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1、专题1.6空间向量与立体几何综合检测2考试时间：120分钟；满分：150分姓名：班级：考号：考卷信息：木卷试题共19题，敢选81S,多造3题，填空3题，解答5题，满分ISO分，限时ISO分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年N题，练刘础，提能力！选算黑(共*小题，设分却分，每小JBS分)1. (2024二下江苏盐城,阶段练习)己知向最“=(1,1,0),5=(-1,0.2),若*“+与2”-在平行，期实数A的值为()A.-B.IC.-2D-2【答案】C【分析】根据已知条件结合向量共线定理求耨即可【佯解】因为O=(U.0)6=(-1.0.2).JVfWJtn+h=J1.(IJ-O)+(
2、-1.0.2)=(k-1.Jt.2).2-=2(1.1.0)-(-1.().2)=(3.2.-2).因为场+B与1.所以/E唯一实I1.使后+6=以痴-加.k-=3所以内-IA2)=2(3.2.-2),M以k22=-22故选：C2.(23-24高：上,内蒙古赤嵯期末)己知支间四边形ABco中，OA=，OB=6,OC=C点N在BC匕旦CN=2NB,W为QA中点，则MM等于(I工；IA.-06+-c12IB.-0+-6+-c233D.-d-6-c233【答案】B1分析】f1.，M啊向:运算求得正确(i-fV=ON-OM=OB+BN-OA=OB+-BC-OA232故选：B3. (2024高二下福建度
3、门阶段练习)在正四梭椎P-A8C。中，=+4+1.2=5.所以AO=；AC=1(32)2+(2)=3.PO=yJPA2-AOs=25-9=4所以该四校锥的体积为g(32);4=24,故选：B4.(2024河南焦作三模)在校长为4的正方体ABCD-AIB1.e1.D1.中,点E、F分别在核AA1和ABE.fiCiEJ-EF.【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出G.E.F坐标,WI=IC1E1.EF,求出IAFI满足的关系式,然后求出最大值即可.【详解】以AB,AD,AA1.所在H战为X.,Z轴，建比空间口角坐标系如图所示，则C1.,设E.u;；O1H所成用的IkU伯为叵.IO故选：A.6.
4、 （23-24高二上浙江杭州期中在正方体ABCD-AqCQH,二面角A-80-A的余弦值为（）A.iB.J1.C.立DW2322t答案】B解析】分别以。4。仁。A为xFz轴建V如图所小同“角FM1.：法向fit后可得所求：面角的余弦值.注:解分别以DA.DC.DD1为Ky.二轴世立如图所，；、，间门角坐标系.设正方体的校长为1,可得0(0.0,0),(1,1.0).4(1.0.1),(1.0.0).t+Z=Ox+y=0IIUUU1.BI设”=（）？TmA8。的个法小，；，.1?=：）,即n-BD=O取X-1.得yz7.，,平向AB。的一个.向Ift为J=（1.-1.）ZM1TiinAWX，平面
5、Aff1.）的一个法向状为M=（0.0.1）Z岚“镰111.邛所以.I1.rftA-BD-A飒余弦鼠吟.故选:B【点睛】方法点聆：本题考查求二面角的余弦假,用向地法求：面角大小的两种方法：1）分别在二面角的两个半平面内找到与桢重汽H以垂足为起点的两个向W，则这两个向优的夹角的大小即为:面角的大小;%标,设NAOC=G&示出AJm,进而徨到M.CZ结合向量夹角公式和三角函数，即可求解最值.【详辞】ti1.1.W.取初中点。.连接Aa8切OC方向为工轴.OD方向为y轴，垂直于底面“D方帧“建日，IH系.山=f1.D=ZM=4,c=cc=2忘UrMAABD为个边三角形,!?CO为:物?直角三向形，故
