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1、-数学知识与技巧一、程与程组1.一元二次程一般常用因式分解法:2.二元一次程组消去其中一个元素即可例1: 1 212,消去y,得*=1,y=2注意:并不是任二元一次程组都有唯一解。例2: 1 2上述程有无穷多解。例3: 1 2无解。3.二元二次程组一般只考如下形式: 1 2即其中的一个程为一次。这种形式等价于一元二次程,把1代入2即可。4.不等式如果不等式两边同时乘以或者除以一个负数,这时不等式的向发生变化。如果不等式两边同时乘以或者除以一个正数,这时不等式的向不发生变化。假设a b0,a0,则b0假设ab,c0,则acb c假设ab,c0,则acb c (注意c的符号的影响)假设|*a|b,
2、则b*ab,则*ab或*a0,kp(1)n二、数列与集合1.等差数列2.等比数列,当时,例:3.集合无重复元素的序列或数列就是集合。I=A+BAB+非A非BI=A+B+CABBCCA+ABC+非A+非B+非C例:小于100的自然数中有多少个即不被2整除又不被5整除.三、排列组合与概率1.排列与组合 从m个人中挑出n个人进展排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进展组合的可能数。(1) 加法原理*件事由两种法来完成,第一种法可由m种法完成,第二种法可由n中法完成,则这件事可由m+n种法来完成。例:到美利坚去,既可以乘飞机,也可以坐轮船,其中飞机还有战斗机与民航,轮船有小鹰号和泰坦尼克号,问有多少种
3、走法.(2) 乘法原理*件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种法完成,第二个步骤可由n中法完成,则这件事可由m * n种法来完成。例:到美利坚去,先乘飞机,再坐轮船,其中飞机还有战斗机与民航,轮船有小鹰号和泰坦尼克号,问有多少种走法.2.概率第一步:概率根本原理古典定义 P(A)=A 所包含的根本领件数/根本领件总数。例1:*班有男生30名,女生20名,问从中随机抽取一个学生,是男生的概率有多大挑取两个全是男生的概率是多大呢., 例2:硬币有正反两面,抛一次正面朝上的几率是多少.连续抛两次,至少有一次正面朝上的几率是多少.第二步:使用加法或者乘法原则第三步:减法原则例题:袋中有a只白球,b只
4、红球,一次将球一只只取出,不放回。求第K次取出白球的概率。例题:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法.3.条件概率例1:一个班有100人,男生60人,女生40人,男女生当中都有黑头发与棕色头发的,其中有10个男生棕色头发,棕色头发一共有30个人,问在100个学生,随便抽取,抽到男生棕色头发的概率是多少.古典概型:乘法原则:例题:1.用0,2,4,6,9这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个.2.6同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女想间而坐,则不同的分法数为多少.3.甲乙丙丁戊五人并排站成一排,如果乙必须
5、站在甲的右边甲乙可以不相邻,则不同的排法有多少种.4.晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单.第一,3个舞蹈节目排在一起;第二,3个舞蹈节目彼此分开;第三,3个舞蹈节目先后顺序一定。挡板模型:0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 05.4本不同的书分给2人,每人2本,不同的分法共有多少种.四、排列组合和概率习题讲解排列组合题目的四个步骤:1. 古典概型2. 加法原则、乘法原则3. 减法原则、除法原则4. 条件概率讲义白皮书第28页:1 10个人中有6人是男性,问组成4人组,三男一女的组合数。答案:8 4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起
