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1、第八章统计和概率知识检理1 .简单随机抽样(I)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.(2)简单随机样本通过简能随机抽样扶得的样本称为简单随机样本.(3)简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多,他答法和题机数法是比较常用的两种方法.2 .总体平均数与样本平均数名称定义总体均值(总体平均致)一般地.总体中有N个个体，它们的变费值分别为X,Yi,Yn,RJT=H十八十十小r样本均值(样本平均效)如果从总体中拍取一个容量为的样本.它们的支量值分别为y.yj.y.则称y=x+”：十庶为样本均值,又称样本平均数说明：在简单Ri
2、机抽样中，我们常用样本平均数亍去估计总体平均数7总体平均数是一个展定的数.样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)一股情先下，样本量越大，佶计就准痢3 .分层随机抽样(I)分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,年个个体属于且仅属于一个子总体,在每个于总体中独立地进行简单的机抽样再把所有于总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层班机抽样,株一个子总体称为层.(2)分层随机抽样的平均数计算在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第I层和第2层包含的个体数分别为W和M抽取的样本量分别为，“和“，第1层和第2层的样本平均数分别为X.V.样本平均数为3,
3、WU=7+T7iVjT/VAT*/V7=-7-7+一日一J我们可以用样本平均数百估计总体平均数W.Wrzitnrn4 .统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布I1.力图、频率分布口.方图等.(2)颊率分布表、版率分布直方图的制作步骤及意义5 .总体百分位数的估计(I)第O百分位数的定义般地，一机数据的第P百分位数是这样一个色，它使得这组数据中至少有型的数据小于或等于这个值，且至少有“-p%的数据大于或等于这个值.(2)计一组”个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数提.第2步,计算i=Xp%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为/，则笫P百分位数为第
4、上攻数据：芥i是整数，则笫P百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.6 .样本的数字特征(I)众数：一组数据中出现次数港务的那个数据,叫做这组数据的众数.(2)巾位数：把”个数据按大小顺序排列，处于此E回位置的一个数据(或设中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：把中土靠;/即称为5.G.，为这”个数的平均数.(4)标准差与方差；设一级数据a.xX”，X”的平均数为则这组数据的标准差和方筌分别是S=J(-V-X)2+(Xi-X)2+(x-X)2,r=(.t1-7)2+(X2-7)2+-+(x(,-7)2J.7 .常用结论1)若即MXC的平均数为1.那么r+小加口+。%+
5、a的平均数为m+A2)数据箱,刈，即与数据/=M+cn/2=闷+“，/c=A+4的方差相等，即数据经过平移后方差不变.若X”&，的方差为小,那么x+Z,例+人,，“*+匕的方差为加工7.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间样本点：随一试验的叔个可能的基本结果称为样本点,常用e表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用表示.有限样本空间：如果一个Rfi机试验有个可能结果的.也.3，则称样本空间。=的.8,.为有限样本空间.(2)随机事件定义：将样本空间Q的工里称为随机事件,简称事件.表示：大写字母A,B.C,购机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.8.古典概型具有以下特征的试脸叫
6、做古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.(D有限性：样木空间的样本点只有下j限个.(2)等可能性：每个样本点发生的可旎性加笠.9.古典概型的概率公式一般地，设试脸E是古典概里,样本空间。包含“个样本点，事件八包含其中的A个样本点，则定义任件A的概率叫川=；=怒.其中，”行)和m。)分别表示出件4和样本空间a包含的样本点个数.10,概率的性质性质I：对任意的事件A,都有。这P（八）WI.性质2：必然事件的概率为I，不可能事件的概率为0,即KQ)=1.P(0)=O.性质3：如果事件A与事件E互斥,那么RAUB)=可心土面.性质4；如果那件A4那件8互为对立W件，那么州协=1一只A
7、),P(A=-P(B).性质5：如果4U3.那么HA)Sp(切，由该性质可得.对于任意事件A,因为0工AQd所以OWP(QW1.性质6；设八，8是一个班机试验中的两个步件，有PU8)=只A+P(8)一只AC8).考点一简单随机抽样【例1】下列抽样方法是简单陋机抽样的是()A.旗检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B.“隔空不隔疫，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发宫枳极的C.老师要求学生从实效集中逐个抽取10个分析奇偶性D某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试胞归纳点拨(D简单随机抄样需满足：被抽取的样本总体的个体数有限：逐个抽取：是不放回执取：是等可能抽取.
