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1、专题07反比例函数问题【考点1】反比例函数的图象与性质专题07反比例函数问题、【考点2】反比例函数k的几何意义J【考点3】反比例函数的实际应用、:【考点4】反比例函数与一次函数综合:【考点5】反比例函数与几何综合【睫例分析】【考点I反比例函数的图象与性质【出1反比例函数y=-,下列说法不正确的是()A.图象跳过点M-3)B.BHfI位于第二、四跳限C.图象关于直线y=x对称D.yMx的增大而增大【答案】D【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，UjXjA选项做出判断；通过反比例的数图象和性脂、增诚性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案.【讦解】解：由点(1.-3)的中:标满足&比例由散y=-
2、1,故A是正确的；1.j1.=-3O.双曲线位了四M限,故B也是正确的：由反比例函数的对称性.可知反比例函数=-3关)=X对称是正确的.故C也足确的，X由反比例函数的性质，AvO.,软跟内，旷随X的增大而增大，不在同一象跟，不几件此性质，故D是不正确的，放选：D.不等式kx+b-的解佻是x-I或0x2.X故选：C.【点崎】本题是一次函数图象与反比例的数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解案.利用数形结合是解题的关圾.【考点21反比例函数k的几何京义【出2】如图，已知A为反比例函数)，(v0)的图值上一点，过点A作AB1.轴，器足为B.若XAOAB的面积为2,Nk的值为().2B.-
3、2C.4D.-4【答案】D【解析】设A点坐标为(m.n),则有AB=-m,OB=n,继而根据二角形的面积公式以及反比例函数图7上点的坐标特征即可求得答案.【详解】设A点坐标为(in.n),则有AB=m,OB=n.Sab=ABOB=2.2.*_22m11=-4.乂：点A在反比例函数y=V(XVO)的图望I-.X.k.n=，mk=mn=-4.故选D.(.A1.1.u水包与在反比例函数y=(kO)图象I点的叶”3：.父k的几何意N,熟练掌握相关内容是X解题的关健.【文义21】如图，点A在双曲线、-9(XO)上，过点作A1.k1.X输于点B,点(在线段AB上且何立义.熟练学搏反比例函数系数k的几何意义
4、是解之的关根.【文大2-2】如图所示，在亶角平面坐标系。心中，点A、氏C为反比例的数丫=&0）上不同的三X点，连按（“、OB、OC,过点八作八力J.）轴于点。，过点小（分别作废Q垂直轴于点以F,oc与W：相交于点M,记Mo力、ABQW、四边形CMEF的面积分别为，、S：、S、.则（）A.S1=S2+S3B.S2=SyC.S,S,S1D.StS25,2【答案】BKHW根据反比例函数系数人的几何意义得凭S?=Sj0)上不1.，:AD1.y,BE.CF.F：t.v1X千点、F.SI=,Suwt=Smw.=.,：SsBOE-SOME=SSrOF：.Si=S,S1.（故B1确、故A.CW设）.-StS2
5、=5-S1S1=SJ（SJ-S1）S1i,1.!JDifii.故选:B.【点面】本题考查了反比例函数系数A的几何意义,反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关健.4【文大23】如图，点a,C分别是正比例函数y=的图象与反比例函敷,，=2的BH象的交点，过A点X作A2）_1.j触于点D,过C点作CB1.x输于点B,则四边形ABeD的面枳为一.32，【答案】3）8（；,2）：直找8。的斛析式是尸一户1或产-3.23333MM斤II根据反比例由数系数k的儿f：.f.k”_），,=-III跑r为二.代*X2入即可求科B的坐标:VSOCBE-S,erAE,点B在第象限户=一的图象匕2X2；点A在笫叫象
