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1、八年级-奥数-专题-超级资料+各类竞赛题汇集目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。注：有（*）标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次
2、方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通
3、过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；AC.求证：Z3T2拓展AAfiC中，于D,求证:第二讲：平行四边形（一）【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是
4、平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；3）矩形的对角线相等。（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2CD,、F分别是对角线8D、4：的中点。求证：ef-(AB-CD)E【拓展】、F为四边形ABCD的一组对边AD、8C的中点，若EF=g(A8+CO),问
5、：四边形A8CD为什么四边形？请说明理由。【例4】四边形A8CD中，G、H分别是AD、8C的中点,延长线于、Fo求证：ZBEH=ZCfh.AB=CD.BA CD的延长线交HG的【例5】如图，AABC的三边长分别为A8=14,8C=16, 一点，且8P_LAD, M为8C的中点，求PM的长。AC=26, P为/A的平分线AD上P/BDM【巩固】已知：中，分别以48、AC为斜边作等腰直角三角形A8M和CAN,P是8C的中点。求证：PM=PN第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如以2+法+。=。（4工0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元
6、二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式X=Y内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；Ia它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。【例题精讲】【例1选用恰当的方法解方程（基础题）：(1)x2-2x=0(2) X2-9=0(3) (l-3x)2=1;(4)(t-2) (t+l) =0(5)x2+8x=2(6)x2-7x+6=0(7)x2-4x-21=0(8)x2-2x-15 = 0(9)4x2-12x9=0(10)-tz2-4tz+21=0(11)x2+11x+18=()(12)-x-3=0(13)X (-6) =2(14)(2
7、x+l)2=3(2x+l)(15)2b2+7b-5=0(16) 3a2+4-4= 0(17) 3Z?2+14/7= 5(18)23x2+x-3=0(19)x4-x2-20 = 0(20)(3x+5)2-5(3x+5)-6=0；【例2】用适当的方法解下列关于X的方程(提高题)：(1)(3x-2X4x+3)=5;(2)x2-2x-3327=0;(3)(5x-3)2-12=4(5x-3);(4)(3x-iX%-l) = (4x + lX%-l);(5)(2-3)r2-2(3-l)r-6=0o【巩固】用适当的方法解下列关于X的方程：(1)(x-2)2-9(x+l)2=0；(2)X2-6cc=b2-9a
8、2,(3) 2x2+(22-3)r-6 =Oo(4) (2xl)(-3)=(4x-1/3-x)p【拓展】解方程：(6x+7)2(3x+4Xx+1)=6;【例3】解方程：2-3-4=0o【巩固】解方程：（1）x2-x-l-l=0;【例4】解关于X的方程：（加一1卜2+（2加一1卜+加一3=0。【巩固】解关于%的方程：2-4p+4p2+5x-10p-6=0()则方程有两个不相等的实数根-b+ylb2-4ac-b-yb2-4ac,2a22a2、若A=。，则方程有两个相等的实数根：x1=x,=-；2a3、若八0,则方程无实根（不代表没有解）。二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；2、运用判
9、别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围：3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题精讲】【例1】已知方程0r2+4-l=0;则当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？当。取什么值时，方程有两个相等的实数根？当。取什么值时，方程没有实数根？【巩固】1、已知关于X的方程d+2（2-Zn）X+3-6m=0。求证：无论加取什么实数，方程总有实数根；2、已知关于X的一元二次方程（1一2Z）X2-2JrrLC-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。【拓展】关于X的方程Zf一（&一1卜+1=。有有理根，
10、求整数人的值。【例2】已知关于X的方程一(a+2)x+2欠=0。(1)求证：无论上取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形A8C的一边长。=1,另两边长氏C恰好是这个方程的两个根，求448C的周长。【巩固】1、等腰三角形48C中，BC=8,AB.AC的长是关于X的方程V-10+机=。的两根，则/n=。2、在等腰三角形A8C中，N4、/8、NC的对边分别为4、b、C,已知a=3,和C是关于X的方程/+2-,6=0的两个实数根，求三角形A8C的周长。2【拓展】已知对于正数、b、C,方程。2/+(。2一/一,+/=0没有实数根，求证:以长4、b、C的线段为边能组成一个三角形。【例3】设方程国
11、=4有三个不相等的实数根，求。的值和相应的3个根。【巩固】已知关于X的方程丁+(1一。匕2一2狈+。2=0有且只有一个实根，则实数。的取值范围是【例4】设,b,c,d0,证明在方程X2+Jla+bx+4cd=0：2-X2+j2b+cx+4ad=0；2-X2y2c+dx+4ab=0；2-X2+y2d+ax+4bc=0,2中，至少有两个方程有不相等的实数根。第八讲：一元二次方程根与系数的关系【知识梳理】一元二次方程or?+版+c=o(QWo)的根与系数的关系(韦达定理)bc设方程的两个根X,X2则X+M=，XxX2=-Oaa韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形:(1)x12+x22=(x
