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1、第十六章二次根式教材内容本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加臧：二次根式的乘除：最筒二次根式.教学目标1 .学问与技能(I)理解二次根式的概念.(2)理解7(a20)是一个非负数，(7)2=a(a0,Ga(a0).(3)驾驭=(a20,b20),疝=7#；J=J(a0,b0),J=J(a0,b0).(1) J解最简二次根式的概念并敏捷运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用详细数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(
2、除)法规定，并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情感、看法与价值观通过本单元的学习培育学牛.：利用规定精确计算和化简的严i革的科学精神，经过探究二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生视察、分析、发觉问题的实力.教学重点1 .二次根式S(a0)的内涵.7(a0)是一个非负数:(72=a(a0):7=a(a0)与其运用.2 .二次根式乘除法的规定与其运用.3
3、.最简二次根式的概念.4 .二次根式的加减运算.教学难点1.对JT(a0)是一个非负数的理解；对等式W)=a(a0)与J7=a(a0)的理解与应用.5 .二次根式的乘法、除法的条件限制.6 .利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最筒二次根式.单元课时划分本单元教学时间约需11课时,详细安排如本16.1二次根式3课时16.2二次根式的乘法3课时16.3二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时16. 1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念与其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用Jr(a0)的意义解答详细题目.提出问题，依据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关健1 .重点
4、：形如(a0)的式子叫做二次根式的概念：2 .难点与关键：利用“瓜(a0),j解决详细问题.教学过程一、复习引入活动1、填空，完成课本思索1：活动2、视察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动4、思索下列问题：W的运算结果是3,.是不是二次根式？3是不是？定义中为什么要加20?若a0时，石表示什么？可不行能为负数？、万(。20)是什么样的数呢？可由学生思索后进行探讨，然后老师订正，最终师生共同归纳得出性质1：石(。力0)是一个非负数二、探究新知例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、/、7(x0).4、亚
5、、-第、.J+7(x0,y20).JJ4V分析：二次根式应满意两个条件：第一，有二次根号“”：其次，被开方数是正数或0.解：二次根式有：-J1.-V7(x0),6、6、Jx+y(x0.y0):不是二次根式的有：木、卑、一.J+例2.当X是多少时，ki在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数肯定要大于或等于0,所以3-1.o,r11才能有意义.解：由3xT20,得：xIJ当x2时，QT在实数范围内有意义.三、巩固练习教材P3练习1、2.四、应用拓展例3.当X是多少时，历3-=在实数范围内有意义？分析：要使后方+在实数范围内有意义，必需同时满意ItIj2t+3中的20和中的x+1.
6、O.解：依题意，得2t+3!0x+1.O由得：Q-；.由得：-1.当x2-且XWT时，3+一在实数范围内有意义.I+I例4已知y=三7+7工+5,求,的值.（答案:2）I若G7T+g=0,求a?叫bijA的值.（答案：）,五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要驾驭：1.形如S(a0)的式子叫做二次根式，7”称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义，必需满意被开方数是非负数.六、布置作业习题16.1第1、5题16.1 二次根式(2)其次课时.教学内容1. S(a0)是一个非负数；2. ()2=a(a0).教学目标理解7(a0)是一个非负数和(47)1=a(a0),并利用它们进行计算和
