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1、专题07不等式及不等式组核心知识点精讲1.理.解不等式的的概念、解集:2 .理解不等式的性质并能进行运用：3 .了解一元一次不等式的概念与解法并能进行运用:4 .掌握一元一次不等式祖的概念及解法；5 .掌握在数轴上表示不等式的解集的方法：6 .埋解元一次不等式组的整数解并能正确运用：7 .掌握一元一次不等式（殂）的实际应用。考点1不等式的横念与性质1.不等式的横会，用不等号衣示不等关系的式子，叫检不等式。2不等式的4,对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所力解的集合叫做这个不等式的好的集合，简称这个不等式的解集。
2、求不等式的解集的过程，叫虬解不等式。3.不等式的性质，同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2）不等式两边都乘以（或除以同一个正数，不等号的方向不变。（3）不等式两边都乘以（或除以同一个负数,不等号的方向改变。考点2一元一次不等式1 .一元一次不等式的IR念I馈地，不等式中只含彳j个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两边都是第式，这样的不等式叫做一元一次不等式.2 .一元一次不等式的解法I解一元一次不等式的一般步骤：1）去分母合并同类项（5）将X项的系数化为I考点3一元一次不等式组（1）一元一次不等式Ia的裳含，几个一元一次不等式合在一起，就纲成了一个一元一次不等式组。解集：几个一元一次不
3、等式的斛集的公共部分.叫做它们所组成的一元一次不等武组的解集.求不等式组的解蛆的过程，叫做解不等式坦.当fE何数X都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无或其解为空集（2）一元一次不等式但的解法，a分别求出不等式组中各个不等式的解集b利用数蝌求出这些不等式的解案的公共部分,即这个不等式旧的解案.C根据公共部分写出不等式的解朱，如果没有公熟部分，那么不等式姐无斛空集）考点4在敷轴上衰示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定Z一地定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注;：,点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解案即为空心点；二是定方向，定方向的原则
4、是：“小于向左,大于向右”.【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解蛆为”,其验证方法可以先将。代入原不等式，则两边相等，其次在x”的范困内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.最面不等式姆（oaxbr1.abxb大大取大xaxb=3J-abxaXVbabaxb=1_Cab无愀球大大小小无1?了考点5一元一次不等5a的整数解1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据即目中对于解佻的限制得到下一步所豳要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.2）已知解集整数解）求字母的取值.一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做
5、常数看待解不等式组或方程组等.然后再根据跑目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.考点6一元一次不等式应用列不等式蛆解应用J的一般步基本相似，包括：审清时意：2）设未知数：（3）列不等式：（5）检验：（6）作答.典例引领CMSh不答式的擂念与性质】【典例1】（2023清远模小红姆分钟踢健子的次数正常范困为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为）A.50x8B.50x80C.5O8OD.5080【答案】B【分析】直接根据遨点可N50x80.【解答】解：小红任分钟踢战子的次数正常范国为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50WK6则下列各式中-定成立的是（）
6、A.a-bOB.Ia-12-1C.ac2.（2023越秀区校级二模若x，且v0B.1.D.a【若案】八【分析】根梏不等式的性质2得出答案即可.【解答】解：Y由XVy能得由r0.故选：A.bc2D.-33【答案】D【分析】根刖解不等式的性脑将不等式变形，从而选出正确的选项.【解答】解：ab.a-h0,故人不合题愈：8、Vab222z-2b-1.故8不令题意：C、当J=O时,a人则下列选项中，一定成立的是（）A.+2fr2B,a-2b-2C.2a-2b【答案】A【分析】HiIK0糕不I式的*可以判断各个选项中的说法是方正确.从而可以解答权&【解答】解：.Zb,+2H-2,故选项A正确.符合的意；a
