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1、专题11立体几何(I)(讲义)01I、空间几何体的结构特征(I)多面体的结构特征名称梭柱m核台图形9：ABD,BAB底面互相平行且行善多边形互相瑾U扪似侧梭平行且相等相交于一点,但不一定相等延长延交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋料体的结构特征名称画柱m囤台球图形囹I盒圆母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于二轴截面矩形等腰:用形等腰梯形圆面侧面展开图姬扇环11、简单几何体空间几何体的类型1多面体：由若干个平面多边形圉成的几何体，围成多面体的各个多边形叫做笠面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的桢，桢与棱的公扶点叫整多面体的顶点。2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内
2、的一条定直线施转形成/封闭几何体.其中这条H线林为旋转体的轴.几种空间几何体的结构特征1粳柱的结构特征梭柱的定义，有两个面互相平行,其氽各面都是四边形,并且年相邻两个四边形的公共边都互相平行，出这些面所困成的几何体叫做板柱。棱柱的分类棱柱的性质斜核柱极杜K白核口.tt乂他枝柱例极都相等，侧面是平行四边形：（2两个底而与平行于底面的极面是全警的多边形：过不相翎的两条侧棱的截面是平行四边形:,那么：Coea+cos*+cos2=1sn*a+Sin节+sin2=2长方体的一条对角线AC1.与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为a、6力则:COS%+COS3+CoSZY-2图1-2长方体sin1a+s
3、in1+sin2-I枝柱的测而展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面局长和侧极为邻边的矩形.校柱的面枳和体枳公式图1-3园柱SnW=ch（C为底面周长，h为梭柱的高）S11n=C-h+2SV1.tn=Sah2I1.柱的结构特征2-1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旗转而形成的囿面所用成的几何体叫眼柱。2-2网柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆：过轴的豉面（轴截面）是全等的矩形。2-3傀柱的例面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和管城长为邻边的地形。2-4网柱的M积和体积公武SM1mii=211rh（r为底面半径，h为圆柱的岛）Swi+-2K
4、rh+2xr2Vmu=Snh-11rh3梭像的结构特征3-1梭锥的定义梭锥：有一个面是第边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所困成的几何体叫做极谁,正核稚：如果有一个桢锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的极批叫做正校推.3-2正技椎的结构特征(1)平行于底面的版面是与底面相似的正多边形，相似比等于丁灵点到裁面的距离与顶点到底面的距离之比:正梭锥的各侧梭相等，各仰面是全等的等腰三角形；(3)正极锥中的六个元素，即例棱(SB)、r(SO),科高(SH)、恻校在底面上的射影(OB)、科裔在底面上的射影(OH、底而边长的一半(BH),构成四个直角三角形(三角形SOB
5、、SOH.SBH.OBH均为直角三角形).3-3正核锥的恻面展开图：正n极锥的IW面展开图是由n个全等的等腋三角形组成。3-4正核批的面积和体枳公式S.*n=ch-(C为底面周长,If为侧面斜高)S.*rR为上下底面半径)Sr”.11r2+R2+11(R+r)1.V*=1/3(xr+11R-+XrR)h(h为一价的高)7球的结构将征7-1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半版旋转一Wi形成的旋转体叫做球体,空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。7-2球的结构特征球心与截面圆心的连找垂出于被面；破面半径等于球半径与截面和球心的用离的平方差：1=R?-/
6、7-3球与其他多面体的蛆合体的问遨球体与其他多面体组合.包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是：根据即意.确定是内接还是外切，画出立体图形：找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图：将立体问题转化为平面几何中IJ1.1.与多边形的问想：注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体时角线：球外切正方体，球I1.径等于正方体的边长，7-4球的面枳和体枳公式Sg=4xR2(R为球半径)V*=4311Rj皿、空间几何体的视图1三视图：观察者从三个不同的位词观察I可个空间几何体而画出的图形。正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图.网视图：光线从
