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1、在工程力学中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时,通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图像表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。目前，绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的人来说是很难理解的。通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用选取特殊点代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图一特殊截面的剪力值、弯矩值一剪力图（直角坐标系）一弯矩图（直角坐标系），
2、具体事宜与载荷种类不同有关。集中载荷例如，图1（a）所示的简支梁AB在C点处作用集中载荷F,画出此梁的剪力、弯矩图,首先，求约束反力。画受力图，如图1（a）求支座约束力。图1集中载荷作用梁由平衡方程得：3%，再画剪力图，如图1（b）。某截面上的剪力即为其截面左（右）段梁上外力的代数和，左上、右下为正，左下、右上为负。AC、CB段均无载荷作用，剪力图均为水平线。靠近A端的I截面的剪力：Fi%靠近B端的2截面的剪力:在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。最后，画弯矩图，如图1(c)。某截面上的弯矩即为其截面左(右)段梁上外力矩的代数和，左顺、右逆为正，左逆、右顺为负。AC、CB段无载荷作用，弯矩
3、图为斜直线，确定A、B、C三点临近截面的弯矩值Mjl=FAO=OMB=Fo=OMC=FAa=Fb%在弯矩图坐标中描出A、B、C三点坐标，分别作出AC、CB段的斜直线。均布载荷例如，图2(a)所示的简支梁AB在C点处作用均布载荷q,画出此梁的剪力、弯矩图。图2均布载荷作用梁首先，画受力图，如图2(a)。由平衡方程得以=%，%=%再画剪力图，如图(2b)。靠近A点截面上的剪力:FG=FA=q%靠近B点截面上的剪力：在剪力图坐标中描出A、B两点，作这两点的连线得剪力图。最后，画弯矩图，如图2(c)。均布载荷方向向下，弯矩图的形状是抛物线开口向下的抛物线；均布载荷方向向上，弯矩图的形状是抛物线开口向上
4、的抛物线，确定几个特殊点即可画出弯矩图的形状。靠近A点截面上的弯矩：MI=FA0=。靠近B点截面上的弯矩:从剪力图中可得剪力为零的点，即为弯矩值最大的点根据上述三点，画出均布载荷的弯矩图。力偶作用例如，图3(a)所示的简支梁AB,在C点处作用集中力偶MO,试画此梁的剪力、弯矩图。xMM(b)Muu/i图3力偶作用梁首先，画受力图，如图3(b)。有平衡方程得再画剪力图，如图3（c）。AC、CB段无载荷作用，剪力图均为水平线。靠近A端的I截面的剪力：靠近B端的2截面的剪力：dM(x)dx(1)(2)dxdx=q(x)(3)FG=-FB=在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。最后，画弯矩图。AC、
5、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定A、C-、C+、B点临近截面的弯矩值（C-表示在C点左侧临近截面；C+表示C点右侧临近截面）。在弯矩图坐标中描出A、C-、C+、B四点，分别作出AC-、C+B段的斜直线。结语从以上例题中，我们总结出画剪力图和弯矩图的简便方法如下。无载荷作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。均布载荷作用的梁段上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。曲线凹向与均布载荷同向，在剪力等于零的截面，曲线有极值。集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向；弯矩图有折点。集中力偶作用处，剪力图不变；弯矩图突变，突变的幅值等于集中力偶矩的大小，突
6、变的方向，集中力偶顺时针向坐标正向突变，反之向坐标负向突变。尽管用剪力、弯矩方程能够画出剪力、弯矩图，但应用选取特殊点的简便方法绘制剪力、弯矩图，会更加简捷方便。参考文献：1刘鸿文.材料力学（4版）M.北京：高等教育出版社,2004.2单辉祖.材料力学（2版）M.北京：高等教育出版社，2002.3西南交通大学应用力学与工程系.工程力学教程（第1版）M.北京:高等教育出版社,2004.4王玉杰.巧画内力图UL机械工程与自动化,2006（2）:67-69.5李杰.材料力学内力图教学的创新实践LJL邢台职业技术学院学报,2006（1）:4648.6J任树棠.机械工程力学（4版）M.北京：机械工业出版
7、社,2004.7关玉琴，王瑞清.工程力学（4版）M.北京：内蒙古大学出版社,2009.浅谈材料力学中简易法快速画梁的剪力图和弯矩图阳(化)z、=q(x)dx7图1外伸梁48承受图37.2kN(T)及=3.8kN(T)摘要文章以作用于梁上的横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，归纳总结了几种荷载作用下剪力图、弯矩图的特征。掌握这些特征就能不写内力方程而根据外力直接画出相应的剪力图和弯矩图。关键词剪力图;弯矩图;微分关系;积分关系一、引言“材料力学是工科学生的一门必修课，其中剪力图和弯矩图的绘制是本门课的重点也是难点，尤其对土木工程专业的学生而言尤为重要，也是后续课程“结构力学”的基础。教材
