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1、量子力学中的氢原子问题,一、氢原子的薛定谔方程,氢原子中电子的势能函数,定态薛定谔方程,采用球坐标（r、）,这是一个定态问题！,设波函数,定态薛定谔方程变为,采用分离变量法可得到三个常微分方程。,三个常微分方程：,解三个方程，考虑到波函数应满足的标准条件，可得波函数(r，)，并很自然地得到氢原子的量子化特征。,量子化条件和量子数,(1)能量量子化和主量子数n 使R(r)满足标准条件可得:,按照波函数标准条件解微三个分方程方程,就得到氢原子的量子化特性.,(2)角动量量子化和角量子数l 满足标准条件的波函数有定解,必须有电子绕核运动的角动量的量子化:,(3)角动量空间量子化和磁量子数ml 电子绕
2、核运动的角动量L的空间取向不连续,其在磁场方向的投影满足量子化条件:,二、量子化条件和量子数,1.能量量子化主量子数 n,氢原子能量必须满足量子化条件：,称为主量子数。,决定原子中电子能量,玻尔的氢原子理论中的能级公式,完全一致,第二激发态,第一激发态,电离状态,氢原子光谱,1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出：(A)一种波长的光(B)两种波长的光(C)三种波长的光(D)连续光谱,答案C,2.具有下列哪一能量的光子，能被处在n=2的能级的氢原子吸收？(A)1.51 eV(B)1.89 eV(C)2.16 eV(D)2.40 eV,答案B,例题1.实验发现基态氢原
3、子可吸收能量为 12.75 eV的光子(1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能级图上（3）巴耳末线系有几条？莱曼系有几条？,解（1）,(2)可以发出 六条谱线,n=4,（3）巴耳末线系有 2条,莱曼线系有 3条,第三激发态,例题2.求巴耳末系光谱的最大和最小波长,解：,最大波长,最小波长,2.电子轨道角动量(大小)的量子化角量子数 l,l 受 n 限制,决定轨道角动量大小,氢原子中电子的径向概率分布,3.磁量子数ml,对于一定的角量子数l，磁量子数 ml 可取(2 l+1)个值.,决定电子轨
4、道角动量在空间某一方向的投影量子化,角动量空间量子化的示意图,氢原子中电子的概率分布,n=2l=1ml=1,电子云,这种状态用量子数 n,l,ml 描述。,同一能级的各状态称简并态。,能量只和主量子数有关，,同一个主量子数,不同,的角量子数和磁量子数其能量相同，,这种情况叫,能级的简并，,由量子力学得出的氢原子能级图和玻尔理论的结果相同。,玻尔理论的一条能级对应于电子的一种轨道。,量子力学的一条能级则对应于电子的一种状态,对于给定的l 值,即m有2l+1个值；,对于给定的能量值，即n值,即l有n个值；,那么一个能量值对应了多少个本征态？,对于给定的能量值，即n值，波函数可以有的个数：,也就是说
5、，有n2个本征量子态都对应于相同的能量本征值En，这种情形就称为能级En 是简并的，或者更具体地说，定态能级En的简并度是n2。,施特恩、格拉赫试验,基态氢原子,试验说明:,电子自旋（electron spin）,1.基态氢原子有磁矩；,2.磁矩有两种取向。,在原子光谱中可以发现，光谱线是由一些更,细的线所组成的，称之为光谱的精细结构。,1925年乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和古兹米特（S.Goudsmit）提出了大胆的假设：,电子带负电，磁矩的方向和自旋的方向应相反。,电子自旋（electron spin）,这个是模型假设！实际并非如此！,这一经典图象受到泡利的责难。,按,若把电子