7、几何体的左边向右边正投影,得到的投影图，邮视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。注曲(I)俯视图画在正视图的下方.“长度”与正视图相等:(W视图画在正视图的右方，“高度”与亚视图相等,“宽度”与俯视图相等.(正侧一样高.正箭一样长，俯仰一样宽)正视图、(W视图、的视图描是平面图形.而不是直观图.2直观图2-1直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而亘出的图形，立观图通常是在平行投影下伍出的空间图形.2-2斜二测法做空间几何体的直观图(!)在己知图形中取互相垂1的轴Ox、0)，即取NNOy=90：画直观图时,把它亘成时应的轴Ox、Oy,取NxOV-4S。或135。，它们
8、确定的平面表示水平平面:在坐标系xy中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变：平行于X粘的线段保持长度不变：平行于y轴的税段长度减华.结论；采用斜：测法作出的且观图的面积是原平面图形的22-3解决关于直观图问题的注意事项V（1）由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“情视图”：由几何体的直观图Aj三视图时,能存见的轮廓线和枝值成实纹，不旎后见的轮廓线和极而成虚线.IV、方法归纳I一、基本立体图形命题点I结构特征例I下列说法中正确的是）A.H四桢柱是长方体B.棱惟的侧面只能是三角形C,通过圆台侧面一点，有无数条母线D.以百角三角形的一边所在直线为版转轴,其余两边旋转一周所困成的扰转
9、体为K1.锥答案B分析逐项判断即可.时于A,直四棱柱底面不一定是长方形：时于氏根据梭锥定义，例面一定是三痢形：时于C,通过10台侧面一点只有一条理线：对于D以直角三角形的一条斜边所在直线为旋转轴,其余两边旅转一同所围成的旋转体不足例推.解析直四棱柱不毡长方体，底面不一定是长方形，故A错误：根据极锥定义，侧面一定是三角形，故B1.E确：通过圆台侧面一点，只有一条母线,故C错误：以直也三角形的一条口角边所在宜践为旋转轴，其余两边旋转周所困成的旋转体为随锥，斜边不行，故D错误：故选：B.方法归纳：空间几何体结构特征的判断技巧（I）紧扣结构特征是判断的关键,依据条件构犯几何模型，在条件不变的情况卜变换
10、模型中的线面关系成增加线、面等基本元素.然后可依据题意判定.（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.命题点2真观图例2如图.直角梯形O1ATTC满足OAOC.O,A-A1.f2.OC-3.它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（）答案C分析结合斜二测画法的规则,将出视图即H角梯形。八外0还原成平面图形.结合勾股定理算出界边长股即可求解.解析由感意OV=OC=3.A/=M=2,由AffHOCUJfJ)B!/OC.由,c.AB,c-45.a,b,uc.可得Z,OA,=ZA,H,(=45,所以OA8=W.而。rAr2.所以08=2(XB,=222+2j=42结介斜：测画法的规
11、则,将曲观图即直角梯形(MEU还原成平面图形,如图所示：小勾股定理可得AO=J(42f+22=6BC=42+3:=向.所以满足时意的平面图形的周长是2+6+3+T=1.1.+JT故选:C方法(11纳：(1)在科二测血法中,要确定关键点及关杨线段.平行干X轴的线段平行性不变.长度不变:平行于轴的线段平行性不变，长度减半.(2)按照斜：测国法将到的平面图形的直观图，其面枳与原图形的面积的关系：Sneft1.=命题点3展开图例3甲、乙两个01徒的母i长相等，侧面展开图的圆心角之和为2%国椎的高分别为心和b，1川面枳分别为&和SS若*=2,则A)A.2B.5C.H)D.叵4答案D分析设出母线长、圆心胸
12、及底面半径后计算即可得.解析设甲、乙两个圆锥的母线长都为/,底面半径分别为彳、4，恻面展开图的圆心角分别为a、B，则a+*=2,_a1.：则-2故=2尸.S乙1.f1.P即有a=牛，/?=y.211r,=a1.,UJr=-1,2113同理2叫=皿，即4=4=：,故选：D.方法归纳：多面体表面展开图Ur以有不同的形状，应多实践,观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系,一定先观察立体图形的好一个面的形状.二、表面积与体积命SS点I表面枳例4(D在母线长为4,底面直径为6的一个即柱中挖去一个体枳最大的B1.链后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为()A.33nB.3911C.4811D.5711
13、答案C分析该几何体的表面包括原圆柱侧面,原困柱一个底面及。徘侧面,分别计算出各面面枳即可得.解析体枳爆大的圆锥的母线为=7r=r=5,则Sf=m+t+911-112xC11611A.B.C.D.3333答案C分析取点。在母线M上且SD=SP=2,可证明三梭锥O-4K:与三棱推P-ABC外接写相同，可由正弦定理求出三角形AABD的外接国半径即为外接球半径得解.解析如图.设点D在母线SA上且SD=SP=2.因为ZAC8是百兆Jf1.形，所以三桢锥P-八8C外接理的理心在SO匕由VSDEWASPE,可如EP=D,即：梭锥尸-A8C外接球的理心月也是三梭锥/)-ABC外接球的球心，旦两个外接域的表面积