6、限-W的图象X3.S2=3,k=3.OE=AD=，.B的横坐标为23代入y=褥，=3=2,2)设Pa.0).VS41.PE-BE-ax2=3.39解得a=-：或:，2239二点P(-.0)或(一，0),22设)ti线BP的解析式为-mx+n(m0)若火线过2).(-.0).22-m+n=22-m+n=O.H线BP的解析式为yx+1.3C11+n=2,解得29wr+n=O2二直线BP的睇析式为尸-孕+3te*综上,宣境BP的解析式是y=1+1或y=-1+3.【点断】本即苦杏了反比例函数联数k的几何意义，反比例函数图锹上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式.求得B点的坐标是解整的美域.【考点
7、3】反比例函数的实际应用优3被I1.星的供水接通电进入自动程序，开机加编时每分侨上升IOC,加热到100t停止加热,水开始下降，此时水N(I)与开机后用时X(min)成反比例关系，亶至水温降至Mt,供水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，复上述自动程序.若在水为30C时接通电源，水(C)与时间a(min)的关系如图所示：(1)分别写出水源上升和下降阶段,与I之间的函敷关系式I(2)恰董同学想高于501C的水，请问她多需要等待多长时闿？【答案】C【解析】利用图中伯息一一判断即可.【详解】解:A、正确.不符合题怠.B、由题总x=4时，y=8,二室内空气中的含药量不低于8mgmj的持续时间达到了Hmi
8、n,正确.不符合题C,y=5时，x=2S或24,24-2.5=21.52=:=6：(3)当OVXV2SRx-2-.【解析】)把士C的+标代入反比例函数.利(法即礴噬展比例函数的解析式,CEXxttrE,根据题意求得B的坐标,然后利用待定系数核求得一次函数的解析式:联之为引求行D-S,m0=sioc+SM)1.!J.J,RfMCOD的面积:k3)根据图象即可求得K*+辰二时,门变Ex的取值范MX.,(8,1.)解曲=-17T-2k+b=48k+b=设立城A尸的关系代为y=x+b,将(-2,4).8(8,1.)代入得：“殂人?的关系式为y=得工+/.1.IV=Oii;.Iip-X+-=0,*H=-
9、.1053【点睹】此题考查一次函数与反比例函数.解题关键在于把已知点代入孵析式【考点1反比例面敷与几何僚合1.H5已知一次函数，=小+的图象与反比例函数y=的图象交于点,4,与轴交于点8(5.0),若X(I)求反比例函数与一次函敷的表达式I(2)若点/，为、轴上一点，AABP是答三角形，求点/，的坐标.【答案】)，=卫,y=3-身；(2)(0,0),(1O,O)./(13.O),X44k8)【解析】：I，根掴SMMS=E可计算出AC坐标.进向利用勾股定用“：；A3.他横坐版.代入UJ得一次函数和反比例函数的制析式.0)的图象势过点C,X故选D.【点精】此题苦式反比例函数，次函数的交点问题.外定
10、系数法求的数好析式，会运用相似求线段长度是解88的关犍.2.如图，点A在反比例函数y=2(的图氨上，过点A作Aik1.X轴，垂足为点B,点C在y轴上，则X【答案】C【解析】连结。A,如图，利用三角形面积公式得到SAgB=SAt再根据反比例由数的比例系数k的几何&.义得到Soab-gk,便灯求褥打梁.2t详解】解：连结OA,如图,VABx.OCAB.SaCAH二S,R而Soar=IM-22,Sacb-.故选：C.【点睛】比例后数的比例系数k的几何意义：/：口比例函数y=上图软中（E1.M点.过这个X点向X轴和y轴分别作条线，与坐标轴围成的矩形的面枳是定值叫3.如图，一次函数K=R+/,和反比例函
11、数H=4的BMMf1.交于A,8两点,用使n）:成立的、取值X急国是I）A.-2.v0M0.v4B.x-20x4C.X4D.-2x4【答案】B【解析】根据图1找出次函数图/在反比例函数图以上方时对应的自变量的取值？S用即可.【详解】K察M数图象臼发现：x-2或0x2成；，v-,1：a-20x4.故选B.【点肪J本题号饰/反比例南数。次函数综介,由数,不等式，利用依形结合思想是解题的关键.4.aft=s+与，、0时,一VO.y=-ax+a(.：.四象米.丫=凹在一.三象限,尢选项，X0y=w+4在一、三、四象限,y=-(0)在：、四余米.只有D符合：X故选：D.1点Sn本题主要Uh；.反化例的数
