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1、数学建模,2023年3月2日,2,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2023年3月2日,3,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数学绪
2、论,2023年3月2日,4,产生,1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章模糊集(Fuzzy Sets，Information and Control,8,338-353),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2023年3月2日,5,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐,
3、模糊数学绪论,2023年3月2日,6,模糊数学,2023年3月2日,7,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2023年3月2日,8,.u,A,A,.u,模糊集合及其运算,2023年3月2日,9,其中,函数 称为集合A的特征函数。,模糊集合及其运算,非此及彼,2023年3月2日,10,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合,元素 x,若 x 位于 A 的内部，则用1来记录，若 x 位于 A 的外部，则用0来记录，若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2023年3月
4、2日,11,0,1,0,1,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2023年3月2日,12,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，过渡点,2023年3月2日,13,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是。,如“将1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2023年3月2日,14,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,2023年3月2日,15,例1.有100名消费者，
5、对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,模糊集合及其运算,2023年3月2日,16,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20 O，40 呢？札德给出了“年老”集函数刻画:,1,0,U,50,100,模糊集合及其运算,2023年3月2日,17,再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,模糊集合及其运算,2023年3月2日,18,则模糊集O
6、（年老）,则模糊集Y（年轻）,模糊集合及其运算,2023年3月2日,19,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,2023年3月2日,20,例3.,模糊集合及其运算,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2023年3月2日,21,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1.幂等律,2.交换律,3.结合律,4.吸收律,2023年3月2日,22,模糊集合及其运算,6.0-1律,7.还原律,8.对偶律,5.分配律,2023年3月2日,23,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取
7、大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,2023年3月2日,24,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,2023年3月2日,25,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,2023年3月2日,26,特点：在各次试验中，是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,2023年3月2日,27,模糊集合及其运算,对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,2023年3月2日,28,对年龄27作
8、出如下的统计处理：,A(27)=0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),2023年3月2日,29,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。（见附件）,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2023年3月2日,30,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,2023年3月2日,31,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2023年3月2日,32,3、其它方法,模糊集合及其运算,2023年3月2日,33,模糊集合及其运算,四、模糊关系与模糊矩阵,与模糊子集是经典集合的
9、推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系.模糊子集 R 的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系 R 的相关程度.特别地，当 X=Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,2023年3月2日,34,模糊集合及其运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系.相等：R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)；并：R1R2 的隶属函数为(R1
10、R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交：R1R2 的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余：Rc 的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).,2023年3月2日,35,模糊集合及其运算,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中rij=R(
11、xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系R 的相关程度.,2023年3月2日,36,模糊集合及其运算,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且X 到Y 的模糊关系R1=(aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2=(bkj)sn，则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1 R2=(cij)mn，其中cij
12、=(aikbkj)|1ks.,2023年3月2日,37,模糊集合及其运算,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,I R(rii=1),RT=R(rij=rji),R2R.,2023年3月2日,38,模糊集合及其运算,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有
13、限时，X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：I R(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).,2023年3月2日,39,模糊集合及其运算,例如：,2023年3月2日,40,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,2023年3月2日,41,例4：,模糊集合及其运算,2023年3月2日,42,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,2023年3月2日,43,例5：,模糊集合及其运算,2