7、-2b-2.故选项8怖误,不符合题意：2a-2b.故选项。错误，不符分题总：；故选：A.故C不合题总；abD,ab.JJr-故。符合题意：5故选：D.3.（2O23高明区二模）己知从卜列不等式一定成立的是（abA.+1.-C.-3a3bD,a-c同一个正数.不等号的方向不变：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；由此即可解决问题.【解答】解：八、ab.Jt+I+1.故A不符合题意；8、ab,则mg,故。符合题息：C、ab.W1.-3h.W1J-cb-c.故/）不符合题意.故选：B.4.（2023龙华区：模）农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜阴亍混种，已知毛豆齐苗石棚
8、溜在18-25C最适宜，播种芹菜的G适宜温度是1520C.农户在毛豆齐苗后在同一大胡措种了芹菜，这时应该把大棚涉度设置在下列哪个范用最适Ii）A.1518CB.I82OCC.20-25-CD.2（C以上【答案】B【分析】根据即意.设大棚温度为,C,则；震葭常.再根据元一次不等式组的方法,求出这时应该把大棚温度设置在卜列哪个范用最适宜即可.【解答】解：设大棚泡度为C.解得180修20.这时应该把大枷温度设猊在1820CM适宜.故选:B.5.（2023龙川县一模）下列式子中，x=2是它的解的是（）A.=1B.?-1.r+1.=0C.3【答案】A【分析】根据方F呈的解和不等式的解集的定义解答即可.【
9、解答】解：A、.珞x=2代入晚方程.左边=I=右边，.A选项符合也。：/?、.4x=2代入原方程，左边=4-4+1=I右边，二8选注不符合题意；C、.=2不是不等式XVO的解.,C选项不符合跑就：(r1。、.X=2不是不等式嵬的解.U3二。选项不符合遨意.综上所述,A选项符合胜意.故选:A.典例引领(92：一元一次不答式】典例3(2022前海区校级模拟)下列各数中，是不等式3(2-*+IVo的就是()A.2D.3【答案】。【分析】按照解“元次不等式的步骤,送行计算即可解答.【解答】解I3(2-x+KO.6-3*I().二不等式3(2-.r)+IVO的解可以是：3.故选：D.即时检测1. (20
10、23东莞市校级二模)在平面直角坐标系中.点P(-2.2)在第二象限.则“的取值范阚是)A.a2B.a2C.2【答案】A【分析】由点P(a-2,2)在第二小限,如“-2V0.解之即可.【解答】解：Y点Pa-2,2)在第二象限.-20,解得“V2,故选：A.+42. (2O23深圳模拟一元一次不等式丁2的解象是()-1B. -IO12345C. -1oI2345D. -1OI2345【答案】C【分析】根据不等式的性质，解元一次不等式即可求解.x+4【解答】解：一丁之2,5去分母得：x+46.解得:xN2.故选：C.3. (2023从化区二模)定义运算为：当时，aib=(t+bt当h时，aicb=a
11、-b.例如：1-2)=1+-2)=-I,-2)*1=-2-1=-3.若(3”1.1.)8.则m的取值范胭为A.nt2B.m5C.2n5D.指5【答案】八【分析】分3,”-INm1和31.1.,”+1两种情况.根据新定义列出关于“r的不等式,解之可得答案.【解答】裤：当3，-13，”+1,即用2时，3/n-1.+w+1.8.解得r2,符合要求：当3，Tmj+I.即“i8.解得，5,不符合要求，舍去：故选:A.1.+2x4. (2()23诙州市一模)解不等式一7-1.,并写出它的所有jE整数解.【答案】见试时解答内容【分析】去分毋、去括号、移顶、合并同类攻、系数化为I,即可求料不等人的解梁,然后输
12、定解集中的正整数解即可.【解答】解：去分母.得1.+2r3(xI)，去括号.f?)+2x3x-3,移顶，fH2x-3x-3-I.合并同类项,得-x4,系数化为1.得x8B.7x8C.7D.x6【答案】D【分析】按照解一元次不等式组的步界,进行计算即可解答.【解答】解:忆:券;5Q（4x-321解不等式得：xW7,解不等式得：x6.二原不等式纸的解集为：x0IhX-IVo得IxV1.1.x+1.0ft:x-1.则不等式组的解柒为-1言x62. （2023南海区模拟）不等式组5x-1.的解集在数轴上表示正确的是（）-1-70A.-5-4-3-2-1.012345xB.-5-4-3-2-101234
13、5x5-4-3-2-1012345HD.-5-4-3-2-1012345x【答案】R【分析】分别求出为一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】薛：由-3x6得：x0得：x-4,III2(x+1.)x-1得：x-3.则不等式组的解集为-3,故答案为；x-3.4. (2023荔湾区校级二模)裤不等式组3x-2v2,并把解集在数轴上表示铝来.2x-1X-2IIIIIII，-2-I012345x【答案】-IWXV2.【分析】分别求出每一个不等式的解期，根据口诀r同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解.集.【解
