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1、立体几何平行、垂直问题基础知识点一、平行问题1直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件,a结论aba平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的都垂直,就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和
2、平面垂直的常用性质直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面典例探究类型一、平行与垂直例1、如图,已知三棱锥中,为中点,为中点,且为正三角形。求证：平面；求证：平面平面；若,求三棱锥的体积。ABCA1B1C1MN例2. 如图,已知三棱柱中,底面,分别是棱,中点. 求证：平面； 求证：平面；求三棱锥的体积变式1
3、. 如图,三棱柱中,侧棱平面,为等腰直角三角形,且,分别是的中点。1求证：平面；2求证：平面；3设,求三棱锥的体积。二、线面平行与垂直的性质例3、如图4,在四棱锥中,平面平面,是等边三角形,已知,1求证：平面；2求三棱锥的体积例4、如图,四棱锥PABCD中,平面ABCD,底面为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点, I求证：； II求三棱锥CDEG的体积； IIIAD边上是否存在一点M,使得平面MEG。若存在,求AM的长；否则,说明理由。变式2直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形,BADADC90,AB2AD2CD2.求证：AC平面BB1C1C； A1B1上是否存一点P,使
4、得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.4422444正视图侧视图俯视图三、三视图与折叠问题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。若为的中点,求证：面；（1） 证明：面；（2） 求三棱锥的体积。ABEPDC例6.已知四边形是等腰梯形,如图1。现将沿折起,使得如图2,连结。I求证：平面平面；II试在棱上确定一点,使截面把几何体分成两部分的体积比；III在点满足II的情况下,判断直线是否平行于平面,并说明理由。图1图2变式3一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E为PD中点.I求证：PB/平面AEC；II求四棱锥的体积；若F为侧棱PA上一点,且,则为何值时,平面BD
5、F.变式4如图1所示,正的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点。现将沿CD翻折,使翻折后平面ACD平面BCD如图21试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；2求三棱锥C-DEF的体积。四、立体几何中的最值问题例7.图4,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径, C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A= AB=2.求证: BC平面A1AC；求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.图4ABCA1例8. 如图,在交AC于点D,现将1当棱锥的体积最大时,求PA的长；2若点P为AB的中点,E为变式5如图3,已知在中,平面ABC,于E,于F,当变化时,求三棱锥体
6、积的最大值。高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题答案典例探究例1解：,又为正三角形,且为中点,又由1知又已知,又,平面平面, ,又,例2.证明：因为三棱柱中,底面又因为平面,所以. 1分ABCA1B1C1MNG因为,是中点,所以. 2分因为, 3分所以平面 4分证明：取的中点,连结,因为,分别是棱,中点,所以,. 又因为,所以,.所以四边形是平行四边形. 6分所以.7分因为平面,平面, 8分所以平面 9分由知平面. 10分所以. 13分变式1.1根据中点寻找平行线即可；2易证,在根据勾股定理的逆定理证明；3由于点是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的,求出高按照三棱锥的体积公式
7、计算即可。解析1取中点,连接平行四边形,平面,平面,平面。 4分2等腰直角三角形中为斜边的中点,又直三棱柱,面面,面,设又面。 8分3由于点是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的。,所以三棱锥的高为；在中,所以三棱锥的底面面积为,故三棱锥的体积为。12分二、线面平行与垂直的性质例3.1证明：在中,由于,. 2分又平面平面,平面平面,平面,平面. 4分2解：过作交于.又平面平面,平面 6分是边长为2的等边三角形,.由1知,在中,斜边边上的高为. 8分,. 10分. 14分例4、I证明：平面ABCD, 又ABCD是正方形,BCCD,PDICE=D, BC平面PCD又PC面PBC,PCBC
8、II解：BC平面PCD,GC是三棱锥GDEC的高。E是PC的中点, III连结AC,取A C中点O,连结EO、GO,延长GO交AD于点M,则PA/平面MEG。下面证明之E为PC的中点,O是AC的中点,EO/平面PA,又,PA/平面MEG在正方形ABCD中,O是AC中点,所求AM的长为变式2.证明：直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1平面ABCD,BB1AC.又BAD=ADC=90,AB=2AD=2CD=2,AC=,CAB=45,BC=,BCAC.又BB1BC=B,BB1,BC平面BB1C1C,AC平面BB1C1C.存在点P,P为A1B1的中点。证明：由P为A1B1的中点,有PB1AB,且
9、PB1=AB. 又DCAB,DC=AB,DCPB1,且DC=PB1,DCB1P为平行四边形,从而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1,DP面ACB1.同理,DP面BCB1.4422444正视图侧视图俯视图ABEPDC例5、1由几何体的三视图可知,底面是边长为4的正方形,面,为中点,又面。2取的中点,与的交点为,故为平行四边形,面。3例6.答案略变式3.解：由三视图得,四棱锥底面ABCD为菱形,棱锥的高为3,设,则即是棱锥的高,底面边长是2,连接,分别是的中点,23过作-10分-12分-14分变式4.解：1判断：AB/平面DEF.2分M证明：因在中,E,F分别是AC,BC的中点,有EF/
10、AB.5分又因AB平面DEF,EF平面DEF.6分所以AB/平面DEF.7分2过点E作EMDC于点M,面ACD面BCD,面ACD面BCDCD,而EM面ACD故EM平面BCD 于是EM是三棱锥E-CDF的高.9分又CDF的面积为EM11分故三棱锥C-DEF的体积为四、立体几何中的最值问题例7.图4ABCA1证明:C是底面圆周上异于A,B的任意一点,AB是圆柱底面圆的直径,BCAC, 2分AA1平面ABC,BC平面ABC,AA1BC, 4分AA1AC=A,AA1平面AA1 C,AC平面AA1 C,BC平面AA1C. 6分解法1：设AC=x,在RtABC中,0x , 7分故0x,9分即. 11分0x2,0x24,当x2=2,即时,三棱锥A1-ABC的体积的最大值为. 14分解法2: 在RtABC中,AC2+BC2=AB2=4, 7分9分.11分当且仅当 AC=BC 时等号成立,此时AC=BC=.例8.解：1设,则 令 则单调递增极大值单调递减由上表易知：当时,有取最大值。证明：（2） 作得中点F,连接EF、FP 由已知得：为等腰直角三角形, 所以.变式6. 解：因为平面ABC平面ABC,所以又因为,所以平面PAC,又平面PAC,所以,又,所以平面PBC,即。EF是AE在平面PBC上的射影,因为,所以,即平面AEF。在三棱锥中,所以,因为,所以因此,当时,取得最大值为。
