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1、概率与统计专题一：二项分布一、知识储备一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=Z) = C;p(l-p)i ( = 0,1,2,. )如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution), 记作X Bg p)。事件N发生的概率事件发生的概率P(X=k )=c* p (l-p 产“(其中b,l,2,”)试验总次数事件/发生的次数二、例题讲解1. (2022全国高三其他模拟)羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成 的一种小型球类的室内运动项目.羽毛球比
2、赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局 2胜.每回合中，取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛； 若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜.某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为乙选手在每回合中得分的概率为;.44(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18,求在经过4回合比赛甲获胜的概率；(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ,求X的分布列及数学期望E(X).2. (2022 青铜峡市高级中学高三开学考试(理)设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30之前到校的 概率均为土假定甲、乙两位同学到校情况互不
3、影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的每周五天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7： 30之前到校的天数比乙同学在7： 30之前到校的天数恰 好多3天”为事件M,求事件M发生的概率.3. (2021 全国高三专题练习(理)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设 他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是;.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列、期望、方差；(2)设y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一
4、次红灯的概率.三、实战练习1. （2022 湖北武汉）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知2该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是：，那么在本次运动会上:（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X ,求X的分布列及期望.2. （2022渝中重庆巴蜀中学高三开学考试）某医院为筛查某病毒,需要检验血液是不是阳性,现有（四） 份血液样本，为了优化检验方法，现在做了以下两种检验方式：实验一：逐份检验，则需要检验次.实验 二：混合检验，将其中机（N*且m2）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性
5、，这小 份血液样本全为阴性，因而这加份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这m份血 液样本究竟哪几份为阳性,就要对这，份血液样本再逐份检验,此时这，份血液样本的检验次数总共为机+1. 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果 的概率为P（OVPVI）.现取其中A （AN且2）份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的这2份样本的总次数为。，采用混合检验方式，需要检验的这&份样本的总次数为（1）若每份样本检验结果是阳性的概率为尸=1,以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，从全市人 民中随机抽取3名市民，（血液不混合）记抽取
6、到的这3名市民血液成阳性的市民个数为X ,求X的分布 列及数学期望（2）若每份样本检验结果是阳性的概率为P = I-鬓，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐 份检验的总次数。的期望值更少，求左的最大值.（In41.386, ln5=1.609, ln6L792）3. （2022 全国高三其他模拟（理）新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口 罩，现将A地区居民20000人一周的口罩使用量统计如表所示，其中1个人一周的口罩使用为6个以及6个上的有14000人.1个人的一周口罩使用数量（单位：个）2,4)4,6)6,8)8,10)10,12频率0.2m0.3n0.1（1）求
7、?、的值；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从A地区的所有居民中随机抽取4人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围6,8）的人数为X ,求X的分布列及数学期望.4. （2022新沂市第一中学高三其他模拟）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表:平均每天锻炼的时间（分钟）0,10)10,20)20,30)30,40)140,50)50,60总人数203644504010将学生日均课外体育锻炼时间在40,60内的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表
8、，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；课外体育不达标课外体育达标总计男女20110总计（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机 抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X,求X的分布列和数 学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求 其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.5. （2022陕西汉中高三月考（理）树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树
9、木，某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木，调查得到A树木根部半径工 （单位：米）与A树木高 度丁（单位：米）的相关数据如表所示：X0.10.20.30.40.50.6y1.11.31.61.52.02.1（1）求y关于X的线性回归方程;（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某A树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，以 此频率来估计概率，则在此片树木中随机抽取80棵，记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X ,求 随机变量X的数学期望与方差.参考公式：回归直线方程为7 =晟+ 7 其中石=WN- -nx6. （20
10、22 四川成都双流中学高三三模（理）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求。的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代 替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm以上的概率.若从 全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180Cm以上的男生人数，求随机变量X的 分布列和数学期望E（X）.7. （2022 安徽安庆一中高三三模（理）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础
11、上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅 乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙 就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50乳选择餐厅甲就餐的概率也 为50%,如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是2,择餐厅乙就餐的概率是L ,记某同学第 33天选择甲餐厅就餐的概率为2（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为尤 求X的分布列，并求以a；（2）请写出2.与KSWN*）的递推关系；（3）求数列修的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学
12、生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅 甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.8. （2022 湖北恩施高三其他模拟）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:用气居民编号12345678910年用气量(立方米)95106112161210227256313325457(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户 数的分布列与数学期望；(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有女户 年用气量不超过228
13、立方米的概率为P(Ar),求使P(Z)取到最大值时，上的值.9. (2022天津宝氓高三其他模拟)冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（.侬S和严重急性呼吸综合征（弘的等较严重疾病，而新型冠状病毒（夕力是以前从未在人体中发现的 冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较 严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡.假如某医药研究机构合成了甲、 乙两种抗“新冠病毒”的药物.经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为2,现已进入药物临床3 2试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成.其中2人试用甲种
14、抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药 物.如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用4表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求J的分布列和数学期望.10. （2022全国高三月考）2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2021年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作.本次移植 的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种.现从冬奥赛区 树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度”
15、（单位：m）进行测量，将测量结果绘制为如图所示 的频率分布直方图.（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（m）服从正态分布N（,0.1222）,其中近似为 样本平均数记X为假植区内IOOOo棵暴马丁香中高度位于区间（2.122,2.244）的数量，求E（X）；（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移 植成活率达到了 90%.假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率.（保 留三位小数）附：若” N（,2）,则 P（
16、-b”v + b） = 0.6827, P（ - 2 7 / + 2） = 0.9545.11. （2022 云南省元谋县第一中学高三其他模拟（理）随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视 频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短 视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶 3段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门 会随机分配3名员工对该条短视频
17、进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为g,若该视频获 得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.12. （2022 衡水第一中学高三月考（理）为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命” 的要求，某省推出的高考新方窠是“3 + 1 + 2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理 与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，
18、给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，8组合：历史、3政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择8组合的概率 为选择C组合的概率为（，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望.13. （2022福建三明高三期末）某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是:将大小相同的4个白球和4个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀，每次从箱子中随机摸出3个球，记下这3 个球的颜色后放回箱子再次搅拌均匀.如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多，则该次游戏得3分，否 则得1分.假设在每次游戏中，每个球被模到的可能性都相等.解决以下问题：（1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为J ,求J的分布列及其数学期望；（2）如果顾客当天在该商场的消费满一定金额可选择参与4次或5次游戏，当完成所选择次数后的游戏的 平均得分不小于2时即可获得一份奖品.若某顾客当天的消费金额满足条件，他应如何选择游戏次数才会有 更大的获奖概率？说明理由.