14、答】解：由3x-2V2x得：x2.i1.1.2x-1sx-2MXN-i.则不等式殂的解集为-IWXV2,将解柒表示在数轴上如下r典例引领KB三4：在敷轴上表示不等式的解集】【典例5】（2023鹤山市模拟）如图,不等式组F-I2的解集在数轴上表示正确的是（）1.-3x9A.4-3-2-1C12345B.-5-4-3-2-1012345C.C2-1C1.12i?D.-5-4-3-2-1012345【答案】A【分析】先求出不等式组中砰个不等式的解集再求出它们的公共部分,然后把不等式的解朱表示在数轴上叩可.【解答】解:X-12.-3x9.由，两x3；由,由KN-3：故不等式祖的解傀是：-3x3:去示在
15、数轴上如图所示:故选：A.即时检测1.（2023盐阳区.模）不等式组的斛集如图所示，则该解集表示为（-2-I012A.-IVKW2B.-1.x2C.-1.xN向右血：.W向左I）,表示解维时“N”,要用实心圆点表示：“V”，要用空心留点表示，可得答案.【解答】解：由数轴上表示的不等式的解架,得-1.0U40解得-3x111-10123A.GOB.xiC.OWXV3D,0rW3【答案】C【分析】根5数轴上表示的解弊找出公共部分即可解答.【解答】解：根据数轴可用：m(x3二此不等式坦的解佻为0Wx-2,由得；KW1.二不等式组的解集为-23(x+)1. (2023三水区模拟)不等式组X3的所行整数
16、解的和为9,则整数。的值百()-17-xA.I个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】由6r+33a-.1.1.j-17-xftU4.根格所有整数解的和为9知拓致解为4、3、2或4、3、2、1、0、-I.据此得出”的范国，解之可得答案.【解答】解:由6a+33(x+)得：xa-I.由;一17-x4.Y所存整数解的和为9.二用数解为4、3.2或4.3.2.1.0.-1.,.1.-1.2aK-2a-K-I.解得2Wa3或IWVO,符合条件的整数。的值为2和-1.故选：B.3x-1Vx+32. （2023东莞市一模）不等式组.3的整数解为O.I.-yX-1【答案】0.1.【分析】分别求出每一个不
17、等式的解集,根据口诀:同大取大、问小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案.【懒答】解：由3Vx+3得：x2.i1.1.-I,2则不等式跄的解染为7x2,所以该不等式组的整数解为0,I,故答案为：0,1.3. （2023潮南区模拟）解不等式组：-1可+1，并求其最大架数解.【答案】见试SS解答内容【分析】分别求出每一个不等式的解集然后确定不等式组的耕集,在解集内找到最大整数即可.Um解I和+1C2（2x-1）5x+1111OW；I.Ih得：KN-3.则不等式组的解集为，-3x1.则不等式细的最大整数解为0.考典例引领（96：一元一次不等式的应用】【典例7】（202
18、3深圳模拟）某初三某班计划购买定制钢皂和纪金卡册两种毕业纪念礼物，己知购买1支定制剂笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢艳和2本纪念P册共需140元.求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？2）该班计划购买定制钢箔和纪念卡册共60件.总费用不超过1600元，口纪念卡册本数小于定制钢电数玳的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？【答案】3）每支定制钢第的价格为30元，年本纪念I：册的价格为25元：5种,见解析.【分析】（I）设博克定制钢豆和斑本纪念卡利的价格分别为小y元，粮相咫意列出：元次方程组，解方程加印UJ求解：2）设购买定制钢笔m支.则纪念卡册行（60-m）本.根据遨意
19、列出一元一次不等式组.解不等式组即可求解.【解答】解：（I解：设每支定制钢里和母木纪念R册的价格分别为小y元,依题意,咕苣窗?窑解得北：赘答：祗支定制钢笆的价格为30元,姆本纪会R册的价恪为25元.2）觥：设购买定制钢笔删支.则纪念卡册有60-WI）本麻“*1POm+25（60-m）1600依题总，府：1.C-（60-m3m解得：15Vm2O.,n取整数.n=16,”，18.19.20,总共有S种方窠.分别为:方案I：购买定制钢笔16支.纪念卡册44本:方案2：购买定制钢名17支,纪念卡册43本:方案3：购买定制用笔18支,纪念卡册42本:方案4：购买定制钢笔19支.纪念三册41*：方案5：购
20、买定制钢簿20支,纪念卡册40本.可即时检测1.（2023禅城区二模）日前市数育局发布了佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知上确定了考试项目可由学生自行选择.某校为了保证九年级毕业生有足蛤的训练零材,计划增购-批篮球和足球,如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元：如果购买IO个足球和20个篮球.共需1900元.1）足球与镰球的单价分别为多少元？2）若学校计划川不超过2800元的经费期买足球和篮球共50个,且足球数不多于篮球数的3倍,则最多购买多少个篮球？【答案】tD摊个足球的价格是50元，好个篮球的价格是70元.（2）15.（分析】“）设每个足球的价格足X元
