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1、4. 4.3不同函数增长的差异一.课时教学内容不同函数增长的差异二.课时教学目标L了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异.2 .经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；3 .在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识,提升直观想象素养、数学运算素养和逻辑推理素养。三.教学重难点教学重点：函数增长快慢比较的常用方法；教学难点：了解影响函数增长快慢的因素；四.教学过程(一)引入新知三种函数模型的性质y=ax(a1)y=logr,Ma1)y=Zx+h(Z0)在(0
2、,+8)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随X增大逐渐近似与y轴平行随增X大逐渐近似与X轴平行随X增大而增大，均匀增长我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异,事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.设计意图：温故知新，通过对上节指数、对数和一次函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。（二）新知探究下面就来研究一次函数y=履+伙
3、上0）,指数函数y=优（。1）在区间0,+8）内增长的差异.问题探究活动一：以函数y=2与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.分析：借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下:Xy=2y=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386.（3）观察两个函数图象及其增长方式：结论L函数y=2与y=2x有两个交点（1,2）和（2,4）结论2：在区间（0,1）上，函数）=2A的图象位于=2x之上结论3：在区间（1,2）上，函数V=2的图象位于=2x之下结论4：在区间（2,3）上，函数V=2的图象位于y=2x之上综上：虽然函数=2与y=2x都是增
4、函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是=2的增长速度改变，先慢后快.思考：请大家想象一下，取更大的X值，在更大的范围内两个函数图象的关系?随着自变量取值越来越大，函数N=2的图象几乎与A.轴垂直，函数值快速增长,函数的y=2x增长速度保持不变，和V=2,的增长相比几乎微不足道.归纳总结总结一：函数y=2x与y=2在0,+）上增长快慢的不同如下：虽然函数y=2x与V=2在0,+）上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着X的增大，2的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在X的一定范围内2,X（）时，恒有22x.总结二：一般地指数函数y=ax(a1)与
5、一次函数y=kk0)的增长都与上述类似.即使攵值远远大于。值，指数函数y=(l)虽然有一段区间会小于y=kk0),但总会存在一个九。,当I/时，y=A(l)的增长速度会大大超y=醺左0)过的增长速度.设计意图：通过画出特殊的指数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。下面就来研究一次函数y=h+伙攵0),对数函数y=logttxa1)在区间(0,+)内增长的差异.活动二：以函数y=lgx与y=x为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.Xy= Igx1y = 一X, 10O不存在O1011201.3012301.4773401.
6、6024501.699560L 7786 观察两个函数图象及其增长方式：总结一：虽然函数)，=IgX和y=*x在区间(0,+8)上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数y=%的增长速度不变，而y=lgx的增长速度在变化.随着4的增大，函数y=lgx的图像越来越平缓，像与X轴平行一样.函数y=Lx的图像离X轴越来越远.例如：Iglo=LlglOo=2,IgIOOO=3,IglOoOO=4;XlO=L-100=10,-1000=100,-10000=1000.10101010这表明，当x10,即y=lgxl时，y=lgx比y=x相比增长得就很慢了.活动三：将y=lgx放大IOoo倍，将函数
7、y=10001gx与y=x比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.总结二：一般地，虽然对数函数y=logX（Ql）与一次函数y=RMZ0）在区间（0,+8）上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着X的增大，一次函数=云（左0）保持着固定的增长速度，而对数函数=1。8“武。1）的增长速度越来越慢，不论a的值比A的值大多少，在一定范围内，log“X可能会大于壮，但是由于IogaX的增长慢于AX的增长，于是，总会存在一个Xo,当KA/时，恒有IOg“立设计意图：通过画出特殊的对数数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。活动四：类比
8、上述过程，（1）画出一次函数=2,对数函数=ig和指数函数y=2的图象，并比较它们的增长差异；师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索.（2）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充.三种函数在区间（0,+8）上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值.(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.师生活动：“直线上
9、升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论.教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可，没有特定的标准答案.设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异.(三)学以致用L下列函数中，增长速度越来越慢的是()A.y=2022xB.y=x2022C.J=Iog2022XD.y=2022x答案：C2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程x)(i=l,234)关于时间Mxl)的函数关系是工(X)=X2,f2()=2x,i(x)=log2x,f4(x)=2xt如果它们一直运动下去，
10、最终在最前面的物体具有的函数关系是()A.fl(x)=X2B.f2(x)=2xC.yi(x)=log2xD.j(x)=2r答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.3 .下表是函数值y随自变量X变化的一组数据，由此判断最可能的函数模型是()X45678910y15171921232527A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型答案：A解析：自变量X每增加1,函数值y增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数，即最可能的函数模型是一次函数模型.故选A.4 .物价上涨是当前的热门话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案
11、.据预测，这四种方案均能在规定的时间7内完成预测的运输任务口，各种方案的运输总量。与时间Z的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（）答案：B解析：由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高知，函数增长的速度越来越快,故函数的图象应一直是下凸的，故选B.设计意图：考查学生是否掌握一次函数、对数函数和指数函数增长的差异，并能够应用增长差异和增长趋势，解决相关问题.（四）总结提升教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：（1）概述本节课研究一次函数、对数函数和指数函数增长的差异的基本过程.（2）掌握不同函数增长的差异，有什么现实意义？师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善.设计意图：了解不同函数增长的差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函数、对数函数和指数函数之间的联系，以及它们的差异，并能够学以致用，达到知识技能的灵活应用.（五）布置作业必做题：教材本节练习1,2,3,4选做题：写一篇有关不同函数增长差异的小论文（六）板书设计4.4.3不同函数增长的差异L三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较