14、相等.IhAo=Co=80,卷川?。的外心即为二枝椎八Ba)外接球的球心ABD中，BD=JAD2+AB:-2ADABcosDAR=4+62-246=27.所以曲的外接回的直径2人鼻sin6003所以三极锥尸-八成外接球的表面枳是垢/;(2/?)等,故选：C.方法归纳：(I)多面体的表面积是各个面的面枳之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面枳与底面面积之和.(3)组合体的表面枳求解时注意时衔接部分的处理.命题点2体积例5已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个表面枳为20n的球面上，该冏柱的体积为A.SxB.6itC.511D.411答案D分析求出球的半径以及圆柱的底面半
15、径，在轴故面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱的高,从而求得网柱的体积.解析球的表面积为4nR=2（hr，可得其步径-5.阀柱的底面比径为2,半径为r=1.在轴鼓面中，可知圆柱的高为力=27=4,所以圆柱的体枳为nr%=4x.方法归纳：求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积,直接利用公式割补法把不规则的几何体分制成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体枳法通过选择合适的底面来求几何体体枳的一种方法，特别是三桢锥的体枳三、切接问JS1、定义法例1（D已知NA8C=90。.1.平面48C.若川二八8二BC=1.则四面体融8。的外接球（顶点都在球面上）的体积为
16、（）A.11B.s311C.211D答案D解析如图，取尸C的中点。.连接。A,O/1.由即意得附J_8C,乂因为A8_1.8C，1.11B=A,用，A8u平面用8,所以8C_1.平面以8,所以BC1.PB,在RI/;中，OB=PC.同理OA=PC.所以（M=OB=OC=pC.因此RA.B.C四点在以。为球心的球以上,在RtABC中,4C=AB2+JC2=2.在RIA用C中，PC=2+d=3.球O的半经R=IPC=乎.所以球的体积为小（孚）=华,方法归纳：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心.借助有特殊性底面的外接网网心.我其垂线.则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距,也是半径，列关系式求解
17、即可.二、补形法例2（1）在四面体A8C。中,若八8=CO=1AC-BD=2.AD=BC=.则四面体A8CO的外接球的表面枳为（）A.2xB.411C.611D.8m答案C艇析由即意可采用补形法，考虑到四面体A8C。的对枝相等.所以将四面体放入一个长、宽.高分别为X.AZ的长方体，并且4+./=3,r+z2=5,尸+/=4,则有（2RF=f+y+=6R为外接球的半径）,得2E=3,所以外接球的衣面枳为S=4xZ=6x.方法归纳：（1）补形法的耨题策略例面为豆角三角形，或正四面体，或对梭均相等的族型，可以还原到正方体或长方体中去求解：直一:极锥补成三极柱求解.（2）正方体与球的切、接常用结论正方
18、体的棱长为球的半径为R若球为正方体的外接球,则2=3:若球为正方体的内切琼，则2K=:若球与正方体的各桢相切，WJ2R=y2a.(3)长方体的共顶点的三条板长分别为a.b.C外接球的半径为此则2R二5可西7.3、截面法例3己知正三极锥P-八8。的底面边长为21.若半径为I的球与该正三校椎的各校均相切，则三极锥P-A8C外接球的半径为()A.品B.2C.芋D.4答案D分析作出图形，根据时意可得极切球的环心即为根而正三角形的中心。.再求出三技椎的高利用勾股定理即可求解外接球半径.解析因为球与该正三棱推的各极均相切.所以平面ABC饯球得到的他面圆马.ABC的三边均相切，所以该球的球心在过极向网网心且
19、与IzI1.iiABCafi直.的H戏上.又因为底面边长为2/,所以底面正：角形的内切酸的半径为r=：AB-Ian30=1,又因为球的半径为1.所以极切球的球心即为底面正三角形的中心点。，如图,过球心。作小的垂线交QA于”.则Q=r=I,又因为OA=2,所以AH=77,所以去=早，所以PO=芈.因为OABC外接阀的半径为OiA=2,正三棱铢P-A8C外接球的球心在P。上，设半径为A.所以=QA+（PC-Nf,即*=4+些-Rj,解得R=逑.3故选：D方法归纳：（1）与球截面有关的解题策略定球心：如果是内切球,球心到切点的距离相等旦为半径：如果是外接球.球心到接点的矩窗相等且为半径；作截面：选准最佳角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.（2）正四面体的外接期的半径R=普a,内切球的半径r=相，其半径R：r=3：1（为该正四面体的楂长）.
