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1、5-9 若电荷均匀地分布在长为L 的细棒上，求证：,（1）在棒的延长线上，且离棒中心为r处的电场强度为：,（2）在棒的垂直平分上，且离棒中心为r处的电场强度为：,证明：,（1）考虑棒的延长线上距棒中心为r的P点；,取坐标如右图所示；,在棒上x处取线元dx，,线元dx的带电量dq为：,若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线,的电场强度相比较。,即，,的大小dE为：,的方向为：,沿x轴正向；,应用电场强度的叠加原理，,得到总场强的大小E为：,即，,总场强的方向为：,沿x轴正向。,dq在P点的场强,的大小dE为：,（2）考虑棒的垂直平分线上距棒中心为r的B点；,在棒上x处取线元dx，线元
2、dx的带,电量dq为：,取坐标如右图所示；,该dq在B点产生的场强,的大小,dE为：,即，,的方向：,如右图所示；,将,分解为：,注意到：,所以,即，,积分得：,所以，B点的电场强度为：,当L时，注意到：,结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同；,这说明，只满足,，带电长直细棒就可看作为无,限长带电直线。,5-10 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。,将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元,在点O激发的电场强度为,解,积分得球心的电场强度为,或,yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电,场强度为,的非均匀电场中，求立方
3、体各表,面的电场强度通量。,解：,对立方体的各个顶点标上符号，,如右图所示，,（1）对于ABOC平面，x=0,=恒矢量,所以，,（2）对于DFGH平面，x=a,=恒矢量,所以，,5-15 如图所示，边长为a 的立方体，其表面分别平行于xy、,（3）对于BGHO平面，,所以，,（4）对于AFDC平面（类似于BGHO平面），,所以，,（5）对于ABGF平面，,所以，,（6）对于CDHO平面（类似于ABGF平面），,所以，,因此，整个立方体表面的电场强度通量为：,5-17 设半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度,为,解:,k为一常数；试用高斯定理求电场强度,与r的函数关系。（你能用电场叠加
4、原理,求解这个问题吗？）,电场分布也是球对称的，同心球面,由于电荷分布具有球对称性，所以,上各点电场强度的大小为常量；以同心球面为高斯面，则有：,当0rR 时,高斯面所包围的电荷电量q为:,应用高斯定理，得：,故：,或，,（0rR）,当 r R 时，高斯面所包围的电荷电量q为:,应用高斯定理，得：,故：,或，,（r R）,5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为,Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面电荷为Q2，,求电场分布。电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。,解：,如右图所示，,球壳和球面将空间分为四个部分；,（1）求球壳内部空间的场强E1,由于
5、电荷分布具有球对称性，,所以电场的分布也具有球对称性；,在球壳内部空间作一半径为r 的球面为,高斯面S1，如右图所示；则S1面上各点,所以，,高斯面S1内的电荷q为：,所以，由高斯定理得到球壳内部空间,的电场强度E1为：,（2）求球壳内空间的场强E2,在球壳内空间作一半径为r的球面为高,斯面S2，如右图所示；,类似（1）的分析，得到：,高斯面S2内的电荷q为：,由高斯定理，得到场强E2为：,（3）求球壳与球面间空间的场强E3,在球壳与球面间作一半径为r的球面为高,斯面S3，如右图所示；,类似（1）的分析，得到：,高斯面S3内的电荷q为：,由高斯定理，得到场强E3为：,（4）求球面外空间的场强E
6、4,在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面S4，如上图所示；,类似（1）的分析，得到：,高斯面S4内的电荷q为：,由高斯定理，得到场强E4为：,电场强度分布为：,电场强度的方向均沿矢径方向。,各区域的电场强度分布如右图所示。,在带电球面的两侧，电场强度的,左右极限不同，电场强度不连续，而,在紧贴r=R3 的带电球面两侧，电场强,度的跃变量E为：,这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的结果，且具有普遍,性。实际的带电球面都是有一定厚度的球壳，球壳内外的电场强,度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场E2，如果球壳,的厚度变小，E2的变化就变陡，最后当厚度趋向于零时，E2的变,化就变成为跃变。
7、,场强度：（1）r R2,解：,由于电荷分布在无限长的同轴圆柱面上，电,场强度也一定呈对称性分布，沿矢径方向。,（1）求 r R1 的电场强度；,在圆柱面R1内作半径为r、高为h的高,斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，,所以，,这个高斯面内的电荷q为：,q=0,应用高斯定理，得：,，即：,5-21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别,为R1和R2（R1R2），单位长度上的电荷为；求离轴线为r处的电,（2）求R1 r R2 的电场强度,作半径为r（R1 r R2）、高为h的高斯面，,如右图所示，只有侧面有电通量，,所以，,这个高斯面内的电荷q为：,应用高斯定理，得：,所以，,（R
8、1 r R2）,作半径为r（r R2）、高为h的高斯,面，如右图所示，只有侧面有电通量，,所以，,这个高斯面内的电荷q为：,应用高斯定理，得：,所以，,（3）求r R2的电场强度,在带电面附近，电场强度大小不连续，,有一定的跃变；,与题8-20分析讨论的结果一致。,（r R2）,5-23 已知均匀带电直线附近的电场强度近似为,解:,（1）求在r=r1和r=r2 两点间的电势差；,其中为电荷线密度。,（2）在点电荷的电场中，我们曾取r处间的电势为零，求均匀,带电直线附近的电势能否这样取？试说明。,（1）由于电场力作功与路径无关，所以取径向为积分路径，,则得：,（2）不能。,因为r 处的电势与直线
9、上的电势相等。,和Q2；求（1）各区域的电势分布，并画出分布曲线；（2）两球,面上的电势差为多少？,解：,（1）由高斯定理可求得电场分布为：,由电势公式,，取积分路径沿矢径方向，就可,求得各区域的电势分布；,5-27 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1,当0rR1 时，有：,同理，当 R1 rR2 时，有：,同理，当r R2 时，有：,（2）两个球面间的电势差,5-28 一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，,电荷体密度为。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出,电势分布曲线。,解：,由于无限长带电细棒电荷是轴对称分布的，,所以其电场强度和电势的分布也呈轴对称。
10、,如图，作半径为r、高为h 的同轴圆柱面为,高斯面则有:,应用高斯定理，得：,即，,（0 r R）,当 0 r R 时，高斯面内所包围的电荷电,量q为:,应用高斯定理，得：,即，,（r R）,当 r R 时，高斯面内所包围的电荷电量q为:,取棒表面为零电势时，空间的电势分布有,当 0 r R 时，,当 r R 时，,电势分布曲线如图所示。,（1）在圆盘上取半径为r、宽为dr的,529 一圆盘半径 R=3.010-2m。圆盘均匀带电，电荷面,密度=2.010-5Cm-2。（1）求轴线上的电势分布；（2）根据,电场强度与电势梯度的关系求电场分布；（3）计算离盘心30.0cm,处的电势和电场强度。,解：,带电圆环，其带电为：,在轴线上的电势为：,积分，得：,（2）应用电势与电场强度的关系,（3）代入已知数据得：,得到轴线上x处的电场强度为：,