6、视为r=10-16 m的小球，,计算出的电子表面速度 C!,面对按经典图象的理解所给出的“荒谬”结果，,乌、古二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，,“You are both young enough to allow yourselves some foolishness!”,但是他们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励道：,轨道角动量,根据量子力学，角动量是量子化的：,l=0,1,2(n-1),自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍然和角动量有关。,“自旋”不是一个经典的概念。,电子自旋是电子的一种“内禀”运动，,不能视为小球自转。,电子自旋假设,1.电子不是点电荷，具有自旋
7、运动。与自旋,运动相对应的角动量记为自旋角动量,；,2.自旋角动量,只能取两个值，即:,在空间的任何方向上的投影,-自旋磁量子数,原子中电子的运动状态由四个量子数决定：,主量子数 n：n=1,2,3,轨道角量子数 l：l=0,1,2,(n-1),轨道磁量子数 ml：ml=0,1,2,l,自旋磁量子数 ms：ms=1/2,（n,l,ml,ms）,原子中电子的分布还受两个重要原理的制约:,(1)泡利不相容原理:,在一个原子系统内不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状，亦即不可能具有相同的4个量子数.,由此可见,原子中具有同一主量子数n的电子数最多为,原子中电子状态的表示:1s2-表示K壳层可容纳
8、两个电子,2p6,1s2,(2)能量最小原理:,每个电子优先占居能量最小的状态.,一般讲n越小能量越小,但是有时受l影响,n壳层尚未填满,n+1壳层已经开始有电子填入了.,比较4s与3d,1.原子内电子的量子态由n、l、ml及ms四个量子数表征当n、l、ml一定时，不同的量子态数目为_；当n、l 一定时，不同的量子数目为_；当n一定时，不同的量子态数目为_,2,2(2l+1),2n2,例:试写出n=2时的各个量子态的四个量子数,最多有几个量子态?最多可容纳多少个电子?,解:,当n(=2)确定后,l=0,1,2,(n-1)(0,1),ml=0,1,2,l.(0,1),ms=1/2,共有8个量子态
9、,最多可容纳8个电子.,2 2 2 2 2 2 2 2 2,n,l,ml,ms,0 0,0 0,1 0,1 1,1 0,1 1,1,1,-1,-1,例:求下列量子态中可填充的最大电子数,解:(1)n=3,9.,总电子数为,缺少,的9个电子.,没有此量子态!,2.根据泡利不相容原理，在主量子数n=4的电子壳层上最多可能有的电子数为_个,32,答案A,3.在氢原子的K壳层中，电子可能具有的量子数(n，l，ml，ms)是(A)(1，0，0，)(B)(1，0，-1，)(C)(1，1，0，)(D)(2，1，0，),激 光,一、光作用下原子的跃迁,1.自发辐射,原子在没有外界干预的情况下，电子会由处,于激
10、发态的高能级E2自动跃迁到低能级E1，这种,跃迁称为自发跃迁。由自发跃迁而引起的光辐射,称为自发辐射。,自发辐射,理学院 物理教研室,2.光吸收,原子吸收外来光子能量，并从低能级E1跃迁,到高能级E2，这个过程称为光吸收。,光吸收,理学院 物理教研室,3.受激辐射,原子中处于高能级E2的电子，在外来光子(其,频率恰好满足,)的诱发下向低能级E1,跃迁，并发出与外来光子一样特征的光子，这叫,受激辐射。,受激辐射,由受激辐射得到的放大了的光是相干光，称,之为激光。,理学院 物理教研室,二、激光原理,1.粒子数正常分布和粒子数布居反转分布,处于低能级的电子数大于处于高能级的电子,数，这种分布叫做粒子