12、的图象性而和一次函数的图象件I般关便是由的取值确定函数所在的象限.5.如图，在平面直角坐标系中.点/，在第一象限.从11轴于点八，反比例函数v=与(0)的BBX象与线段AB相交于点C,且C是线段A8的中点，点C关于直嫉y=K的对称点。的坐标为(1.)51),若KfAB的面积为3,则k的值为()A.-B.1C.2D.33【答案】DKMtFr根据对称性求出C点坐标，Hi而符OA与AB的长度，再根据己知三角形的面枳列mn的方程求得如进而用恃定系数法求得k.【详解】；点C关于比般y=x的对称点C的坐标为O)相交于点A、点9,过点A作AC1.y轴,善足为C,连接3C.若ABC面积为8JeA=.【答案】8
13、【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征,可知人.8两点关于原点对称,则O为线收/18的.故ABOC的面积等于MOC的商机都等于4.妁山I1.S匕例M故y=V的比例系数上的几何意义，X可知AAoC的冏枳等于TkI,从而求出Jt的值.【详解】反比例函数与比恻函1的图鲍相交A、B网点,:.A.5两点关于点点对称.:.OA=O/3.AfiOC的i1.1.：ft!=AOC的面积=8+2=4.乂.A型反比例用数)，=上图象上的止，I1.ACJ_y轴丁点C.X.AOC的也枳=:同，,4=4VA0.:.k=S.故答案为8.1.ft本题考女及比例函数与一次函数的交戊问鹿，反比例函数的比例系数Jt的几何
14、意义.解题关键在于得出。为线段A8的中点.9Jt17.如图，双曲旗.V=-(X0)短过矩形OABC的点8,双曲线y=-(xO交AH,BC于炊E,b,X*且与矩形的对角线03交于点O,旌按K凡若OD:08=2:3,期AZ让了的面积为.z)51.三-MWr1.D(2m,211),IK1.vA(3w.O).C(O,311),43mt3n),即可褥出9=3m3w,=2n2j=4三.若得=1,出43团.十，,日米”.3),求得84、BF-然4；根据：角形而枳公式行到Sw=；BEBF进行求解印:1.【详解】设。(2，,2).：OD:OB=2:3，4(3/,(),C(0,3”).：,B(3m.3n).9O双
15、曲线y=VxO)羟过矩形OAbC的顶点8,X，9=3/3.：,nm=1.双曲线.v=4x0)经过止。.X：,k=4mn：,双曲线y=也0).X：.E3m.g,尸1:m.3.4545：BE=3n=一.BF=3m一一？=一m33331”：S.mf=-BE-BF=nu=.但2181895故答案为，-18BEFGa1=,=CDFH3a3ZVZX0,4).：.OD=4b.,FG=b丈：&*befg=.即,8=1.,2：,ab=2,：C(3,4)在反比B可函数y=A上.X-k=3Y=-.v=2x+2:2)四边形MAOC的面积是4.XKMiff(I)根掂题电:可以求知点B的坐标从而可以求窗反比例函数的衅析式
16、.进而求知点A的坐标从而可以求得一次函数的解析式：2)根据(”中的函数解析式可以求得点C从而可以求得四边形MBoC是平行四边形.根据向积公式即可求得.详解】解：BM=OM=2,，点8的坐标为(2.-2).；反比例函数、一：(J1.O的图象经过点从则-2=2.Wk=4.-2/.H比例函数的解析式为F=XY点A的纵坐标是4.44-(得K=IX二点A的坐标为(I.4).Y一次函数y=mx+n(m0)的图象过点A(I,4)、点8(-2.-2).，“+“=4fm=2、解得c-2n+=-2=2即一次函数的解析式为y=2t+2:(2) .y=2+2与轴交于点C二点C的坐标为(02).:点B(-2.-2).点
17、M(-2.0).OC=MB=2,VRW1.xJ,，四边形MHOC是平行四边形.二四边形MBOC的面积是：OMOC=4.【点瞄】本题写查反比例函数与一次函数的交点问题.解答本题的关键是明确跑意.找出所求同起需要的条件.利用一次函数的性侦和反比例函数的性咙解答.25.如图，在平面宣角坐标系X。),中，反比例函数)，=与优HO)的图象过等边三角形8。C的!1点8,XOC=2,点人在反比例函数图象上，连接ACAO.(1)求反比例函数y=V(A0)的表达式IXW1.ABHC=BC=ZCOA=90o.ZBCH=ZCao点。的坐标为(-3,0).,.=3VcosZCO=-5.,.AC=35Ao=6CCCM*
