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1、弹性力学试题参考答案,一、填空题（每小题4分）,1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：,平衡微分方程，,应力边界条件。,2一组可能的应力分量应满足：,平衡微分方程，,相容方程（变形协调条件）。,3等截面直杆扭转问题中，的物理意义是:,杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M。,4平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值 的物理意义为,边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。,5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：,二、简述题（每小题6分）,1试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。,圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效
2、的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。,作用：,（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。,（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。,2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数 的分离变量形式。,（a）,（b）,3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比 已知。试求薄板面积的改变量。,解：,设当各边界受均布压力 q 时，两力作用点的相对位移为，,由,设板在力P作用下的面积改变为，由功的互等定理有：,将 代入得：,显然，与板的形状无关，仅与E、l
3、有关。,4图示曲杆，在 边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。,5试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性.,Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：,（1）变求多个位移函数 或 为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。,（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。,适用性：,Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；,Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。,三、计算题,1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距
4、为 d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为 P，设间距 d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。,（提示：取应力函数为）,解：,很小，,可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。,将应力函数 代入，可求得应力分量：,边界条件：,（1）,代入应力分量式，有,（1）,由该脱离体的平衡，得,将代入 并积分，有,得,（2）,联立式（1）、（2）求得：,代入应力分量式，得,结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。,2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力 由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力
5、表示的相容方程。,解：,（1）求横截面上正应力,任意截面的弯矩为,截面惯性矩为,由材料力学计算公式有：,（2）由平衡微分方程求、,平衡微分方程：,其中：,将式（1）代入式（2），有,（1）,积分上式，得,利用边界条件：,有：,（4）,将式（4）代入式（3），有,积分得：,利用边界条件：,将（1）代入（2），有,得：,由第二式，得,将其代入第一式，得,自然成立。,将、代入的表达式，有,（5）,所求应力分量：,（6）,校核梁端部的边界条件：,（1）梁左端的边界（x=0）：,代入后可见：自然满足。,（2）梁右端的边界（x=l）：,可见，所有边界条件均满足。,检验应力分量 是否满足应力相容方程：,常体
6、力下的应力相容方程为,将应力分量 式（6）代入应力相容方程，有,显然，应力分量 不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。,3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为 k。梁受有均匀分布载荷 q 作用，如图所示。试：,（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度 试函数；,（2）用最小势能原理或 Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。,解：,两种形式的梁挠度试函数可取为：,多项式形式；,三角函数形式；,此时有：,即满足梁的端部边界条件。,梁的总势能为,代入总势能计算式，有,由，有,代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为,4已知受力物体内某一点的应力分量为：,试求经过该点的平面,上的正应力。,由平面方程，得其法线方向单位矢量的方向余弦为,解：,答疑时间安排：,17周星期日,下午：2:30 4:00,晚上：7:30 9:00,18周星期一,下午：2:30 4:00,晚上：7:30 9:00,