6、CC1.班）.AOJ./）.的你A-BD-C的Y附为为/AOC,设NAOC=依则C(2,0,0).J(0,-ZO),(0,2.0).A(23O,2zn),H=(23cw12,Asi11),CD=(-2,2.0),则coscr=BCD1.-4cos0,111,1X2._I正一.ZA.yj,COSGj-,g.1.-3cos6-2.+y,所以COS4的G大住为故选：B二.多逸题（共3小题，设分18分，每小题6分）9. （2024高：上山西运城阶段练习）下列关于空间向此的命题中，正确的有（）A.若向JIt与空间任造向量梯不能构成基底则,避：B.若非零向砒,b.C满足“4,c.则有t三演C.若。A.OH
7、.比是空间的一组基底,且“=A+；O8+：OC,则AB.C,。四点共向：D.若“.c是空间的一组基底,则向量“+c.c+也是空间TI1.基底：【答案】ACD【分析J根据空间向量荔本定理，艇作为J底的向量一定是不共面的向量,由此分别分析判断即可详解】XjrA,芥响MfFcr;不佳构成花底，则可得向量力,5是北葭向*,即布，所以A正确,对于8,若落学向月：,）满足力5,1.o剜向量Z与Z不能确定.可能平行.所以BJJC.之是空间的一组基底.所以对JF个向盘ff,存在唯一的实物概y,z).使=Xa+.W-言:仿+)+J+；=,(5+1)+K+；-)(+$,所以向仄“+/八*+I.+也足空4/4间一组
8、基底,所以D正确.故选：ACD10. （2324高二上河北保定期末）如图.在四极推P-AOC。中,M1.T1.fihWCD.ABCD.ZABC=.AB=PA=CD=1.8C=2,W为尸。的中点.则（）A.宜线8M与平面PBC所成角的正弦值为竽B.直践BW与平面P8C所成角的正弦值为(C点M到平面PHC的距漓为企D.点JW到平面PHC的即离为，【答案】BD【分析】构造空间直角坐标系，求出千面PBC的法向量K分别利用W晌I世而竹角的正弦值点而距的解答过程.即可求豺答案.【详解】如图所示.以A为原点,CC中点和A的连线,A8所在也设，W所在直线，分别为X轴，y轴，2耗，建立空间直角坐标系.所以8=(
9、WPB=(OJ,-1),PC=(22.!.-1).设1.fPBC的法向：.；11(x.乂z),可汨PBh=OV-Z=O，即:厂PCn=()1.22x+y-z=0解得X=0,)=z,K(fty=.IC1.n=(OJ1I).所以cos8M,n)=即且践则与平面/WC所成珀的正弦值为g.故选项A错误，逡项B正确.乂iBMI-cosHM,)=X；=*即点M到平面PBC的距离为4.故C错，D对.故选：BD11. 满足IM+*m=4【答案】ABC【分析】利用纹面TiJ的判定定理可以iM3.的r)MJftrA：让；，FiJt尔坐k菰行到A(20)W(0.2.1),Pay,2)1.02,OM)W2,进而对BC
10、D各健行请集Ift证即可判断并【详解】对于A,取4G的中点O.AG的中道N,又点M为CC,的中点,山正方体的件而KMQ队D.MQa111.DAOT(JBDA、所以MQIfT1.h;BDA同轩NQT-1HDA1.MQNQ=Q.MQ.NQc-aMQN.所以7f!BDA1.又MPUT1.f1.MQN.MPH中而BDA1.祗.tP的轨迹为线葭NQJrT0,故A,f:以D为酸点,分别以Q4DC.OA为“八：轴建M竹山工用生心菰则A(NO1O)./(0.2.1).atP(,2)fiOx2,OVyM2.AP=(x-2,y,2),MP=(,x,y-2,),AM=(-2,2,1).Xtj8.ffP-2+2(r-
11、2)+1.-2x2y-3-().即丁=X+,乂O4K2,0y2.则点P的筑迹为戏段EAf,.2,F(g,2,2)且EF=J=故B正确:MJC,AP-MP-(X-2)(y-2)y+2-2-2+y2-2y*2-(Ar-1.)+(y-1)2.1.1.S,(f=1.,V=I1.bi.八PWP=O.即APIA/。HFJP涵，1.NAPM=，故C44Ztx,满足PA4PM=4-故。者世.故选：ABC.三.填空J（共3小愚，清分15分，每小J15分）12. （2324高二下四川成都期中）tai1.?1,一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条校长都为。，且它们彼此的夹角都是60，则AG的长为.
