三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc

上传人:夺命阿水 文档编号:21760 上传时间:2022-07-12 格式:DOC 页数:11 大小:910.71KB
返回 下载 相关 举报
三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc_第1页
第1页 / 共11页
三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc_第2页
第2页 / 共11页
三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc_第3页
第3页 / 共11页
三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc_第4页
第4页 / 共11页
三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc_第5页
第5页 / 共11页
点击查看更多>>
资源描述

《三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形重心外心垂心内心地向量表示及其性质.doc(11页珍藏版)》请在课桌文档上搜索。

1、三角形“四心向量形式的充要条件应用知识点总结1O是的重心;假如O是的重心,如此故;为的重心.2O是的垂心;假如O是(非直角三角形)的垂心,如此故3O是的外心(或)假如O是的外心如此故4O是内心的充要条件是引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记的单位向量为,如此刚刚O是内心的充要条件可以写成,O是内心的充要条件也可以是 。假如O是的内心,如此ACBCCP故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);X 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,如此P点的轨迹一定通过的 A外心B内心C重心D垂心解析:因为是向量的单位向

2、量设与方向上的单位向量分别为, 又,如此原式可化为,由菱形的根本性质知AP平分,那么在中,AP平分,如此知选B. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2 H是ABC所在平面内任一点,点H是ABC的垂心.由,同理,.故H是ABC的垂心. 反之亦然证略例3.(某某)P是ABC所在平面上一点,假如,如此P是ABC的DA外心B内心C重心D垂心解析:由.即如此 所以P为的垂心. 应当选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理例4 G是ABC所在平面内一点,=0点G是ABC的重心.证明 作图如右,图中连结BE和CE,如此CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD

3、为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是ABC的重心.反之亦然证略例5 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明G是ABC的重心=0=0,即由此可得.反之亦然证略例6 假如 为内一点, ,如此 是 的 A内心 B外心 C垂心 D重心解析:由得,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,如此,由平行四边形性质知,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7假如 为内一点,如此 是 的 A内心 B外心 C垂心 D重心解析:由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心,选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查例8向量,满足条件+=

4、0,|=|=|=1,求证P1P2P3是正三角形.数学第一册下,复习参考题五B组第6题证明 由+=-,两边平方得=, 同理 =,|=|=|=,从而P1P2P3是正三角形.反之,假如点O是正三角形P1P2P3的中心,如此显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点,+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中,Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如下列图的直角坐标系。设A(0,0)、Bx1,0、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,如此有: 由题设可设,

5、AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2例10假如O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明 假如ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.,.又垂心为H,AHCD,CHAD,四边形AHCD为平行四边形,故.著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心外心、重心、垂心的位置关系:1三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线;2三角形的重心在“欧拉线上,且为外垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.例11设O、G、H分别是锐角ABC

6、的外心、重心、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .补充练习1A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足= (+2),如此点P一定为三角形ABC的 B A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点非重心C.重心 D.AB边的中点1. B取AB边的中点M,如此,由= (+2)可得3,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,应当选B.2在同一个平面上有与一点满足关系式: ,如此为的 D 外心 内心 C 重心 D 垂心2ABC的三个顶点A、B、C与平面内一点P满足:,如此P为的 C 外心 内心 C 重心 D 垂心3O是

7、平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满足:,如此P的轨迹一定通过ABC的C 外心 内心 C 重心 D 垂心4ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足:,如此P点为三角形的D 外心 内心 C 重心 D 垂心5ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:,如此P点为三角形的B 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中,动点P满足:,如此P点轨迹一定通过ABC的: B 外心 内心 C 重心 D 垂心与满足(+)=0且= , 如此ABC为( )解析:非零向量与满足()=0,即角A的平分线垂直于BC,AB=AC,又=,A=,所以ABC为等边三角形,选D8.的外接圆

8、的圆心为O,两条边上的高的交点为H,如此实数m =1所在平面内的一点,满足,如此点O是的BA三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点10. 如图1,点G是的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且,如此。 证 点G是的重心,知O,得O,有。又M,N,G三点共线A不在直线MN上, 于是存在,使得, 有=,得,于是得。例讲三角形中与向量有关的问题教学目标:1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念与简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合教学重点:灵活应用向量性质处理三角形中与有

9、关向量的问题教学难点:针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程:1、课前练习ABC内的一点,假如,如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心ABC中,有命题;假如,如此ABC为等腰三角形;假如,如此ABC为锐角三角形,上述命题中正确的答案是 A、 B、 C、 D、2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心与简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联 3、利用向量根本概念解与三角形有关的向量问题例1、ABC中,有和,试判断ABC的形状。练习1、ABC中,B是ABC中的最大角,假如,试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化

10、解与三角形有关的向量问题例2、O是ABC所在平面内的一点,满足,如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、P是ABC所在平面内的一动点,且点P满足,如此动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习2、O为平面内一点,A、B、C平面上不共线的三点,动点P满足,如此动点P 的轨迹一定通过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例4、O是ABC所在平面内的一点,动点P满足,如此动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习3、O是ABC所在平面内的一点,动点P满足,如此动点P一定过ABC的

11、 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例5、点G是的重心,过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点,且,求证:6、小结 处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进展转化是处理这类问题的关键。7、作业1、O是ABC内的一点,假如,如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、假如ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,且,如此等于 A、 B、0 C、1 D、3、O是ABC所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是a、b、c假如,如此O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、P是ABC所在平面内与A不重合

12、的一点,满足,如此P是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量、满足,求证:ABC为正三角形。6、在ABC中,O为中线AM上的一个动点,假如AM2,求三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比拟大小。在高中数学“平面向量必修4第二章的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基

13、向量的运算问题,最后将运算的结果再复原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心的向量风采【命题1】是所在平面上的一点,假如,如此是的重心如图.M图图 【命题2】 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,如此的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意,当时,由于表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹一定通过的重心,如图.二、“垂心的向量风采【命题3】 是所在平面上一点,假如,如此是的垂心【解析】 由,得,即,所以同理可证,是的垂心如图.图

14、图【命题4】 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,如此动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意,由于,即,所以表示垂直于的向量,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹一定通过的垂心,如图.三、“内心的向量风采【命题5】 为所在平面上的一点,且, 假如,如此是的内心图图【解析】 ,如此由题意得,与分别为和方向上的单位向量,与平分线共线,即平分同理可证:平分,平分从而是的内心,如图.【命题6】 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,如此动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得,当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心,如图.四、“外心的向量风采【命题7】 是所在平面上一点,假如,如此是的外心图图【解析】 假如,如此,如此是的外心,如图。【命题7】 是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,如此动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点,当时,表示垂直于的向量注意:理由见二、4条解释。,所以在垂直平分线上,动点的轨迹一定通过的外心,如图。

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 在线阅读 > 生活休闲


备案号:宁ICP备20000045号-1

经营许可证:宁B2-20210002

宁公网安备 64010402000986号