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1、弹性力学试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1 .最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程,应力边界条件。2 .一组可能的应力重量应满意：平衡微分方程,相容方程（变形协调条件）,3 .等截面直杆扭转问题中，2j）岫，二M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩Mo4 .平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数e在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5 .弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：V+Xj=O，%=：（%/+WM）。二、简述题（每小题6分）1 .试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
2、圣维南原理：假如物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的变更，但远处的应力所受影响可以忽视不计。作用：（1）将次要边界上困难的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2 .图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数0的分别变量形式。(x, y) = ax2 bxy + cy2 (r,) = r2f()题二(2)图xyy)=ax3+hx2y+cxy2+dyi(b)_(r,)=rf()3.图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用对拉力P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比
3、已知。试求薄板面积的变更量5题二（3）图设当各边界受均布压力g时，两力作用点的相对位移为A/。由夕得,/1TJ+b2I=Na+b=（1-/）E设板在力尸作用下的面积变更为AS,由功的互等定理有：qAS=Pbl将/代入得：S=iP2+Z?2E明显，S与板的形态无关，仅与E、I有关。4.图示曲杆，在r=8边界上作用有均布拉应力g,在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。ba=d%匚=0；（2） -E=O,=。（3） ffdr=-PcosOf=PsinO0rdr-PCOs。”Ja25.试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（GaIerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本
4、思想，并指出各自的适用性1.ove、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数以乂）工贝羽丫工做乂田或。,。）,。,。）为求一些特别函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特别函数）。适用性：LOVe位移函数法适用于求解轴对称的空间问题：Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1 .图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P,设间距d很小。试求其应力重量，并探讨所求解的适用范围。（提示：取应力函数为（13 分）=Asin2。+8夕)题三（1）图解：.d很小，.M=P
5、d,可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数。（小。）代入，可求得应力重量:卷+上察=V,附J=-船需卜(2Acos29+8)边界条件：(1) CrJO=O=0,却o=o=0：jo=0,rJo-0r0r0r0r0代人应力重量式，有4(2AB)=0或2A+B=0(1)r(2)取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：r,r,和M=Pd由该脱离体的平衡，得JlTm/46+M=0将J代入并积分，有g42Acos26+B)r2d+M=O(2)Asin21)+2(x)利用边界条件：得：,x+8a+w=-x-+w=由其次式，得2(X)=嘴X将其代入第一式，得由xx=与X自然成立。将人(X)代入
6、吟的表达式，有(5)校核梁端部的边界条件：(1)梁左端的边界(x=0):EibJBody=0,屋L=Ody=O代入后可见：自然满意。22（2）梁右端的边界（x=l）:金/y=R-钓叱。22Ix=Z小/”好（卜身力=挈-X=/fI.f2qfi32qJ32q。/J*L必二IVR）,二一铲，一丁M可见，全部边界条件均满意。检验应力重量,是否满意应力相容方程：常体力下的应力相容方程为2,+%）=（枭+磊）（巴+.v）=0将应力重量（TA,7D.,.式（6）代入应力相容方程，有b(q+bv)=京)(4+?)=一律孙0明显，应力重量,b、,不满意应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3.一端固
7、定，另一端弹性支承的梁，其跨度为/,抗弯刚度E/为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为匕梁受有匀称分布载荷q作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数做外；（2）用最小势能原理或RitZ法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。（13分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为vv(x)=X2(A1+A2x+A3X2+)多项式函数形式W(X)=ZA,(l-cos-)三角函数形式m=lI此时有：有4EZt+4-3=0八一q。P13(4EZ+Z:/4)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为,xxxyS图=0crv=2，ex,QiTxv=ci,v,=0,zx=2a
8、01上的沿坐标轴方向的应力重量，以及该平面上的正应力和在左端面受力P作用。不计体力，试求梁的应力重量。（试Pl三-y四、计算题（15分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，P,设间距d很小。试求其应力重量，=ASin2。+8。）PyZZZZ五、计算题（15分）间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为并探讨所求解的适用范围。（试取应力函数d1.77/z?1如图所示的悬臂梁，其跨度为/抗弯刚度为石/,在自由端受集中力P作用。试用最小势能原理求最大挠度。（设梁的挠度曲线坡=A（I-cos上）弹性力学试题（答题时间：120分钟）班级姓名学号题号二三总分(1)(2)(3)(4)得分一、填空题（每
9、小题4分）1 .用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满意：O2 .弹性多连体问题的应力重量应满意,o3 .拉甫（LoVe）位移函数法适用空间问题；伽辽金（Gaierkin）位移函数法适用于空间问题。4 .圣维南原理的基本要点有,。5 .有限差分法的基本思想为：,o二、简述Ja（每小题5分）1 .试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。2 .试就下列公式说明下列问题：（1）单连体问题的应力重量与材料的弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力重量与弹性常数无关的条件。,v+v=2L1,（z）+1,（z）=4Re1,（z）y-+2i汇%=二2归/(Z)+H(Z)m
10、(Xk+il.)ln(z-zj+(z)=ImV(Xk-iyjln(z-zj+(z)式中：e（z）,%（z）均为解析函数；e*（z）,巾*（z）均为单值解析函数。3 .试列写图示半无限平面问题的边界条件。题二（3）图4 .图示弹性薄板，作用对拉力P。试由功的互等定理证明：薄板的面积变更量5与板的形态无关,仅与材料的弹性模量E、泊松比、两力P作用点间的距离/有关。题二（4）图5 .下面给出平面问题（单连通域）的一组应变重量，试推断它们是否可能。X=C（X2+y24=Cy2,xy=ICxy。6 .等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数例x,y）应满意：72=-2GK式中：G为剪切弹性模量；K为
11、杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。三、计算IS1 .图示无限大薄板，在夹角为90的凹口边界上作用有匀称分布剪应力如已知其应力函数为:=（Acos26+B）不计体力，试求其应力重量。（13分）题三（1）图2 .图示矩形截面杆，长为/,截面高为力，宽为单位1,受偏心拉力M偏心距为e,不计杆的体力。试用应力函数=Ay3+By2求杆的应力重量，并与材料力学结果比较。（12分）FqI i I -lH题三（2）图3 .图示简支梁，其跨度为/,抗弯刚度以为常数，受有线性分布载荷夕作用。试求:（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（卬）近似函数的表达式；（2）在上述梁挠度（W）近似函数中任选种，用最小势能原理或Ritz法求梁挠度（W）的近似解（取2项待定系数）。（13 分）题三（3）图4 .图示微小四面体OA8C,OA=OB=OC,。为AB的中点。设。点的应变张量为:0.01-0.005-0.00500.020.010.01-0.03试求D点处单位矢量y、t方向的线应变。（12分）题三（4）图