21、,每个篮球的价格是y元，根堀”购买20个足球和15个篮毋.共需2050元：如果购买IO个足球和20个篮球，共需1900元“，即可得出关于,y的二元一次方程如,解之即可得出结论：设每个足球的价格是X元，每个篮球的价格是y元，,优：乳湍解得,乍需答：每个足球的价格是50元,每个篮球的价格是70元.2)设购买，个篮球，则购买50-m)个足球，依题点褥：POm+50(S0-m)28005U-m3m解得:m15.为整数.,.H的最大值为15.答：及多能买15个篮原.2. (2O23福旧区模拟)某企业计划购买M8两种型号的机器人来搬运货物，已知集台A型机器人比出台8皇机器人姆天少撤运IO吨，且八型机器人短
22、大攫运540吨货初与3型机器人稀无搬运600吨货物所需台数相同.求每台4型机器人和每台B型机器人每天分别撤运货物多少吨？(2)每台八型机潺人皆价1.2万元，每台8型机甥人付价2万元，该公司计划采购八、两种型号的机器人共30台，必须满足每天我运的货物不低于2830吨,购买金额不超过48万元.请你求出最节省的来明方案,购买总金颔最低是多少万元？【答案】(1)饵台A型机涔人好大搬运货物90吨，则每台8型机器人摊大搬运货物100吨；(2购买八型机器人17台，8型机器人13台时,购买总金颤最低是46.4万元.【分析】(1)设传台A型机器人每天搬运货物X吨.则每台8型机器人每天来运货物(XtiO),根据“
23、八型机器人每天搬运54吨货物与8型机器人斑天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可对解：先根据题意列出元一次不等式组，解不等式组求出m的取优范围，再根据超感列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案.【解答】解：(I)设每台A型机涔人施大搬运货物X吨.则班台/J型机器人每天搬运货物(x+IO)吨,由题意得：=襄，XX+10解得：X-90.当x=90时，X(XH0)0.=90是分式方程的根，a+I0=9O+I0=I00.答：何介A型机器人新天未运货物90吨,每什B型机湍人每天搬运货物I(X)吨：谀购买八型机器人州台，购买总金额为，万元，山的二价190m+100(30-m)N2830田虺
24、息除11.2m+2(30-m)S48解得：ISSmW1.7,W=I.2m+2(30-m)=-0.8wr+60:：-080,.w随E的增大而减小.当m=17时.H-破小.此忖W=-0.8X17+60=46.4.二购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额以低是46.4万元.3.(2023新兴县三模)某商场计划用7.8万元从同一供应质处购进48两种商品,供应商负责运输.已知A种商品的进价为120元/件，8种商品的进价为100元/件,如果件价定为：A种商品135元/件，8种商品120元，件,那么第害完后可获得利润1.2万元.该商场计划购进a,B两种商Ia各多少件?(2)供应商计划租用甲、乙
25、两种货乍共16辆，一次性将48两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和0种商品12件，乙种货车Ur装八种商品20件和B种商品30件,试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？【答案】见试时解答内容【分析】(1)设购进A种商品X件,8种商品件,由甥意列出二元一次方程组,则可得出答窠：(2)设租用甲种货车。辆,则租用乙种货车(16-0)辆,由题意列出不等式期，解不等租用则可得出答案.【解答】解：(I)设购进A种商品件，B种商品件.,w(120x+100y=78000”如心Aii1(135-120)x+(120-100)y=12000,解得北：罂答：购进A种商品400件.B种商品XK)件
26、.2设租用甲种货车“辆.则租用乙种货车16-柄，.30+20(16-)400j(12a+30(16-a)300tfy810.为整数，.,.a=8.9,10.故有3种用车方案:A种车8辆.8种车8辆：4种车9辆,B种车7辆:A种车10辆.8种车6辆.答：有3种用车方案：A种车8辆,8种车8辆：A种车9辆,8种车7辆：A种车K)辆，8种车6辆.y则下列不等式不成立的是()A.X-f)y-6B.3x3yC.-2XV-2vD.-3r+6-3y+6【答案】D【分析】分别根提不尊式的基本性质对各选项进行逐分析即可.【解答】解：A、Vxy,-6y-6,故本选项错误：8、.33a故本选项播误；C、Vxy.-x