12、【空案】向，分析hAC1=丽+配+CC；两边同时)方然展开NQ即可.【佯解】Ae=AA+8C+MAIAC112(Af1.tBC+CCyA1.f+tiCCC11+21.iUC+20CCt+2BCCC1=+a+a:+2a:CoS60+2z*cos6(+2a2cc60=6a:.Af1.=y6i,即AG的氏为曲,.放答案为：Jba13. (2324高二上湖北期末)长方体八8C0-ASGP中,B=AD=2.A,=I,已知点H与A、G三点共线且AGIi1.H.则点H到平面八8C。的距国为【芥案】I【分析】利川坐标2，KU1.InJii1.A-.：1”偿11)即求.详解、.i!iM(0.0.0),q(2.2
13、.1.),Bi(2,0.1).因为点月与AG三点共线且招1.耳克,AG=(2,2,1).WA=AC1.=(2,2.1)=(2,2,),WH(1.2,),GOfiH=(2-2,2Z-I).aB1.HCt=(2-Z2,-1.)(Z2.1)=41.-4+4+2-1.=0.51.1.1.u(WIO5)9k999F至:TiUA8C。的江例为今故答案为:14. (2024高二上浙江阶段练习)在正三极锥P-AfiC中,Aff=2Pa=43为BC的中点，F为AE上靠近八的三等分点，M在平面A8C上，且满足“EMF=-3，N在二ABe的边界上运动，则直规/W与PN所成用的余弦值的取值范围是.【分析】分析可知M的
14、轨迹以点G为眼心,1径长为1的Bh分析出NM/W取被大值和最小值时点M、N的位置，卜用余弦定理可求得立线PMjPN所成仙的余弦值的最小值和最大,可得N详解P在平面ABC内的射影为点G,则G为正AA8C的中心，.EhBC的中点,则AEBC.以点G为坐标原点，C6.AE.G)的方向分别为s、Z轴的正方向建立如下图所示的空间直希坐标系.VPG1.TufuMfiC.AGU平面人BC.PG1.AG,.-,PG=yPA-AG2=242-则A(O1.TO)、(0.2.0),F(0,-10),川2赤.2.0)、c(-23.2.).P(,.2tPMIjPN所成角的余弦仇的取M5成足故答案为：印制（.M1.关慢点
15、点师：本IS考查舁面直境所成用余弦值的取值范用.解本JB的关键就必要通定点M的轨迹,确定ZMZW1.kfi大值和四小值时的位）,再结合余弦定理求解.四.解答愿（共5小J1.,第15题13分，第16、17号15分，第18、19禺17分，分77分）15. （2324商二上北京丰台期中）已如向量;=（132），1.=（-2,1.4）.e=（5,1.,x）（1）若“1.1.QC-O.再Ih数枳的坐标运算即叽(2)模长公式的坐标运算即可. 3)利用空间其面向Ift定理即可.详解(3二/0c=rU5+3+2=O.团x=-4.ai=(1.t3b2).=(-2J,4)r02i-=2(1.2)-(-Z1.t4)
16、=(4.5.0).!2-=42+5-=4T 3)若Kb,不能构成空间向城的一个亥底,WIc1Ja-，共血,故存在唯的煲数对(，)，使褥c=”“，+”/,，HJ(5,1.x)=m(1.3,2)+n(-2,1.,4).(5J.)=(m-23m+出2m+4)，m=1,n-2.x=-6，-2=5由%+=.2m+4=.r16.（23-24海下江苏扬州期中）如图，在正方WM8C）-A4C。中，分别是儆.C。的中点,用空间向此知识解决下列向题1求证：D1FIDE（2求证DF1平面ADE.【答案】（1）证明见解析:2）证明见解析【分折】（1）以CAoGCR为z他建立在间H角坐标系.出卜方作边长为2.f1.jJ
17、MF=（0.1,-2）.DE=(2.2.1),故HFDE=Q.存免证明.计算八E=(0.2J),计。/)/AE=O,WfiJi:?Vj.【讦解】(1)如图所示：鼬DC,M为马鼻鹤建立空间直角坐标系.设正方体边民为2,则。(注0.2),F(0,1.0).(0,0),E(ZZ1.),A(2,0,0).D1F=(0.1.-2),DE=(ZZ1.),故Q尸班=0+2-2=0,葭DFI.DE.AE=(0.2J),故AE=O+2-2=O,KiD1.F1.AE,乂D1.1.CE,4OE=E,故RFI平面ADe【点跖】本鹿考1J利用空向向量证明线段庭直.线面垂直,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.17.（