6、,问有多少种排法. 答案:95辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法. 答案: 或者 11掷一枚均匀硬币2n次,求出现正面k次的概率。12有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑色的概率. 答案:18从0到9这10个数中任取一个数并记下它的值,放回,再取一个数也记下它的值。两个值的和为8时,出现5的概率是多少. 答案:195双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率是多少. 答案:11掷一枚均匀硬币2n次,求出现正面k次的概率。 答案:26有4组人,每组一男一女,从每组各取一人,问取出两男两女的概率. 答案:27一个人掷飞标,其
7、击中靶心的概率为0.7,他连续掷4次飞标,有2次击中靶心的概率为多少. 答案:28*种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6,问连续抛5次,至少有4次正面朝上的概率。 答案:29A发生的概率是0.6,B发生的概率是0.5,问A,B都不发生的最大概率.答案:0.430*种动物由出生而活到20岁得概率为0.7,活到25岁得概率为0.56,求现龄为20岁得这种动物活到25岁的概率。 答案:五、数论自然数的理论1 自然数:正整数。如1,2,3,4,5。2 奇数:不能被2整除的整数可正可负,通式:2n+1。如-1,1。3 偶数:能被2整除的整数可正可负,零是偶数。通式:2n。如-4,-2,0,2,4。4 质
8、数:除了1和它本身之外没有别的因子的自然数。2是最小的质数,也是唯一的偶质数。1不是质数。如2,3,5,7,11,13。5 合数:除了1和它本身之外由别的因子的自然数。4是最小的合数。1不是合数。如4,6,8,9。6 奇偶性分析:1) 偶数偶数偶数 或 奇数奇数,偶数偶数偶数 或 奇数偶数2) 奇数奇数偶数3) 奇数个奇数相加减,结果为奇数4) 偶数个奇数相加减,结果为偶数5) 任意个偶数相加减,结果为偶数6) 假设n个整数相乘结果为奇数,则这n个整数为奇数7) 假设n个连续的整数相加等于零,则n为奇数。如:(-2)+(-1)+0+1+2=08) 假设n个连续的奇数相加等于零,则n为偶数。如:
9、(-3)+(-1)+1+3=09) 假设n个连续的偶数相加等于零,则n为奇数。如:(-4)+(-2)+0+2+4=010) 两个质数之和为奇数,其中必有一个是2。7n个连续自然数的乘积一定能够被n!整除。如:234,45678假设n能被a整除,且能被b整除,则n一定能够被a, b整除。其中a, b表示a和b的最小公倍数,另外a, b表示a和b的最大公约数 特别地,当a,b互质(即无公因子),则n能被ab整除。(这里用到了公式a,bab/a, b) 如n能被8和12整除,n也能被24整除; 如n能被8和11整除,n也能被88整除。9余数表示法。 如:一个偶数被7除余3,问被14除余几. p=7n
10、3,由于p为偶数,3为奇数,所以7n为奇数,n可以表示为2q+1 于是p=7(2q+1)+3=14q+10 很明显余数为10。10字母法未知数法。 如:两个两位数各位与十位恰好颠倒,问下面哪个不能是两数之和. A B121 C77 D132 E154 设两数分别为ab和ba,则(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),即和必为11的倍数 显然答案为A。11代入法。 如:余数表示法例中,既然问被14除余几,则必然结果唯一,任意代入一个数即可,比方 24,立刻得到答案10。 代入法是缺乏数论知识的广阔学员做对大局部题的法宝。12一些整除性质。1)C=A+B且A是m的倍数,
11、则C是m的倍数与B是m的倍数互为充分必要条件推论:一个数是否能够被5整除,只要看它的最后一位。 一个数是否能够被4整除,只要看它的后两位。 一个数是否能够被8整除,只要看它的后三位。 一个数能否被3整除,取决于各位之和能否被3整除。 例题:m7n8n为整数,下面哪个不能是m的值. A49 B43 C64 D78 E922)个位数为1的数任意次个位数均为1。3)个位数为5的数任意次个位数均为5。4)个位数为6的数任意次个位数均为6。 练习:求的个位数是多少. 求的个位数是多少.六、单利和复利1单利通式:a11n*复利通式:a12综合例子:年利率为12,按每月的复利计算,两年后100元变成多少元.