14、023年3月2日,44,（3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质：,2023年3月2日,45,（4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2023年3月2日,46,例6：,模糊集合及其运算,2023年3月2日,47,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2023年3月2日,48,（5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,模糊集合及其运算,2023年3月2日,49,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵满足,则称A为模
15、糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,2023年3月2日,50,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t(A)。,该定义指包含 A而且被任何包含A的传递矩阵所包含的传递矩阵，称为A的传递闭包，或者是包含A的最小的模糊传递矩阵称为A的传递闭包。,2023年3月2日,51,对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小康型家庭之间等。对上述事物的分
16、类就应该用模糊数学方法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊聚类分析。,模糊聚类分析,2023年3月2日,52,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2023年3月2日,53,模糊聚类分析,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,2023年3月2日,54,模糊聚类分析,2023年3月2日,55,例6：设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,2023年3月2日,56,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,0.8,0.6,0.5
17、,0.4,1,2023年3月2日,57,模糊聚类分析,2023年3月2日,58,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2023年3月2日,59,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,2023年3月2日,60,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,2023年3月2日,61,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,2023年3月2日,62,、建立模糊相似矩阵（标定）,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,2023年3月2日,63,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2023年3月2日,64,（3）贴近度法
18、,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2023年3月2日,65,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,（2）boole矩阵法（略）,2023年3月2日,66,（3）直接聚类法,模糊聚类分析,当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。,将对应于 的等价分类中 所在类与 所在类合并，所有情况合并后得到相应于 的等价分类。,依次类推，直到合并到U成为一类为止。,（4）最大树法,（5）编网法,2023年3月2日,67,模糊聚类分析,2023年3月2日,68,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,202
19、3年3月2日,69,用最大最小法构造模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2023年3月2日,70,用平方法合成传递闭包,2023年3月2日,71,取，得,模糊聚类分析,2023年3月2日,72,取，得,取，得,模糊聚类分析,2023年3月2日,73,取，得,取，得,模糊聚类分析,2023年3月2日,74,画出动态聚类图如下：,0.7,0.63,0.62,0.53,1,模糊聚类分析,2023年3月2日,75,若利用直接聚类法,模糊相似矩阵,取1,此时 为单位矩阵，故分类自然为,x1，x2，x3，x4，x5。,取0.70,此时,2023年3月2日,76,故分类应为x1，x3，x2,x4，x5。,x2,
20、x4为相似类,取0.63,此时,x2,x4，x1,x4为相似类，,有公共元素x4的相似类为 x1,x2,x4,故分类应为x1,x2,x4，x3，x5。,2023年3月2日,77,取0.62,此时,x2,x4,x1,x4,x1,x3为相似类，,有公共元素x4的相似类为 x1,x2,x3,x4,故分类应为x1,x2,x3,x4，x5。,2023年3月2日,78,取0.53,此时,故分类应为x1,x2,x3,x4,x5。,2023年3月2日,79,模糊聚类分析的简要流程:,2023年3月2日,80,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,（1）按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。,（2）用 F-统计量
21、确定最佳值。,针对原始矩阵 X，得到,其中，,设对应于 的分类数为 r,第 j 类的样本数为 nj,第 j 类的样本记为：,2023年3月2日,81,则第j类的聚类中心为向量：,其中，为第k个特征的平均值,作F-统计量,模糊聚类分析,2023年3月2日,82,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察,差值 的大小，从较大者中选择一个即可。,其中,2023年3月2日,83,模糊模式识别,2023年3月2日,84,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形
22、式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。,模糊模式识别,2023年3月2日,85,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,2023年
23、3月2日,86,例1.苹果的分级问题 设论域 X=若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为=级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2023年3月2日,87,例2.医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X=各种疾病的症候(称为症候群空间)。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库=心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也
24、是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2023年3月2日,88,点对集,1.问题的数学模型(1)第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF(X)，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai(i=1，2，n)?,(2)第二类模型：设 AF(X)为标准模式，x1,x2,xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi(i=1，2，n)?,模糊模式识别,2023年3月2日,89,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶
25、属原则：,模糊模式识别,2023年3月2日,90,模糊模式识别,2023年3月2日,91,例 选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治 x2：语文 x3：数学x4：理、化 x5：史、地 x6：外语考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y=y1,y2,yn。设 A=“优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi)是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi)的计算方法如下：,模糊模式识别,2023年3月2日,92,式中 i=1,2,n 是考生的编号，j=1,2,6 是考试科目的编号，j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排