18、IBC=CfJz三C=ZCO4=90oZRCH=ZCAO.fiC空MZM.,.BH=CO=3,CH=AO=6：.OH=9,即8(-9.3)zj=-93=-2727.反比例函数解析式为，=-三X2)因为在第.象限中，5。加次函数的图像在或比例曲数图像的下仄所以,1.-iAO时，衣+/，巴的解染为一9K-上的索.X【答案】(),=-K-I：(2)AAoB的血枳为(：x-4k0x先根据A点的横坐标与U点的纵坐标都是3.求出A.B.再把A.B的假代入解析式即可解捽汨:-4k+h=33k+b=-4故直线解析式为：y(2)y=-X-I.当=0时，X=,SMa=TX32=3*SAaA8-StMMi=3:4。
19、1SMDE=4.。点D是反比例函fty=(mO,O)ff1.ftw=5wm=4Wzn=8.QDEOBOC36.=.即一=，DEPEb-6又破=8.a=-2=8,f).Z=-4h=Ai0(8.1).【点睹】号查了反比例画故综合题，需婴掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何Je义，三角形的面积公式，柑M三角形的判定与性质等知识点，综合性较覆，但是难度不是很大.30.如图，在平面直角坐标系中，直线八8与)，轴交于点8(0.7).与反比例函数y=父在第二象限内的图X象相交于点4-1.G.(O求直线八8的解析式；(2)将直战,48向下平移9个单位后与反比例函数的图象
20、交于点C和点E,与轴交于点。，求AAa)的面积：(3)设直线CD的解析式为y=nx+n,根据图象直接写出不等式三+t-的解集.X【答案】（I）y=-.v+7:（2）A8的面枳为18：3-42.【解析】(1),J.A-1.,a)代入反比例函数y=?求出a的值,确定由A的限标，再根据待定系数法确定出次函数的解析式;2)根据口戌的平移规律日出口线CD的解析式为y=x-2,从而求汨D的坐标，状立方程求得交点C、E的坐标,根据：角形面积公式求得AeDB的面枳.然后由同底等高的两:角形面积相等可得AACD与ACDB而枳相等:(3)根据图象即可求得.【解】(D)Y点A(-1.,)在反比例的图象匕/.A(T8
21、).F8(0.7).U.1,y-A7.：纹A8过.44-1,8).8=-+7.解徇A=-.：。践的解析式为y=-x+7:与AB8面积相等,.AACP的田枳为18.3).C(-4,2).E(2,-4).不等小t+二的解集足：-4.v2.X,2.U=-32=-y.m=12.【点哈】本题考建了反比例南数与一次函数的媒合题,涉及了特定系数法，一元二次方程根与系数的关系等知识,熟练掌握和灵活运用相关知识是解期的关键.32.如图，oA8C。中.顶点八的坐标是(0,2),ADHX输.Bc交)轴于点E，顶点(的纵坐标是40八8C。的面积是24.反比例的数丫=上的图象及过点8和。，求IX(1)反比例函数的表达式
22、12人8所在亶线的函数表达式.Q【答案】y=-：(2)y=3x+2X【解析】根据JS就如出AE=6,结合平行四边形的面积得出AD笠醪磁缝而知点。竹打.从而布出反比例函数解析式：4尤根据反比例由数解析式求IB点B的坐标,再利用普定系数法求解W.【徉：解】1).J页卢4的坐标是(0.2),顶点C的双器标足，AE=6.XoABCD(ifR24,AO=8C=4.则0(4,2),，A=4x2=8.反比例由数解析式为，=2；X2闻知BiMeI坐惊为4/.k=3.A=4,.反比例用数和次函数的友达式分别为y=-,y=-+4;X(2)由图软Ur得；3IvaPN.【点WJ小遨苦杏了次函数与反比例函数的交点向题,
23、特定系数法求解析式,利用随数图/性质解决问咫是本5S的关圾.34.长为300，”的春/队伍，以N,s)的速度向东行进，如图1和图2,当队伍排尾行进到位。时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回推尾，甲的往返速度均为2Ms),当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排是从位。开始行进的时间为As),排头与。的距离为%”)尾)乎一东,尾上东甲一-甲图1S2(1)当=2时，解答：求看.与；的函敷关系式(不耳.1的取值范B1.)i当甲赶到排头位工时，求S,的值；在甲从排头返回到推尾过程中，设甲与位置。的距离为5/加.求品与的函数关系式(不写：的取值范国)(2)设甲这次往返队伍的总时间为TXS)