8、(2)简单随机抽样储有抄卷法(适用于总体中个体数较少的情况).随机数法(适用于个体数较多的情况.对点训练1 .用筒单随机抽样的方法从含有IO个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“笫二次被抽到”的可能性分别是()aa10,10C工ac5,10B&iB1.O5dAu10,IO考点二分层抽样【例2某电视台在因特网上就观众对其某节目的忠爱程度iS行调查，参加调杳的一共有200人,其中各种态度对应的人数如下表所示：最客爱喜爱不喜欢4872006400160()电视台为了了解观众的具体想法和意见，打奥从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样,那么
9、在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()A.25,25.25,25B.48,72,64,16C.20,40,30.10D.24.36.32.8归纳点拨U)次某层应抽个体皴量：按该层所占总体的比例计算.(2)已苑某层个体数量.求总体蚊量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.(3)在分层随机抽样中,如果第一层的样本*为，平均值为*:第二层的样本量为”,平均值为了.则样本的平均值为端：对点训修1 .某工厂生产甲、乙、丙、四种不同型号的产品，产质分别为200.400300.10()件.为检验产品的筋量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号
10、的产品中抽取件.2 .某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92分,如果30名男生的平均成绩为90分、那么20名女生的平均成绩为分.考点三或计图表【例31已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调吉，则样本房和抽取的户主对四居室满瓯的人数分别为（B.20020D.200,18A.24().18C.240.20归的点拨11）通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分敷费同总数之同的关系.（2）由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数黄.对点训练“月胸均里程（公仲123456789IOJ
11、川份I.某网站为了了解某“跑团”姆月胞步的平均里程，收集并蜒理了2022年I月至2022年I1.月期间该“跑团”每月地步的平均里程（单位：公里）的数据,绘制了下面的折城图.根据折纹图,下列结论正确的是（）A.月Ht步平均电程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高蜂期大致在8.9月份D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳考点四Wi率分布直方图【例4】为了解甲、乙两种离子在小米体内的残笛程度，IS行如下试蛤：将200只小队随机分成A,B两组,短组100只.其中A蛆小鼠给只甲离子溶液,8组小网给服乙黑子溶液.每只小取给服的溶液体积相
12、同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下频率分布直方图:频率倒!跑OjnoI。15253545555734分比甲岗f贱的百分比I1.力国记C为事件：“乙离子残解在体内的百分比不低于S.5-，根据直方图得到AO的估计值为0.70.(I)求乙离子残留百分比立方图中。，b的也:(2)分别估计甲、乙离子残待百分比的平均俏(同一批中的数据用该组区间的中点值为代表).归结点拨(1)谨记然率分布直方图的相关公式直方图中各小长方形的面枳之和为I.频率频率直方图中飒轴表示篇，故每组样本的旗率为近距X篇，即短形的面积.史方图中每沮样本的频数为叛宰X总
13、数.(2)莞率分布直方图占数字特征的计算最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.平均政等于演率分布直方图中每个小长方形的面枳乘以小长方形底边中点的横坐标之和.对点训修I.(多选)去年12月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通切，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下.可有序恢更开放营业.一批影院恢或开放后,统计影院连续14天的相关数据得到如下的统计图表.其中，编号为1的FI期是周,票房指影院n票销仰金额，Ih统计图表可以看出，连续14天内()A.周末H均的票用和观影人次低于非周末B.影院票房，第：周相对于第一周同
14、期玲干上升C.观影人次,在第一周的统计中逐H增长量大致相同D.每天的平均总场门票价格都高于20元2.时某市“四城同创”活动中800名志砥者的年龄抽样询交统计后得到频率分布直方图（如图，但是年龄组为125.30）的数据不慎丢失，（2佛此估计该市“四城同创”活动中忐展者年龄在25.35）的人数为.考点五总体百分位数的估计例5如图所示是某市3月1H至3月IOH的最低气温（单位：X?）的情况绘制的折纹统计图,由图可知这IO天最低气温的第80百分位数是（）A.-2B.OC.ID.2归纳点拨（1）计算一级小数据第P百分位数的步寐（2）然奉分布直方图中第p百分位效的计算确定要求的;%分位数所在分组A,）.由
