程的特解形式为y=wcos.r+bsinx于是.y,=-sinx+力COSx,*=-aCOSx-$inx将y*.V叫y*代入原方程，得-4+2=0-Ia-Ab=A解得a=.b=原方程的特解为：y=-cosx-inx例7求方程y,-2y,-3y=e,+sin.v的通解.解先求对应的齐次方程的通解上对应的齐次方程的特征方程为r1-2r-3=0r1.=-,r,=3r=C1.ei+C2ej,再求非齐次方程的一个特解)，*.由于/(x)=5CoS2x+e，依据定理4,分别求出方程对应的右端项为fi(X)=?.f2(x)=sin.1的特解y；、y,则)，*=)，；+是原方程的一个特解.由于2=1,i=;均不是特征方程的根，故特解为y*=y1.-+y29=ae+(cosx+CSinx)代入原方程,得-4ft-(4h+2c)cos.v+(21)-4)sinx=eSinX比较系数,得-4z=14h+2c=02-4c=1解之得”=一=A.c=_.于是所给方程的一个特解为I,11y=一一e+CosxS1.nx41()5所以所求方程的通解为y=Y+y=GeT+C,e+-jcosa-