18、2024密二江苏课后作业）如图，在校长为1的正方体ABCD-A中,1是底面A8CO的中心,求点A到口战AfP的距离；求点C到平面4。8的距疡.【分析】1以D为原点,/Dc/g所在直筏分别为X轴，v,Z轴，建立空间直角为标点,利用向K法证巩PA,PM，从而只。求线殴AP的长即明.PV/2)It1.以。为原点.Q1.DGDA所在口线分别为X轴.)轴,小臻返国i窗坐标系如图所示.则A(OmQ3obWW，所以PA=G-；1PM=卜/;),所以PApM=-!-!+I=O.所以。AJHH.442所以点A1到仃线MP的距离为线由AP的长.乂囚为，48/)；-1匕与、万的等边：角形.为8。上*,所以AP夸.即
19、点A倒直践加的距离述.2D(0.0).C(0J.0),(1.1.0),所以CS=(U),0),Dfi=(1.1.O),AW=Zf1.(1)缸班_1./A九所以PM1AiDBY1个法向量.所以点C到平面ADB的距M1.d,12因为由丽=_；+；=0,所以P1.)418.(2324高二下浙江宁波期末)如图,在五面体ABCOM中.四边形八Ba)为龙形.8?C为等腰宜角三九形,且尸C_1.8?.而WmIftiABCD.EFMB.H4EF-4.ZJC-22.求证：BE1CF：在线段,18上是否存在点r.使得/)r与平面Ab所成角的正弦假为咚？若存在.请求H;仃的长度：若不存在，请说明理由.【答案】(D证
20、明见解析:(2)8T=g或87=3.【分析】(1)利用面面垂直的性质、线面率R的划定性质推理即行./取8C的中点。，顾型I原点，淋立空间面角镯，设8r=,(014,4%,求出平面Ab的法向I1.再利用线面向的向玳求法求解即得.【详解】(1)由矩形ABo得AB/BC,而平面灯1.平面AeQJ,Fift1.Bac邛面ABCD=C.BaVABCD.AB1.rhiCF.ZCFc1.ft1.fiCF.IBCF.而FC1.FB.EFHAB.BBF=B.B.BFUr向AHFK.因此CF1iFiI1.;ABFE又BEU平面AHFE.所以BEw.2取BC的中点。，作QrMB,连接W,由(1)知,Ox1.T1.f
21、tiBCF.而OFu1而BCF.如Ox1.OFZFC1.Ffi.FC=FTi.则OF一AC，即。8。尸两两垂工，以O为原点，fi线Ox.OB,OF分别为X、y.Z建立空Ii-Ji用坐标系.假；U3W1.jtAT,使得079丫面ACF所成角的正弦俏为弓=344),则4(4.0).B(0.72.0),C(0,-.0),D(4.-,0).F(0.0.).(,2.0).CA=(4.2O),CF=(O,),DT=U-4.22,0),设平而ACF的法向7=&.，：），则令K=I,f*i=(1.-y2.V,tC4=4r+22y=0n-CFJ1.y42z0是IcOM”.O7=j%=TX1=.整理行21-7+3
22、=0解/I=：或r=3.I11p（f-4r+832所以在线段回上存在点T.使句DT丫而ACF所成角的正弦值为更.此时或87=3.19.（2024想龙江三模）己如正三核柱A8C-AB中，所有校长都是3,点E分别是践段叫和AC上的点，BD=I.C并证明：2）若出线CE与平面BCC1B1所成角的正弦值为噜.求二面角C的余弦值的大小.【答案】（I）QjAC：；?.1.IAC=3AE.证明见解析；12）-亘IO【分析】）取为AC的学分点.I1.Ae=3A.过EWEfm1.1.EK=CC1.=8。仃到四边形HEKD为平行四边形，有1三K）,由线面平行的判定可得8比平曲八/也：设AC中点为M,设4G的小点为
23、P,分别以MA.MB.A,P所在亘线为X,y,:轴建立空间五用坐标系.由直线GE与平时Sg4所成ff川J正弦优为曙.“用上1.内（g.O.o）然兀分刈求出平冏ABE与Tufti的一个法向批,由两法向Jft所成角的余弦值可得二向角小8G的余弦（1.t【洋嚼】（I）IUE为AC:等分点,J1.C-3AE.过E作CG.则KK=gcG=川）,所以8KK/）为平行四边形.所以RE/KD.又BE(Z.ADC、.DKcADCt.所以M平而ADG.汇华:(2)设AC中点为W.设AG中点为夕.分别以AM.MB.AfP为.y.二便、工空间立角坐标系.设丫而BCC1B1个M：“JM为，=(X.V.Z).,m-CB.r+V三01.f.-I1.K22取x=-6ZM-CC1=32=Oif!)nt(-61.0),设点坐标为E(a00).纯GE与甲而8CG4所成角的正弦/为可用E点坐你为同厂,。叫,即AC=3A.易求Ti1.1.ABEiA1.1.v.n,=(0,0.1).设丫而8EC；法向最外=(xq).乂因为二而向A-BE-G为地角,所以所求余及片为-叵.10.tW本题考查直线与平面平行的证明,二面角的平面角及求法,立体几何中的探索问题等知识,意在考克学生的粘化能力和计豫求解能力,对于二面用的求法,通常需要建立适当的空间直角坐标系,求出口线的方向向收和平面的法向球，即可求解，属F常考题型.
