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1、实验报告定积分与定积分的近似计算第一局部实验报告书解读一、实验目的实验主要是分析用矩阵公式，梯形公式，辛普森公式求定积分的近似值，并比拟它们与定积分的近似情况。可以先学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼茨公式。二、实验材料1.1定积分的数值计算计算定积分的近似值，可将积分区间等分而得矩形公式程序为或也可用梯形公式近似计算如果要准确些，可用辛普森公式对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;计算准确值s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)
2、/m,i,0,m-1,k;取小区间左端点的矩形公式s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k取小区间中点的矩形公式s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; 取小区间右端点的矩形公式s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; 梯形公式 s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;辛普森公式 t=Table
3、s1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100设f(x)=sinx,取a=0,b=1对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;计算准确值s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;取小区间左端点的矩形公式s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k取小区间中点的矩形公式s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,
4、i,1,m,k; 取小区间右端点的矩形公式s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; 梯形公式 s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;辛普森公式 r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100牛顿-莱布尼茨公式设函数在上连续
5、，而且是的一个原函数，如此有牛顿-莱布尼兹公式。函数在不连续、不存在原函数，但在上可积；函数在不连续，但在上可积。此外函数处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序fx_:=Sinx;Integratef(x),x求不定积分Fx_:=%定义原函数d=NIntegratef(x),x,a,b求定积分 df=Fb-Fa 计算原函数的增量三、实验所用软件与版本第二局部 实验计划一定积分的数值计算a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-
6、a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_
7、:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100利用以上程序计算，并对几个公式比拟。对以上程序，分别将sinx的x替换成1，x，In(1+x)二可积的条件1.实验思路：1如果函数f(x)在区间a,b上连续，如此f(x)在区间a,b上可积，反之亦然。2设一连续函数，判断其是否可积。a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa
8、+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s
9、2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100利用以上程序计算，并对几个公式比拟。三牛顿-莱布尼茨公式1. 程序修改fx_:=Sinx;Integratef(x),x Fx_:=%d=NIntegratef(x),x,a,b df=Fb-Fa r=d-df2实验思路1先对一个函数sinx在区间0,1时,运行程序计算。2在考虑其他函数，y=1,y=x，y=，y=，y=In(1+x)，y=sign(x)在0,1时，进展程序计算。第三局部 实验过程与结果实验一 定积分的实验计算 1. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_
10、:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i
11、,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：2. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=1d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSu
12、mfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,1
13、00运行结果为：3. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=xd=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*
14、(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：4. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=x2d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+
15、(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2
16、m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：5. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=Expxd=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,
17、i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：6. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:= Log1+xd=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_
18、:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3
19、m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：7. 实验观察结果：随着n的增大，以与公式的更加准确性，求积分的误差d越来越小，结果越来越准确。实验二 可积条件1. 以实验一的6组数据为根底，再加一组数据；2. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=Signxd=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NS
20、umfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r
21、1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：3. 实验观察结果：连续函数一定可积，但是非连续函数不一定不可积实验三 牛顿-莱布尼茨公式1. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1; fx_:=x; Integratefx,x Fx_=% d=NIntegratefx,x,a,b df=Fb-Fa r=d-df运行结果为2. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1fx_:=1;Integratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,bdf=Fb-Far=d-df运行结果为3. 在mat
22、hmatica上输入以下程序a=0;b=1fx_:=x;Integratefx,xFx_:=%a=0;b=1d=NIntegratefx,x,a,bdf=Fb-Far=d-df运行结果为4. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1fx_:=x2;Integratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,bdf=Fb-Far=d-df运行结果为5. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1fx_:=Expx;Integratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,bdf=Fb-Far=d-df运行结果为6. 在mathmatica上输入
23、以下程序a=0;b=1fx_:=Log1+x;Integratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,bdf=Fb-Far=d-df运行结果为7. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1fx_:=SignxIntegratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,bdf=Fb-Far=d-df运行结果为8. 实验观察结果： 当f(x)连续时，牛顿-莱布尼茨公式成立第四局部 实验总结1 .将n无限细分时，也可用矩形公式，梯形公式，辛普森公式求定积分的近似值，其中他们的准确度依次增加。2. 如果f(x)是连续函数，如此f(x)在区间a,b上可积，反之f(x)在区间a,b可积，但f(x)不一定连续3. 莱布尼茨公式成立，即假如函数f(x)在a,b上连续，而且Fx是f(x)的一个原函数，如此有=F(b)-F(a).
