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1、8.2 换元积分法与分部积分法4时【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一 换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法定理84(换元积分法) 设g()在上有定义，在上可导，且，并记(i)假设在上存在原函数，则在上也存在原函数，即(ii) 又假设则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数F()时，g()在上也存在原函数G()，且G()=，即证 i 用复合函数求导法进展验证：所以以为其原函数，(1)式成立 ( ii ) 在的条件下，存在反函数，且于是又能验证2式成立： 口 上述换元积分法中的公式(1
2、)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式) 下面的例1至例5采用第一换元积分法求解在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：例1 求解 由 可令则得 例 2 求解对换元积分法比拟熟练后，可以不写出换元变量，而直接使用公式.例 3 求解例 4 求解例 5 求解 解法一利用例4的结果可得解法二=这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来 从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式凑成的形式，以便选取变换，化为易于积分的最终不要忘记把新引入的变量复原为起始变量 第二换元公式(
3、2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量复原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解例6 求.解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分：.例7 求 解 令(这是存在反函数的一个单调区间)于是例8 求.解 令,(同理可考虑的情况)，于是有借助辅助直角三角形，便于求出，故得例9 求解 令，于是有有些不定积分还可采用两种换元方法来计算例10 求解 解法一采用第一换元积分法：解法二 采用第二换元积分法(令)：二 分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法定理8.5分部积分法假设与可导，不定积分存在，则也存在，并有 = 3证 由 或 ，对上式两边求不定积分，就得到(3)式 公式(3)称为分部积分公式，常简写作 4例11 求.解 令，则有由公式3求得例12 求.解 令，则，由公式3求得例13 求解 令，由公式4则有有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项，需经移项合并前方能完成求解现分别例如如下例14 求解例15 求和解，.由此得到解此方程组，求得作业：12571016202721289