24、,求/与I的函数关系式(不写的取值范围)，并耳出队伍在此过程中行进的路程.40()【答案】I-5%=2,+300:S1.)I=Tr+1200：2T；v11.式为：T=.此时队伍在V此过程中行进的路程为4006.【解析】(1)排头与。的柜离为S%(m).等于排头行走的路行+队伍的长300,而持头行进的时间也是t).速度是211Vs,可以求出S，的函数关系式：甲赶到捋头位汽的时间可以根据追及何期的数状关系得出，代入求S811;在甲从排头返回到川尾过程中,设甲与位置。的距离为S,(m)是在S的基础上减少甲返I可的路程，而甲返回的时间=总时间1.甲从排尾赶到排头的时间,于是可以求S”与，的函数关系式：
25、=-4/+1200；因此，Sa与，的函数关系式为S4Z+300,当卬赶到外头位置时，S的值为60()，在中从挥头返何到川足过程中，S.与，的函数关系式为S1.=-4f+1200.,2-=要1.+普=%.在甲这次因伍的过厂1.J:VX-=4(X):2v-v2v+VVV4()0囚此T与V的画数关系式为:T=,此时队伍在此过程中行进的路程为400m.c),尾我甲一甲图1图2【点n本题考J了行程问题中相遇、追及问题,同时还考杳了函数思想方法的应用，切实理解变量之何的变化关系,由于时间有流合的部分，容易出现镉误.35.如图，直战.v=X与双曲线V=勺x0)相交于点儿且OA=J1.将宣线向左平移一个单位后
26、与双曲线相交于点/，.与X轴、,轴分别交于G。两点.(I)求直线BC的解析式及A的值；(2)旌结。8、AH,求AOAB的面积.【答案】7)”%BC的解析式为，X+1.k=1.：(2)2.【解析】7)根据平移幅附可求得“线BC的解析式.山仃线V=X和OA=应炜可求得人的坐标.然后代入双曲线=&(x0)求得的位：X(2)作AE_1.K轴JW.轴于R联立方程求痔B点的坐标.”.3根据=S懂彩1松+SW-SMcW1.=Smbws求行即可.【详解】解，根据平移的性此将rM)=向左平移一个单位后在到y*1.工BC的裤析式为y=+i.：工线=X叮以的纹=-(0)r.U.X：.A点的惭坐标和纵坐标相等.,OA
27、=y2：.A(IJ).A=Ix1.=I:(2)作AEJ_x轴FE,BF轴JF.【点睹】小题写出反比例函数与次函数的交点问题,解速的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标.属于中考常考题型.36.如图，一次的数，=一3的图象与反比例的数），=与优工0）的图象交于点4与点83-4）.X（I）求反比例的数的表达式；若动点/,是第一象限内双曲优上的点（不与点d合）,连接OP且过点P作,轴的平行线交直映,仍于点C,ttOC,若POC的面积为3,求出点P的坐标.44IM1.：I)及比例函数的表达式为)，=一：U：，的中近为(5,二)或(.4)或(2.2).X5MMFr1.用特定系数法即可求W
28、h(2)设点尸的坐标为On)(50),利用：角形面枳公式进行求解.m【详解】帆1将8(,Y)代入次函数y=x-3中得:a=-(-1.,-4)将3(-1.-4)代入反比例的数y=-(A0)1?./：k=4X：.反比例函数的表达式为y=-：Xm：.PC=I-(/M-3)1.O到H线PC的距周为/nI1.1.14：APoC的向枳=-nI-Q-3)I=32IH解得:m=5或-2域1或2点P不与点Aq合,且A（4,1.）4XVmOm=5或1或2二点。的坐标为（5T）或（1.4）戊（2.2）.【点睹】本题考变反比例函数，解题的关键是熟练墩握反比例函数.37.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的
29、对稼中心P在反比例函数y（CO.40,的图象X上，边CD在X轴上，点B在、轴上.已知CD=2.（1）点A是否在该反比例函数的图氨上？请说明理由.（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标.（3）平移正六边形ABeDEF,使其一边的两个点恰好部落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程.【答案】点A在该反比例怅数的图像J见解析：（2）Q的横空标是如叵：（3）见髀析.2MW?】连接PCj:IyP作尸H1.I轴厂点H,由此可求得点P的坐标为0）.JiAC.i1.B（1BG1ACJ-.,aC求行点A的坐标,由此即可X制定点A足舌在1勿：2比例：.Q作。M1.x轴手点M,设DM=乩则QW=盘.