7、化简.通过攵习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出正(a0)是个非负数，用详细数据结合算术平方根的意义导出(7F=a(a0)；最终运用结论严速解题.教学藏难点知1 .重点：品(a0)是一个非负数：(J7)a(a0)与其运用.2 .难点、关键：用分类思想的方法导出G(a0)是一个非负数；用探窕的方法导出0）是一个什么数呢？老师点评：依据学生探讨和上面的练习，我们可以得出IG（a20）是一个非负数.做一做：依据算术平方根的意义填空：（）=_：（）=_：（/）=_：（6）（J）2=:（/）J；（W）Z=-老师点评：是4的算术平方根，依据算术平方根的意义，Jr是一个平方等于4的非负数，因此有（JT）三
8、4.同理可得：（2）2=2,（）1=9,（y）2=3,（/）：=，（Jr）2=,()二=0,所以(4)-8OZ例1计算1.(J)22.(36)23.24.(，)分析：我们可以干脆利用(GJa(a0)的结论解题.解：(/*=：,(36)=3(4)2=3J5=45,三、巩固练习计尊卜.列各式的值:(7)四、应用拓展.例2计算1.(77)2(x0)2.(7)23.(JHq什1)；4. (4e-I2V40:(2)/20：(3)a2+2a+1.=(a+1.)20：(4) 4-12x+9=(2x)1-22x3+3、(2-3)0.所以上面的4题都可以运用(Gja(a0)的重要结论解题.解：因为X妾0,所以x
9、+1.0(+T)z=+(5) Va0,()2=a2(6) .a2a+1.=(a+1.)2乂，:(a+1.)0,a2+2a+15=0,7a1.=a2+2a+1.(7) ,.,4-12x+9=(2x)2-22x3+32=(2-3)2又Y(2-3)0.4x1-12x+90,/.(4c-42J)Mxj-12x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1)xj-3(2)x-4(3)2x-3分析：(略)五、归纳小结本节课应驾驭：1. M(a0)是一个非负数；2. (7)(a0);段:a=(7),(a0).六、布置作业习题16.1第2“、4、7题16.1 二次根式(3)第三课时.教学内容Ja=a(a20)教学目标
10、理解47=a(a0)并利用它进行计算和化简.通过详细数据的解答，探究Jr=a(a0),并利用这个结论解决详细问题.教学重难点关键1 .重点：ya=a(a0).2 .难点：探究结论.3 .关键：讲清a20时，/7=a才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容：1.形如7(a0)的式子叫做二次根式：4 .7(a0)是一个非负数：5 .()三a(a0).那么，我们猜想当a20时，r=a是否也成立呢？卜.面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：斤=；AoI2=:=；:护=；p=-(老师点评)：依据兑术平方根的意义，我们可以得到:后=2；O.OI2=0.01：；：J,：=
11、；:=0；,孑=.因此，一般地：*=a(a0).例1化简(1)#(2)/F(3)25(4)3F分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)a=42,(3)25=5%(4)(-3)2=3,所以都可运用=a(a20)去化简.解：(1)正=6=3(2)Ji)。=*=4(3)底=6=5(4)后=3.三、巩固练习教材P4练习2.四、应用拓展例2填空：当a0时，J7=；当/7=,并依据这一性质回答下列问题.(1)若J了=a,则a可以是什么数？(2若J7=a,则a可以是什么数？(3)77a,则a可以是什么数？分析：J厂-a(a20),.要侦第一个空格可以依据这个结论,其次空格就不行，应变形，使“()?”中的数
12、是正数，因为，当aWO时，7=F,那么-a20.(1)依据结论求条件；(2)依据其次个填空的分析，逆向思想;(3)依据、(2)可知JT=Ia1.,而Ia1.要大于a,只有什么时候才能保证呢？aa,即使aa所以a不存在：当aa,即使-aa,a0综上，a2,化简向方-云F.分析：(略).五、归纳小结本节课应驾驭：Jk=a(a0)与其运用，同时理解当aJb(a20,b，0),反NJab=b(a0,b0),ab=yfay/b(a0b0),并利用它们进行计算和化简由详细数据，发觉规律，导出6=疝(a0,b0)并运用它进行计算：利用逆向思维，得出疝=耳(a0,b0)并运用它进行解题和化简.教学里难点关键重
13、点：=(a0.b0).Jab=7TT(a20,b20)与它们的运用.难点：发觉规律，导出五石=疝(a0,b0).关键：要讲清疝(a0,bX?或0X3211-垂下.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题.1 .填空(1) #=,49=；(2) iTx11=,I625=.(3) K)03?=,JKDx36=.参考上面的结果，用“、362 .利用计算器计算填空(1) 6,(2)#o.(3)6x屈，(4)x620.(5)T70.老师点评(订正学牛.练习中的错误).二、探究新知(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式