11、数的正常分布。,处于高能级的电子数大于处于低能级的电子,数，这种分布叫做粒子数布居反转分布，简称粒,子数反转。,若想实现粒子数布居反转分布，则需从外界,输入能量，把低能级上的原子激发到高能级上去，,这个过程叫做激励，也叫泵浦。,理学院 物理教研室,工作物质:能够实现粒子数布居反转分布的,物质。,理学院 物理教研室,2.谐振腔,光在粒子数反转的工作物质中往返传播，使,谐振腔内的光子数不断增加，从而获得很强的光，,这种现象叫做光振荡。,理学院 物理教研室,光学谐振腔的作用:,1.产生和维持光振荡，使光得到加强；,2.提高激光的方向性；,3.提高激光的单色性。,激光器的结构:,1.工作物质；,2.激
12、励装置；,3.谐振腔。,激光的特点:,方向性好、单色性好、相干性好、能量集中。,理学院 物理教研室,三、激光冷却、玻色-爱因斯坦凝聚 20世纪30年代，爱因斯坦曾提出一个著名的预见，当温度降低到原子的波长约等于原子的间距时，会有一个很特殊的情况发生：许多原子的行为开始变得一致，这意味着它们的相位、速度和任何状态都一模一样。这被称为玻色-爱因斯坦凝聚。,用眼睛对着激光看，会被灼伤视网膜；激光还能切割、焊接金属。然而，激光也可以把原子冷却到非常低的温度！,如何理解激光冷却？所谓激光冷却，就是在激光作用下使原子的速度降低。激光冷却与捕陷原子 获得低温是长期以来科学家所刻意追求的一种技术。它不但给人类
13、带来实惠，例如超导的发现与研究，而且为研究物质的结构与性质创造了独特的条件。例如在低温下，分子、原子热运动的影响可以大大减弱，原子更容易暴露出它们的“本性”。以往低温多在固体或液体系统中实现，这些系统都包含着有较强的相互作用的大量粒子。20世纪80年代，借助于激光技术获得了中性气体分子的极低温（例如，10-10K）状态，这种获得低温的方法就叫激光冷却。,实际上，原子的运动是三维的。1985年贝尔实验室的朱棣文小组就用三对方向相反的激光束分别沿x，y，z三个方向照射钠原子，在6束激光交汇处的钠原子团就被冷却下来，温度达到了240mK。理论指出，多普勒冷却有一定限度（原因是入射光的谱线有一定的自然
14、宽度），例如，利用波长为589nm的黄光冷却钠原子的极限为240mK，利用波长为852nm的红外光冷却铯原子的极限为124mK。但研究者们进一步采取了其他方法使原子达到更低的温度。1995年达诺基小组把铯原子冷却到了2.8nK的低温，朱棣文等利用钠原子喷泉方法曾捕集到温度仅为24pK的一群钠原子。,在朱棣文的三维激光冷却实验装置中，在三束激光交汇处，由于原子不断吸收和随机发射光子，这样发射的光子又可能被邻近的其他原子吸收，原子和光子互相交换动量而形成了一种原子光子相互纠缠在一起的实体，低速的原子在其中无规则移动而无法逃脱。朱棣文把这种实体叫做“光学粘团”，这是一种捕获原子使之集聚的方法。更有效
15、的方法是利用“原子阱”，这是利用电磁场形成的一种“势能坑”，原子可以被收集在坑内存起来。一种原子阱叫“磁阱”，它利用两个平行的电流方向相反的线圈构成。这种阱中心的磁场为零，向四周磁场不断增强。,陷在阱中的原子具有磁矩，在中心时势能最低，偏离中心时就会受到不均匀磁场的作用力而返回。这种阱曾捕获1012个原子，捕陷时间长达12min。除了磁阱外，还有利用对射激光束形成的“光阱”和把磁阱、光阱结合起来的磁-光阱。激光冷却和原子捕陷的研究在科学上有很重要的意义。例如，由于原子的热运动几乎已消除，所以得到宽度近乎极限的光谱线，从而大大提高了光谱分析的精度，也可以大大提高原子钟的精度。最使物理学家感兴趣的是它使人们观察到了“真正的”玻色-爱因斯坦凝聚。,这种凝聚是玻色和爱因斯坦分别于1924年预言的，但长期未被观察到。这是一种宏观量子现象，指的是宏观数目的粒子（玻色子）处于同一个量子基态。它实现的条件是粒子的德布罗意波长大于粒子的间距。在被激光冷却的极低温度下，原子的动量很小，因而德布罗意波长较大。同时，在原子阱内又可捕获足够多的原子，它们的相互作用很弱而间距较小，因而可能达到凝聚的条件。1995年果真观察到了2000个铷原子在170nK温度下和5105个钠原子在2mK 温度下的玻色-爱因斯坦凝聚。,朱棣（di）文，美籍物理学家,激光冷却饵原子（激光束从左至右）,