30、由比UJ再点Q的坐标为S+3,版），根据反比例函数图象上戊的性质可得五（+3）-23.；1；：队的b仙即UJ求劭点Q的横5RE江北AP.AP=BC=EF,AP/BC/EF.姑合3中的条件,将E六边形ABeDEF先向右平移1个单位，再向上平移JJ个单位平移后的点B、C在反比例的图象上）或格正六边形ABCDEF向左平移2个单位（平移后的点E、F在反比例函数的图象上.ti节解】解：1）连接PC.aaP作P，_1.x始于.，H.在山六边形ABCDEF中，点B在y轴上BC=PC=CD=I.AOBC和APCH那足1j30用的1.ift)用形.OC=CH=.PH=6，点P的坐标为(2.有).=23反比例函数
31、的表达式为=当巨SX连接AC.过点B作BG1AC点CVZASC=I20.AB=BC=2.BG=，AG=CG=/.,.iA的坐标为(1.2J?)当X=I时，=2A所以点A在核反比例函数的图像E2)过点Q作QM1.x轴于点M六边形ABCDEF是正六边形，.NEDM=60设OM=Of=.点Q的坐标为g+3,J5h).3(fr+3)=23解得“=土叵,-3-171221.,3+i?.分+3=2.YQ的横坐标是必叵2o)Ie象上的一点，在A轴正半轴上有一点/，。8=4.连接QAAB.XKoa=a/?=2io.求人的值I1.-Aiy过点H作8CJ.08.交反比例函数y=-(o的图象于点C连接。交AB于点。
32、，求黑的值.XDB【答案】“诉=12：(力3.HMn(D过点A作W1.交X轴于点A；交OC于点M，易知OH长度,在我角三角形OHA中川到AHK度,从而得到A点坐标,进而%Bk值：2先求出D点坐标，得到BC长度,从而得到AMK嵯，由hJ线fJZMnwsZswx:.所以空=空=：BDBC2详解J解：(IHi.1A(1H1OBZX柏IH.交OCF点M.=2i.O-4.OH=2：.AH=6.A(2,6).*=I2(2)将x=4代入y=NX得。(4.3)AfiC；3229.AAf=-2V.vWbf1.C14：.AH/BC.ADMBDCADAM3=一BDBC2【点睛】本即主要考选反比例函数与相似三角形的综合问题,难度不大解题关键在于求出k(.v0)39.如图，菱形ABC。的边A8在X轴上.点A的坐标为(1.0)点。(4,4)在反比侪函数.v=2的图象上，直线y=经过点C,与、轴交于点E连接ACAE.)，C/0BX(D求上.)的值；(2)求AAa的面积【答案】)A=16.ft=-2;(2)Svirc-=6.【解析*1：i：i淳形的性皿仆18(6,0),C(9,4)，.(44)代入反比例加故、=求出上将点C(9,4)X2代入y=3*+8,求出；2(2)求出宜蛾y=W-2与X轴和y轴的交点,即可求A4C的面枳:3【佯解】解：(I)