14、，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一股地，对二次根式的乘法规定为I。6=(a20,b20).反过来：I而=MTr(a0*b0)例1.计算(1)66(2)jxW(3)27(4)6分析，干腌利用7=疝(a20,b0)计算即可.解：(1)4=(4)例2化简(1)916(2)I681(3)81x1.(I)板守0)干脆化简即可.解：(1)=XiT=3X4=12(2)衣两=灰X如=4X9=36(3) 81KD=7(=910=90(4) y9x2y2=JrXJXy=，XwrX6？=3xy(5) y54=96J=3y/三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）xW3x2F
15、7扃,斯（2）化简：回；11；11；底;i肃教材P7练习四、应用拓展例3.推断卜列各式是否正确，不正确的请予以改正:（1）解：（1）不正确.改正：J（7-j=A?=近XJ=2X3=6(2)不正确.改正：X而X后=J.25-11I=J167=46五、归纳小结本节课应驾驭：(1)正/=疝=(a2O,b分0),=7#(a20,b0)与其运用.六、布置作业习题16.2第1,39”,如6题。16.2二次根式的乘除(2)其次课时教学内容4=(a0,b0),反过来(aN0,b0)与利用它们进行计算和化简.教学目标，(a0,b0)和，=J(a20,b0)与利用它理解，=们进行运算.利用详细数据，通过学生练习活
16、动，发觉规律，归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式与利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点：理解。,(a20,b0),(a0,b0)与利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发觉规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程.一、复习引入(学生活动)请同学们完成卜列各题：1 .写出二次根式的乘法规定与逆向等式.2 .填空(1)3O规律:3.利用计算器计算填空:规律:每组举荐一名学生上台阐述运算结果.（老师点评）二、探究新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得非常精确，依据大家的练习和回答，我们可以得到:下面我们利用这个规定来计算和化简一些题I1.例1.计算:亨4/4后案.分析：上面4
17、小题利用(a20,b0)便可干脆得出答解：=2(4)例2.(1)%后=JFJ=炉-G2化简：fr呼呼舟分析：干脆利用Jr=E(a0,b0就可以达到化简之目的.V.(2)._。64力_8%丫91收T3(3)户=运V64,M18y(4)Pis_1.=叵Vs：M71.3v三、巩固练习教材PIO练习1.四、应用拓展例3.已知匡=比，且X为偶数，求(1+x)忙更亘的Y-V-6-6VA-I值.分析：式子Jf=O，只有a20,b0时才能成立.V.f因此得到9-0且X-6O,即6GW9,又因为x为偶数，所以X=8.解：由题意得(f即,：；60,b0)和P=(a0,b0)JVWj与其运用.,六、布置作业习题16
18、.2第2,3,7题。16.2二次根式的乘除(3)第三课时.教学内容最简二次根式的概念与利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并依据它的特点来检验最终结果是否满意最简二次根式的要求.里难点关键1 .重点：最简二次根式的运用.2 .难点关键：会推断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入1.计算老师点评:,1.官2.现在我们来看本章引言中的问题：假如两个电视塔的高分别是hkm,h：km,那么它们的传播半径的比是它们的比是在E.11二、探究新知视察上面计算
19、题1的最终结果，可以发觉这些式子中的二次根式有如下两个特点；1 .被开方数不含分母；2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满意上述两个条件的二次根式，叫做量筒二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？假如不是，把它们化成最简二次根式.学生分组探讨，举荐34个人到黑板上板书.老师点评：不是.例1.4;(2)JfwG;(3)7三、巩固练习教材P.练习2、3.四、应用拓展例3.视察卜列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：I.1X2-I)2-1.r,1(2IX2-I)32-4同理可得：从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(+-7-r+-1.1_)(22-1.