15、频率分布表或频率分布直方图计算样本中小于A的撅率为0.小于/的班率为儿则/仅分位数=对点训练I.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的坂序排列为：!.2.233.6.6.7.8.8.9.10.13.13.14.15.17.17.18.18,则该组数据的第75百分位数为.第86百分位数为.2.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后痔出频率分布直方图如图,则此班的模拟考试成绩的80%分位数是.(结果保留两位小数)耀率加距O2250I5考点六频率分布直方图的数字特征粕率讥距【例6】某市市民用水拟实行阶悌水价，f人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超
16、出“，立方米的部分按io元/立方米收费.从该市随机遍查了100Oo位居民.获得了他的某月的用水Ift数据，整理得到如下频率分布直方图：050.40.30.20.1OaSI1.52253.15445用水域/立方米(I)如果W，为整数，那么根掘此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，W至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右湘点值代替，当卬=3时，估计该市居民该月的人均水费.归纳点拨频率分布五方S1.的数字特征(1)众歇：众致一敷用原军分布表中瓶率最高的一艰的艰中值来表示，即在样本数据的叛军分布直方图中.最高小长方形的底边中点的横坐标.(2)中位数：在然率分布百方
17、图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)平均数：平灼数在频率分布表中等于组中值与对应频率之枳的和.对点训练1.（多选）空气般Ift指数大小分为五级，指数越大说明污染的俏况越严虫，对人体危有越大，指教范国为9（其中.同纲中的数据用该组区间的中点值代替）B.84.90D.83.90A.84.80C.83.80二解答翻17 .某单位有200()名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营精、生产各部门中，如下表所示：(I)若要JI人数管理技术开发营箱生产共计老年40404080200中年80120160240600得年40IM)28072012(共计16032048()104()20
18、00b取4()人调iE身体状况则应怎样抽样？(2)若要开个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对卡塔尔世界杯举办情况的了解,则应怎样抽样？1.某城市实现r市区5G信号全覆盅，为了检查网络的质量.测试人员在市区防机选取r1)个地点.测试这些他点处5G网络的平均速度(单位：Mbps),测试结果整理成频数分布表如下：平均速度/Mbps1500.520)1520.540)1540.560)1560,580)(580.600妖数824382010()运甘商要求市区75%以上的区域5G网络的平均速度不低F540Mbps,问：该城市的5G网络是否达到该标准？
19、(2)在网格坐标系中作出去格中这些数据的频率分布口方图.19 .某小区毗邻条公路，为了解交通噪声,连续25天监测噪声值(单位：分贝)，得到频率分缶百方图(图).发现噪声污染严重.经有关部门在公路旁加装隔声板等治理指施后,再连续25天监测噪声值.得到菰率分布点方图（图）把同一祖中的数据用该级区间的中点俏作代表，请解答下列问题：（I）根据两个频率分布直方图,估计治理后比治理前的平均噪声值降低J-多少分贝？（2）国家“城市区域环境噪声”规定：虫度污桀：65分贝：中度污染：6065分贝：轻度污染：55-60分贝：较好：SO-55分贝：好：WSo分贝.把上述两个样本数据的频率视为概率,根据图估算出该小区
20、噪声治理前年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图估计一年内（365大原声中度污染以上的大数比治理前诚少了多少天？（精确到1天）20 .某快递同点收取快递费用的标准是理我不超过1kg的包袋收费10元.重量超过Ikg的包我,除收责IO元之外，邮过Ikg的部分，每超出1kg（不足Ikg,按Ikg计算）需要再收费5元.该公司近60大每天揽件数我的频率分布出方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点低作代表）.（1）求这60天每天包我数费的平均数和中位数：（2）该快递冏点预设人从收取的fii件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用.已知该坤点有工作人员3人,每人每天工资100X,以样本估计总体,试估计该网点短天的利润有多少元？