27、-y.-2xy,-3x-3,v,-3x+64(j)2x-13解喉2,故选：C.3 .小红好分钟蹋鞋子的次数正常范附为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为()A.5OWxW8OB.SOWXVsoC.SoVKV80D,5Ox8O【答案】B(分析】直接极抠遨感可得5Ox.【解答】解：小红每分钟踢屋子的次数正常范困为少于80次,但不少50次.用不等式表示为SOW;mA.，”m所以故选：C.6 .下列说法不正确的是(A.若b,则-4b.W1J1-ab.则a+xb+x【答案】B【分析】根据不等式的性侦，即可解答.【解答】解：.若,则-4b.WJI-Ab,则/x*,此选项不令题.痣.故选：B.(2x+
28、317 .不等式址上2A. 0个B. 2个C. 4个D. 5个【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集.根据口诀,同大取大.同小取小.大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解堤.【解答】解：解不等式2x+3J1.得：*N1.解不等式彳工V1.W：r3.则不等式组的解集为-1.WxA.IB.2C.3D.4【答案】C【分析】根据不等式S3件出选项即可“【解答】解：满足xW3的段大整数X是3.故选：C.二.中空Je(共4小题)9 .不等式俎一3的解集是-5V.Y3.1.2x+100【答案】-5x3.【分析】分别解出年一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果.【解答】解：解不等式*
29、-3V0,xO.得x-5.,该不等式组的解集为-5x3.故答案为：SVV3.10 .若关于X的不等式3x+1.VWJ的正整数解是1.2.3,则整数，”的最大值是J.【答案】见试即辞答内容【分析】先解不等式得到xv；(m-1),再根据正整数解是I.2.3得到3Vg(m-I)W4时，然后从不等式的蟀集中找出适合条件的最大整数即可.【解答】解：解不等式3x+IV，m-I).关于X的不等式r+1.n的正整数解是1,2,3,3m-I)W4,I0w1.3.二整数，”的最大侑是13.故答案为13.II.定义：如果一元一次方程的斛是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程.若方程8-x=
30、.r、7+=3(+)都是关于K的不等式组pr2-m的相伴方程，则WI的取值范困3G-2Sm为2W-V3.【答案】见试的解答内容分析】解方程求出两个方程的解,再解不等式组得出mxw+2.极据尸3、x=4均是不等式组的解可得关于，”的不等式组.解之可行.【解答】解：解方程8-=x,得：.=4,解方程7+x=3(x+).得：x=3.由X-2m.得：XWzn+2.Ihxm.=3=4均是不警式组的解.,.m4.2mxX+5【答案】IVNW【分析】先求出柘个不等式的解集,再根楮找不等式组解集的规律找出不等式组的解案即可.【解答】解俨+D灯(3x1.解不等式融1则不等式组的解集为IVx/.14 .昌云中学计
31、划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪,若购买1个大地球仪和3个小地球仪学用136元：若购买2个大地域仪和I个小地球仅需用132元.求每个大地球仪和斑个小地球仪各多少元；吕云中学决定购买以上两种地球仪共30个,总费用不超过960元，那么吕云中学G多可以购买多少个大地球仪？【答案】见试曲解答内容【分析】(1)设储个大地球仪A元，集个小地球仪,r元，根据条件建立方程殂求出其解即可：设大地球仪为“个，则小地球仪为(30-:个，根据要求购买的总费用不超过960元，列出不等式解答即可.【解答】解：(D设每个大地球仪X元,每个小地域仪y元，根业;Jffi速可得：(X+3y=136(2xy=132,解得:一箓
32、有：科个大地球仪52元，每个小地球仅28元：963C-wA.-5m3B.-3m5C.3nr5D.-5m-3【答案】C【分析】根据第冰限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可.【魅答】解；点尸m5)在第三象限.(1.-1.m0(1.)U-53,解不等式得，”5.所以，”的取依冠围是3-3,则不等式用的解柒为-3-1解集的一部分,则a的取位(-52x-15“范围是()A.OVQWIB.0D.-1.Ji0、a-I的解集，再求出答案即可.解不等式，Wx-I,解不等式组，得-2WxW3,所以不等式组的解朱是-1.xE3,分为三种情况：当。-I的解集是XV-I：不等式组是关于X的一元一次不等式av-1解集的一部分.当”0时，不等式arI的解集是x-；不等式组的解集是关于X的一元一次不等式如-I解集的一郃分.-1.-1变成0-1,此时不是一元一次不等式，舍去，即“的取值范用是TVaS1II.a0.故选：D.5.如图，按下面的程序进行运算.规定：程序运行到“为断结果是否大于28”为一次运算.若运算进行了A.2x4B.2x4C.2x28解得：2D.2A.5【答案】C(x-2(x-)的解为非负整数.且关于X的不等式组2A+x、有(x,可以求得Jt的取值福围,从而可以求得符合条件的祭数A的值的和，