20、)的2I+64+32(II22i1.)1.值.分析，由题意可知，本题所给的是组分母有理化的式子，因此,分母有理化后就可以达到化简的目的.解：原式=(-H，F+/+2(X)22(X)I)2F+3(2)27(4)3-2+2老师点评：(1)假如我们把6当成X,不就转化为上面的问题吗？2+3F=(2+3)=5F(2)把6当成y：2-3+5=(2-3+5)=4=8(3)把6当成z；+2+=2+23=(1+2+3)=64 4)看为X,看为y.=(3-2)+7T因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与6表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板书)3+W=3+2=5F3#*11=3#+3=6
21、所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式,再:将被开方数相同的二次根式进行合并.例1.计算(1) +T(2)1.67+647分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；其次步，将相同的最简二次根式进行合并.解：G11F6+3F=(2+3)=5(2) J1.6x+，64x=477+8V=(4+8)4=12例2.计算(1) 347-9+3T(2) (48-+2?)+(2-)解：(1)347-9J+3-12f-36+6=(12-3+6W由6(3) (4?+2?)+(T-6)=18+2(+1.T-=4卜26+2,6=6*三、巩固练习教材PP练习1、2.四、应用拓展例3.已知4x
22、2+y2-4-6y+10=0求(x回+y2)-(X?卜XJ)的值分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2-1.)2+(y-3)-O,即X=：,y=3.其次，依据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最终代入求值.解：V4x2+y2-4-6y+10=0V4x2-4x+1.+y-6y+9=0(2-1.)2+(y-3)2=0*X=,，y=3原式=g.W7=2Jx+yxy-Jx+5x7=x+6x7当X=，y=3时,原式=五、归纳小结本节课应驾驭：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式;（2）相同的最简二次根式进行合并.六、布置作业习题16.3第1,
23、2,3题。16.3二次根式的加减（2）其次课时.教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过熨习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关健讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是木节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲r二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；其次步，再将被开方数相同的二次根式进行合并.二、探究新知例1.如图所示的RtAABC中，NB=90,点P从点B起先沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B起先沿BC边以2厘米/秒的速度向点
24、C移动.问：几秒后APBQ的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示）分析,设X秒后APBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ-2x,依据三角形面积公式就可以求出X的值.解：设X后APBQ的面积为35平方厘米.则有PB=x,BQ=2x依题意，得：.x2x=35x2=35X=宿所以宿秒后APBQ的面积为35平方厘米.答：卮秒后aPBQ的面积为35平方厘米.三、巩固练习教材P13练习3.四、应用拓展例3.若最简根式存与根式J5芬万育是同类二次根式，求a、b的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式后
25、齐耳前不是最简二次根式，因此把后彦R荔化筒成b-27Q才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式石匠石星化为最简二次根式：7C2z-HO=bIS1.z,1jvzr.(z3=2rZ6由题意得1.,C(-Z=2Aa=1,b=1.五、归纳小结本节课应驾驭运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业习题16.3第5,7题.16.3二次根式的加减(3)第三课时.教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除：多项式与小项式相乘、相除：多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.熨习整式运
26、算学问并将该学问运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.篁难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算学问迁移到含二次根式的运算.教学过程.一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题：1 .计算(1) (2x+y)zx(2)(2x2y+3xy2)xy2 .计算(1) (2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1.)2+(2-1.)二、探究新知假如把上面的x、y、Z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？例1.计算：(1) (#+)(2)(4-3)2分析：刚才已经分析，二次根式仍旧满意整式的运算规律，所以干脆可用整式的运算规律.解：(1)(#+#)X6=木-H义不=T+24=3*2卡解：(46-3)2=462-3F2=2了-：.例2.计算(1)(6+6)(3-6)(2)(Vt)(7-)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍旧成立.解：(1)(6+6)(3-)=36一(6)2+18-66=13-3#(2) (+)(7-j)=()2-()2=10-7=3三、巩固练习课本PM练习1、2.四、应用拓展例3化筒g点需S例4.当x=71.时，求HW+史上夕至的值.（结果2-I+1-+.V.V+1+.V*+用最简二次根式表示）五、归纳小结本节课应驾驭二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业习题16.3第4,6,8题
