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1、.线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1在四面体ABCD中,ABC与DBC都是边长为4的正三角形求证：BCAD；2如图,在三棱锥SABC中,SA平面ABC,平面SAB平面SBC1求证：ABBC；3.如图,四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形,PA底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB1求证：平面PCE平面PCD；2求点A到平面PCE的距离4. 如图2-4-2所示,三棱锥SABC中,SB=AB,SC=AC,作ADBC于D,SHAD于H,求证：SH平面ABC.5. 如图所示,已知RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.求证：SD平面ABC；若AB=BC,求
2、证：BD平面SAC.6. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C平面BC1D7. 如图所示,直三棱柱中,ACB=90,AC=1,侧棱,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M.求证：CD平面BDM. 8.在三棱锥BCD中,BCAC,ADBD,作BECD,为垂足,作AHBE于求证：AH平面BCD9. 如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且ASB=ASC=60,BSC=90,求证：平面ABC平面BSC10.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,BB1BC1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB求证：平面EDB平面EBC；求二面角EDBC的正切值.11
3、：已知直线PA垂直于圆O所在的平面,A为垂足,AB为圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。12.如图1-10-3所示,过点S引三条不共面的直线,使BSC=90,ASB=ASC=60,若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC平面BSC13.如图1-10-5所示,在四面体ABCD中,BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD平面BCD. 14.如图所示,ABC为正三角形,CE平面ABC,BDCE,且CE=AC=2BD,M是AE的中点,求证：DE=DA；平面BDM平面ECA；平面DEA平面ECA15.如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面,M、N分
4、别是AB、PC的中点求证：MN平面PAD；求证：MNCD；若PDA=45,求证：MN平面PCD 16.如图1,在正方体中,为的中点,AC交BD于点O,求证：平面MBD答案与提示：1. 证明：取BC中点O,连结AO,DOABC,BCD都是边长为4的正三角形,AOBC,DOBC,且AODOO,BC平面AOD又AD平面AOD,BCAD2. 证明作AHSB于H,平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB,AH平面SBC,又SA平面ABC,SABC,而SA在平面SBC上的射影为SB,BCSB,又SASB=S,BC平面SABBCAB3. 证明PA平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,又四边形ABCD
5、为矩形,CDAD,CDPD,ADPD=DCD面PAD,PDA为二面角PCDB的平面角,PA=PB=AD,PAADPDA=45,取RtPAD斜边PD的中点F,则AFPD,AF 面PAD CDAF,又PDCD=DAF平面PCD,取PC的中点G,连GF、AG、EG,则GF CD又AE CD,GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG,EG平面PDC又EG 平面PEC,平面PEC平面PCD2解由1知AF平面PEC,平面PCD平面PEC,过F作FHPC于H,则FH平面PECFH为F到平面PEC的距离,即为A到平面PEC的距离在PFH与PCD中,P为公共角,而FHP=CDP=90,PFHPCD,设AD=
6、2,PF=,PC=,FH=A到平面PEC的距离为4.证明取SA的中点E,连接EC,EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又CEBE=E,SA平面BCE.BC平面BCE5. 证明：因为SA=SC,D为AC的中点, 所以SDAC. 连接BD. 在RtABC中,有AD=DC=DB, 所以SDBSDA, 所以SDB=SDA, 所以SDBD. 又ACBD=D, 所以SD平面ABC.因为AB=BC,D是AC的中点, 所以BDAC. 又由知SDBD, 所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线, 所以BD平面SAC.6.证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影7. 证明：如右图,连接、,则.
7、,为等腰三角形.又知D为其底边的中点,.,.又,.为直角三角形,D为的中点, ,.又,.即CDDM.、为平面BDM内两条相交直线, CD平面BDM. 8.证明：取AB的中点,连结CF,DF, , 又,平面CDF平面CDF, 又,平面ABE,平面BCD9.证明：如图,已知PA=PB=PC=a,由APB=APC=60,PAC,PAB为正三角形,则有：PA=PB=PC=AB=AC=a,取BC中点为E直角BPC中, ,由AB=AC,AEBC,直角ABE中,在PEA中,平面ABC平面BPC.10. 证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,BB1BC1,E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形
8、,D1ED45同理C1EC45,即DEEC在长方体ABCD中,BC平面,又DE平面,BCDE又,DE平面EBC平面DEB过DE,平面DEB平面EBC 解：如图,过E在平面中作EODC于O在长方体ABCD中,面ABCD面,EO面ABCD过O在平面DBC中作OFDB于F,连结EF,EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF,又OE1,所以,tanEFO11.1证明C是AB为直径的圆O的圆周上一点,AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC,BC平面ABC,BCPA,从而BC平面PACBC 平面PBC,平面PAC平面PBC .12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D,连接
9、AD,SD.由题意知ASB与ASC是等边三角形,则AB=AC,ADBC,SDBC.令SA=a,在SBC中,SD= a,又AD= = a,AD2+SD2=SA2,即ADSD.又ADBC,AD平面SBC.AD平面ABC,平面ABC平面SBC.13.证明：取BD的中点E,连接AE,CE.则AEBD,BDCE.在ABD中,AB=a,BE= BD= ,AE= ,同理,CE= .在AEC中,AE=EC= ,AC=a,AC2=AE2+EC2,即AEEC.BDEC=E,AE平面BCD.又AE平面ABD,平面ABD平面BCD14. 证明： 取EC的中点F,连接DF CE平面ABC, CEBC易知DFBC,CED
10、F BDCE, BD平面ABC在RtEFD和RtDBA中, RtEFDRtDBA故DE=AD 取AC的中点N,连接MN、BN,MNCF BDCF, MNBDN平面BDM EC平面ABC, ECBN又 ACBN, BN平面ECA又 BN平面MNBD, 平面BDM平面ECA DMBN,BN平面ECA, DM平面ECA又 DM平面DEA, 平面DEA平面ECA15. 证明：取PD的中点E,连接AE、EN,则,故AMNE为平行四边形, MNAE AE平面PAD,MN平面PAD, MN平面PAD 要证MNCD,可证MNAB由知,需证AEAB PA平面ABCD, PAAB又ADAB, AB平面PAD ABAE即ABMN又CDAB, MNCD 由知,MNCD,即AECD,再证AEPD即可 PA平面ABCD, PAAD又PDA=45,E为PD的中点 AEPD,即MNPD又MNCD, MN平面PCD16.证明：连结MO,DB,DBAC,DB平面,而平面DB设正方体棱长为,则,在Rt中,OMDB=O,平面MBD.