12、 100七、数据充分性1约定:A为(1)充分,(2)不充分。B为(1)不充分,(2)充分。C为(1)和(2)在一起充分,但分别不充分。D为(1)和(2)自己分别充分。E为(1)和(2)在一起也不充分。做题阶段:第一阶段:先看条件(1),只要(1)充分,答案不是A就是D 再看条件(2),只要(2)充分,答案不是B就是D 如果(1)(2)都充分,则答案一定是D 如果一个充分一个不充分,答案就是A或者B (只要(1)不充分,答案肯定不是A或者D)第二阶段:C是好的,E是坏的 2做题步骤。1) 读题干,假设是文字题,必须列出相应的式子。2) 先单独看(1),(2)是否充分,假设分别都充分,选D;假设其
13、中一个充分,则选A或B。3) 假设都不充分,则看(1)和(2)加在一起是否充分,假设充分,则C;否则选E。3 特点。1) 不需要求出具体值,只需要知道求出即可。例:买一打12个罐装汤,问降低后的价格比起原价格廉价多少. C1原价一美元三个。 2降低后的价格一美元三个。 2) 字母不代表具体的值,应确定字母的值以后,才决定充分与否。例:W- w 0 E(1) W= a+ b (2) w = a- b 3) 选C时应该注意是否可选A或B。例: A1|*|=2 2*0 4) 唯一性。例:*. A1*2 2练习:蓝皮书234页114题114. Pam and Ed are in a line to p
14、urchase tickets. How many people are in lineE(1) There are 20 people behind Pam and 20 people in front of Ed. (2) There are 5 people between Pam and Ed. 5) 不矛盾性。例:两辆火车相对行驶,同时开出,距离500英里,问多长时间后相遇.C1其中一辆速度为200英里每小时。2其中一辆速度为300英里每小时。6) 否认性。例:*0. B12白皮书17页例题 例:假设n=kp且p0,kp D (1) (2) 7) 关于程组的解。例1:唯一根 D 12
15、k=2 例2:根不唯一,结果唯一 D 1 2 例3:唯一根,则*y(*+y)= A 1*y=6 2*-y= -5 例4:根不唯一,结果唯一,则*y(*+y)= D 2注意:如果一个数是一个完全平数,则它的因子的个数一定是奇数 问一个数有多少个因子,先把它进展质因子表达展开,然后乘以指数1即可 假设一个数有奇数个因子,则这个数一定是另一个数的平笔记:两个相差为m的自然数,其公因子一定是m的约数。推论:两个相邻的自然数一定互质。 两个相邻的奇数一定互为质数。 两个相邻的偶数最大公约数一定是2。第三章 几3.1 平面几1 直角三角形勾股定理。a2+b2=c22 两直线平行,错角相等,同位角相等。3
16、圆心角是圆角的两倍。4 面积与长。 三角形边长为a,b,c:面积=1/2 absin是a,b两边之夹角对于直角三角形,=90,S直角三角形=ab 。对于等边三角形,=60,S等边三角形=。长=a+b+c 梯形上底为a,下底为b,高为h面积=a+bh/2 平行四边形边长为a,b,高为h面积=ah长=2a+b 矩形边长为a,b面积=ab长=2a+b 形边长为a面积=a2长=4a 圆半径为R面积=R2长=2R5 多边形角和:n-21803.2 立体几体积和外表积:1 长体边长为a,b,c体积=abc外表积=2ab+bc+ca2 体立体边长为 a体积=a3外表积=6a23 圆柱底面半径为R,高为h体积
17、=R2h外表积=2R2+2Rh3.3解析几1 关于对称。 坐标(a,b)关于y=*的对称点为(b,a) 坐标(a,b)关于y=-*的对称点为(-b,-a)2 直线程。 y=k*+b 斜截式,k为斜率slope,b为截距intercept */a + y/b =1 截距式,a为*轴上截距,b为y轴上截距 (y-y2)/( *-*2) = (y1-y2)/(*1-*2)两点式,(*1,y1),(*2,y2) (y-y1)/(*-*1) =k 点斜式,(*1,y1),斜率k例:请写出*轴与y轴上截距分别为20和30的直线程在*,y0条件下的整数解。第四章 统计1. 算术平均数arithmetic m
18、ean。E=当a,b0时,下式成立,当a=b时取等号。 调和平均, 几平均, 算术平均,加权平均或平平均2 期望e*pectation在GMAT数学中,期望就是算术平均。通常计算出来的算术平均都用E表示,这个E就是期望英文的第一个字母大写。3 偏差deviation一个数列中ai项的偏差di=ai-E4 差varianceD=缺陷:单位有平5 标准差standard deviation=6 中间数median求法:先排序,后取中。比方说一个数列1,2,4,5,3,求它的中间数时,应该先排序变成1,2,3,4,5,然后取中为3。如果数列含有偶数个数,取中间两个数,然后取这两个数的算术平均。7 众数mode定义:数列中出现次数最多的数。比方说一个数列1,1,2,2,3,它的众数或者是1或者是2。8 围range定义:数列中最大数减去最小数所得的差。. z.