26、序。例如若令 1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有 四个考生 y1,y2,y3,y4，其考试成绩分别如表 3.4,模糊模式识别,2023年3月2日,93,表 3.4 考生成绩表,模糊模式识别,2023年3月2日,94,则可以计算出于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：y2,y4,y1,y3.,模糊模式识别,2023年3月2日,95,阈值原则：,模糊模式识别,有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属
27、于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：,2023年3月2日,96,模糊模式识别,2023年3月2日,97,例如 已知“青年人”模糊集 Y，其隶属度规定为对于 x1=27 岁及 x2=30 岁的人来说，若取阈值,模糊模式识别,2023年3月2日,98,1=0.7，,模糊模式识别,故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人”范畴。,则因 Y(27)=0.862 1，,而 Y(30)=0.5 1，,故认为 27 岁的人尚属于“青年人”，而 30 岁人的则不属于“青年人”。,若取阈值 2=0.5，,则因 Y(27)=0.862 2,而 Y(30)=0.5=2，,2023
28、年3月2日,99,模糊模式识别,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,2023年3月2日,100,在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1,A2,An，那么问 A 属于哪个 Ai(i=1,2,n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,2023年3月2
29、日,101,1.距离判别分析定义 设 A、B F(X)。称如下定义的dP(A,B)为 A 与 B 的 Minkowski(闵可夫斯基)距离(P1)：)当 X=x1,x2,xn 时，)当 X=a,b 时，,模糊模式识别,2023年3月2日,102,特别地，p=1 时，称 d 1(A,B)为 A 与 B 的 Hamming(海明)距离。p=2 时，称 d2(A,B)为 A 与 B 的 Euclid(欧几里德)距离。有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0,1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A,B)，相应有(1)相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,2023年3月2日,103,(2)相
30、对 Hamming 距离,模糊模式识别,2023年3月2日,104,(3)相对 Euclid 距离,模糊模式识别,2023年3月2日,105,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件：当 X=x1，x2，xn 时，有 当 X=a,b 时，有加权 Minkowski 距离定义为,模糊模式识别,2023年3月2日,106,加权 Hamming 距离定义为加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,2023年3月2日,107,例 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？气温、湿度、土
31、壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X=x1(气温)，x2(湿度)，x3(土壤)上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,模糊模式识别,2023年3月2日,108,由于 dw1(A,B)dw1(A,C)，说明 A，B 环境比较相似，该农作物宜于移植 B 地。,模糊模式识别,设权重系数为 W=(0.5,0.23,0.27)。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得,2023年3月2日,109,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。,AB=,定义 设 A，B F(U)，称,为 A 与 B 的内积，称,为 A 与
32、 B 的外积。,2023年3月2日,110,比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加“+”与乘“”换成取大“”与取小“”运算，就得到 AB。,模糊模式识别,若 X=x1,x2,xn，记 A(xi)=ai，B(xi)=bi，则,与经典数学中的向量 a=a1,a2,an 与向量 b=b1,b2,bn 的内积,2023年3月2日,111,例 设 X=x1,x2,x3,x4,x5,x6,则,A B,模糊模式识别,2023年3月2日,112,例 设 A，BF(R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如图 3.33,模糊模式识别,2023年3月2日,113,由定义知AB
33、应为 max(AB)，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x)与 B(x)的交点 x*处的纵坐标。为求 x*，令,解得,于是,类似地，由于,故 A B=0。,模糊模式识别,2023年3月2日,114,模糊模式识别,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,或 L(A，B)=(AB)(A B)C,2023年3月2日,115,C=,C=,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,2023年3月2日,116,模糊模式识别,2023年3月2日,117,模糊模式识别,2023年3月2日,118,二、择近原则,模糊模式识别,2023年3月2日,119,模糊模式识别,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为
34、B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,B)，,2023年3月2日,120,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶。,2023年3月2日,121,综合评判：对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价。模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策。传统的评判方法有总评分法和加权平分法。,模糊综合评判,2023年3月2日,122,模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,2023年3月2日,123,模糊综合评判,2023年3月2日,124,模糊综合评判,2023年3月2日,125,模糊综合评判,2023年3月2日,126,模糊综合评判,20
35、23年3月2日,127,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：,模糊综合评判,2023年3月2日,128,例如有单因素评判矩阵,则B(0.18,0.18,0.18,0.18),2023年3月2日,129,模糊综合评判,2023年3月2日,130,模糊综合评判,2023年3月2日,131,其中：,模糊综合评判,2023年3月2日,132,实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收)乙(两茬平作),丙(两年三熟)3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2,0.1,0.15,0.3,
36、0.25,其评价等级如下表,2023年3月2日,133,经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。,过程：,因素集,权重,A（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）,评判集,2023年3月2日,134,建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。,2023年3月2日,135,2023年3月2日,136,2023年3月2日,137,2023年3月2日,138,2023年3月2日,139,二、多级模糊综合评判（以二级为例）,问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,2023年