8、-3中介绍的绘制剪力图和弯矩图的方法主要有两种：一种是用截面法写剪力方程和弯矩方程，再根据所列方程作图。写剪力方程和弯矩方程的时候，要在外力荷载规律变化的截面进行分段，对于作用于梁上的荷载只有一种或两种的情况，对截面分段较少，所以这种方法简单、直观。但若作用于梁上的荷载种类较多时，分段写剪力方程和弯矩方程将是一个非常烦琐的过程，而且极易出错，所以这种方法使用较少。另一种方法是基于横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系和积分关系，根据剪力图和弯矩图在外力荷载作用下的规律，由控制截面上的内力值连线即可，不用写内力方程而直接画出相应的内力图。这种方法简便、高效，也被称为简易法。该方法的关键是要能熟练掌
9、握不同荷载作用下剪力图和弯矩图的特征。本文以横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，归纳总结了几种荷载下内力图的特征，具体讲述如何利用这些特征用简易法快速、高效、准确地画剪力图和弯矩图。二、横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系应用这些关系以及剪力图和弯矩图的规律，就能得到剪力图和弯矩图的一些特征(需要说明的是，以下弯矩图特征都是以弯矩向下为正总结的)。1 .若某段梁上无分布荷载作用，即q(x)=0,剪力F为常数，剪力图为平行于X轴的水平线;弯矩M为X的一次函数，弯矩图为一条斜直线。根据该梁段两端的弯矩值就能确定这条斜直线。2 .若某段梁上的有均布荷载作用，即q(x)为常数，则剪力F为X的一
10、次函数，剪力图为斜直线;弯矩M为X的二次函数，弯矩图为二次抛物线。当q0,剪力图斜率为正，是增函数，所以上斜;弯矩图斜率为增函数，所以为上凸的抛物线;当q0,同样的分析过程，剪力图下斜，弯矩图为下凸的抛物线。抛物线的凹凸方向关键看q的箭头指向。q的箭头指向哪里，抛物线就往哪凸。q箭头向上，抛物线就上凸，箭头向下，抛物线就下凸。在剪力F=O处，对应着抛物线的顶点，即弯矩的极值点。3 .若某截面有集中力作用，在集中力作用的截面剪力图会发生突变，突变值为集中力大小，突变方向与集中力作用方向一致。若集中力作用方向向上，从左到右剪力图就向上突变。当剪力发生突变但没有改变符号，则弯矩图斜率虽然发生了改变，
11、但没有变号，弯矩图上会有向上的尖角，但这个尖点的弯矩值不是极值点;当剪力发生突变而且改变了符号，则弯矩图斜率发生了改变，而且变了号，则弯矩图上的尖点就是弯矩的极值点。若集中力作用方向向下，从左到右剪力图就向下突变。弯矩图会有向下的尖角，同理，只有剪力突变异号弯矩图的尖角才是极值点。4 .若某截面有集中力偶作用，在集中力偶作用处对剪力图无影响，弯矩图在该截面会发生突变，突变值为该集中力偶的大小。突变方向从左向右顺流而下，逆流而上，即顺时针的集中力偶弯矩图向下突变，逆时针的集中力偶弯矩图向上突变。5 .自由截面以及跤接处，若无集中力偶作用，则弯矩为零。三、横向分布力集度与剪力、弯矩的积分关系四、举
12、例外伸梁AB承受荷载如图1所示，作该梁的剪力图和弯矩图。1 .由静力平衡方程求C、B两处的支反力。2 .画剪力图。从左到右画，对于平衡问题，剪力从零开始，到零结束。A截面作用有向下的集中力，所以剪力图要向下突变，从零开始，突变值3kN,AC段没有分布荷载作用，q=0,剪力图为水平线。C截面有向上的集中力作用，剪力图向上突变，突变值为F的大小,所以到4.2kNCD段有均布荷载作用，所以剪力图是斜直线。D截面剪力值由截面法取右半部分析可得-3.8kNDB段没有分布荷载作用，剪力图水平线。B截面有向上的集中力作用，所以剪力图向上突变，突变值FB的大小，正好回到零点。如果这里没有回到零点，说明支反力或
13、控制截面的剪力值有误，需检查并修改，起到一个校核的作用。同时标明剪力的单位及正负号（图2）。3 .画弯矩图。从左到右画，对于平衡问题，剪力从零开始，到零结束。A截面是自由截面且没有集中力偶作用，所以弯矩为零。C截面弯矩即AC段剪力图面积得-3kNmAC段没有分布荷载，弯矩图是斜直线。CD段有均布荷载作用，弯矩图抛物线。均布荷载箭头向下，所以抛物线向下凸。画抛物线通常选3个截面，分别是均布荷载的起端、末端及剪力为零处对应的弯矩值即抛物线顶点。由剪力图可求得剪力为零处的位置，根据积分关系就能求得该处的弯矩值为1.41kNm,D截面左侧弯矩值为-2.2kNmD截面处有集中力偶作用，弯矩图要发生突变。
14、集中力偶的方向是顺时针,顺流而下,所以弯矩图向下突变,突变值6kNm,突变到3.8kNmDB段没有分布荷载作用，所以弯矩图是斜直线.B截面是较接处，没有集中力偶作用，弯矩为零。标明弯矩的单位及正负号（图3）。五、总结本文以横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，总结归纳了几种荷载作用下剪力图和弯矩图的特征，具体讲述了如何用简易法画内力图。利用它们之间的积分关系，可由内力图面积快速求出控制截面的内力值。掌握这些特征，就可以不用写内力方程而根据外力直接画出相应的内力图，简单、高效。参考文献I邓宗白，陶阳，吴永端.材料力学M.北京：科学出版社，2013.刘鸿文.材料力学（I）M北京：高等教育出版社，2011.孙训方.材料力学M.（第5版）北京：高等教育出版社，2009.