37、3月2日,140,二级模糊综合评判的步骤：,模糊综合评判,2023年3月2日,141,模糊综合评判,2023年3月2日,142,模糊综合评判,2023年3月2日,143,模糊综合评判,2023年3月2日,144,模糊综合评判,2023年3月2日,145,模糊综合评判,2023年3月2日,146,模糊综合评判,2023年3月2日,147,模糊综合评判,2023年3月2日,148,模糊线性规划,2023年3月2日,149,模糊线性规划,一、模糊约束条件下的极值问题,例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较合身，价格尽量便宜，设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调
38、查结果如表,问他应该购买哪一件大衣？,2023年3月2日,150,模糊线性规划,该类问题的解题过程：,2.目标函数f(x)模糊化,1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度,3.定义模糊判决：,加权型：,对称型：,4.由最大隶属原则求出x*,则x*为模糊条件极大值点。,2023年3月2日,151,解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格化为模糊目标G：,将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度,其中模糊目标,2023年3月2日,152,总约束集,模糊目标集,约束与目标对等时，用对称型模糊判决,由最大隶属原则，应该买x5.,2023年3月2日,153,如果要求价格
39、更便宜，则放松约束，令a=0.4,b=0.6,加权型判决为,由最大隶属原则，应该买x1.,2023年3月2日,154,模糊线性规划,实例：采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高；(2)采煤机械化程度高；(3)采区生产系统十分完善；(4)安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低；(6)巷道掘进费用尽可能低.上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们
40、可以把(1)(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即,=,(方案),(方案),(方案),(方案),(方案),(方案).,2023年3月2日,155,模糊线性规划,经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1,略,2023年3月2日,156,普通线性规划的一般形式为,目标函数,约束条件,矩阵表达形式,模糊线性规划,二、模糊线性规划问题,(1),2023年3月2日,157,模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.,普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实
41、际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方法来处理.,2023年3月2日,158,模糊线性规划，其模型为,为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di,2023年3月2日,159,模型又可写成,当,（2）,2023年3月2日,160,模糊线性规划,2023年3月2日,161,模糊线性规划,2023年3月2日,162,模糊线性规划,2023年3月2日,163,模糊线性规划,2023年3月2日,164,模糊线性规划,2023年3月2日,165,模糊线性规划,2023年3月2日,166,模糊线性规划,2023年3月2日,167,实例1：饮料配方问题,某种饮料含有三种
42、主要成份A1,A2,A3,每瓶含量分别为755 mg,1205 mg,1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料 B1,B2,B3,B4,B5.各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？,2023年3月2日,168,多目标线性规划,在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划.若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划.,一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解.,模糊线性规划,2023年3月2日,169,例2 解多目标线性规划问题,模糊线性规划,2023年3月2日,1
43、70,解普通线性规划问题：,得最优解为x1=0,x2=2,x3=2,最优值为2，此时 f 2=8.,模糊线性规划,2023年3月2日,171,解普通线性规划问题：,得最优解为x1=10,x2=0,x3=0,最优值为20，此时f 1=10.,模糊线性规划,2023年3月2日,172,的最优解为x1=0,x2=2,x3=2,最优值为2,此时 f 2=8.的最优解为x1=10,x2=0,x3=0,最优值为20，此时f 1=10.,同时考虑两个目标，合理的方案是使f 1 2,10,f 2 8,20,可取伸缩指标分别为d1=10-2=8,d2=20-8=12.如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1;
44、如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2.,2023年3月2日,173,再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题：,得最优解为x1=6.29,x2=0.29,x3=1.43,=0.57.,此时f 1=5.43,f 2=14.86.,2023年3月2日,174,实例2：风险投资问题,某人计划将自己的资金的20%3%作为机动资金，其余用于投资5种证券：A1,A2,A3,A4,A5,已知它们的投资收益率和风险损失率如下表，问如何投资才能使收益最大，风险最小。,2023年3月2日,175,(1)偏大型(S 型)：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩
45、形分布（图3.7）2）升半 分布（图3.8）3）升半正态分布（图3.9）4）升半柯西分布（图3.10）5）升半梯形分布（图3.11）6）升岭形分布（图3.12）,2023年3月2日,176,(2)偏小型(Z型)：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，随所选函数的形式又可分为：1）降半矩形分布（图3.13）2）降半 分布（图3.14）3）降半正态分布（图3.15）4）降半柯西分布（图3.16）5）降半梯形分布（图3.17）6）降岭形分布（图3.18）,2023年3月2日,177,(3)中间型(型)：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在(a，+)为偏小型，所以称为中间型，随所选函数的形式又
46、可分为:1）矩形分布（图3.19）2）尖 分布（图3.20）3）正态分布（图3.21）4）柯西分布（图3.22）5）梯形分布（图3.23）6）岭形分布（图3.24）,2023年3月2日,178,(1)偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩形分布（图3.7）,2023年3月2日,179,2）升半 分布（图3.8）,2023年3月2日,180,3）升半正态分布（图3.9）,2023年3月2日,181,4）升半柯西分布（图3.10）,2023年3月2日,182,5）升半梯形分布（图3.11）,2023年3月2日,183,6）升岭形分布（图3.
47、12）,2023年3月2日,184,(2)偏小型(Z 型)：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，又可分为：1）降半矩形分布（图3.13）,2023年3月2日,185,2）降半分布（图 3.14）,2023年3月2日,186,3）降半正态分布（图3.15）,2023年3月2日,187,4）降半柯西分布（图3.16）,2023年3月2日,188,5）降半梯形分布（图3.17）,2023年3月2日,189,6）降岭形分布（图3.18）,2023年3月2日,190,(3)中间型（型）：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在(a,+)为偏小型，所以称为中间型，又可分为:1）矩形分布（图 3.19）,2023年3月2日,191,2）尖分布（图3.20）,2023年3月2日,192,3）正态分布（图 3.21）,2023年3月2日,193,4）柯西分布（图 3.22）,返回,2023年3月2日,194,5）梯形分布（图3.23）,2023年3月2日,195,6）岭形分布（图 3.24）,