12、1+x2)2-2xix2；(2)I/二XJ+=(再+电1，X1x2x1x2XiX2(3) i3+x23=(x1+x2)(x1+x2)2-3xlx2i(4) (x1-X2)2=(x1+x2)2-4xix2；(5) x1-x2(x1-x2y=(x1+x2)2-4x2。【例题精讲】例1求下列方程的两根之和，两根之积。(1)x2-2xl=0:(2)x2-9x+10=0;解：X1+X2=,X1X2=解：xi+X2=,X1X2=(3) 2-9x+5=0;(4)4x2-7x+l=0;解：x1+X2=,X1X2=解：Xi+X2=，XIX2=(5)2x2-5x=0i(6)2-1=0解：X1+X2=,X1X2=解
13、：X1+X2=,XjX2=【例2】设即，X2是方程2+4-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) (xl)(X2+I)=；(2)x2x2+xx22=;(3)-+=再赴(4) (Xl+及)2=；(5)(XI-及)2=；(6)xi3+23=.【例3】解答下列问题：(1)设关于X的一元二次方程一一4%一2(%-1)=0有两个实数根司、/，问是否存在X1+X2+c)2；a2+h2+c2+2ab-2bc-2ca=(+力-c1；a2+h2+c2-2ab+2bc-2ca=（-Z?-c）2；立方和（差）公式：a,+b3=（a+ba2-ab+b2,a3-b3=（a-b2-ab+b2）i2、许
14、多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果:(1) 土力士+l=(。1)(1)；(2) aba-ib-=(+1XZ?1)：(3) +4=(/+2+212。+2)；(4) 44+1=Q/+2。+1)(2。2-2。+1)；(5) a2+b2+c2+2ab+2hc+2ac=(a+b+c(6) a3+/+c3-3abc=(a-b+cc2+b2+c2-ab-bc-ac)o二、分式：1、分式的意义形如一（A、3为整式），其中8中含有字母的式子叫分式。B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。2、分式的性质（1）分式的基本性质:AAM AMB BM -
15、BM（其中M是不为零的整式）。（2）分式的符号法则:分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。（3）倒数的性质：.l=l(tz0),=,)*若4L=l,则屋=1(0,k是整数)；ayaaaJciH2(0)o3、分式的运算八TlvI、-的计rm七ababa.cadbc分式的运算法则有：一-=,一=；cccbdbd=（是正整数）。bnacacacad(a一=,+=,一bdbdbdbeb4、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。三、二次根式：1、当白0时，称
16、后为二次根式，显然右02、二次根式具有如下性质:(1)(x/) = a(a 0)：(3) yab = ya 4b(a 0, Z? 0)：3、二次根式的运算法则如下：(1) a4c bc = (a b)c(c 0)；(2) = J ( )o(4)a,当0f,-a,当。(M；行名0,）。4、设,b,c,d,meQ,且加不是完全平方数，则当且仅当=c,0=d时,a+bym=c+dym。【例题精讲】【例1】分解因式：x2+xy-6y2+x+3y-6【巩固】分解因式：2、3x2+5xy-2y2+x+ 9y-4;X2-xy-2y2-x+5y-2；【例2】已知。、b、C是一个三角形的三边，则/+/+。4-2
17、。2从一222。242的值是（）A恒正8.恒负C.可正可负D.非负3、A为何值时，多项式/-2盯+32+3%一5+2能分解成两个一次因式的积？【例3】已知4、是实数，且（71+2+卜1+/+。）=1,问4、力之间有怎样的关系？请推导。【专题训练】1、已知4b+A+l=13,求。+人的值为2、多项式x?+xy+8y-5x+y+6的一个因式是x+y2,试确定a+b的值为3、设的=a+2c,求/-96+4。2+4碇的值。4、若c0,且设厘=妇=*,则包皿亚包=cababc5、已知1=且，2=*,3=3,则Ax+yy+zz+x6、已知。+2=1991,/?+x2=1992,c+x2=1993,且。入c
18、=24,则abclll+=becaababc7、当X变化时，分式3-+6x+5的最小值为-X2+x+l2X8、设一上=1，则633X-wx+1X-mx+19、已知实数.满足1992-+J4-1993=。,则4-1992?=10、化简2瓜y2.+ 3 y511.已知4x=-J=一8,则y4x+X2=12、设j39-的整数部分为。，小数部分为匕，则一+-a+ba+4-b13、设等式工)+=Jx-Jo二y在实数范围内成立，其中,%,y两kHLnl3x2+xyf-y2两不同，则1Lr=:X-xy+y14、使等式6+4=回成立的整数对(x,y)的个数为:15、设正整数,m,满足Ja?-4巧=,则这样的a
19、,m,的取值有2n+x2n组；122216、求和：S-1T-+-+1+xl+x2l+x417、己知+b+c=,化简FZ7+fZ7+f；7b-+c-ac+a-b-a+b-C18、若+8+c=Obc0,计算O-3+九一1)+。一仁Zr)的值。beacab111119、计算:-I1+3353+3575+574947+474920、设知=(4+26，它的小数部分为P,求M(I-P)的值。第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数
20、式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边;（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明:左边-右边=0,或然= L此时右边04、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例1】己知?C=1,求证：-+-+-（ab+a-bc+b-c+c+l思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩固】已知x、y、Z为三个不相等的实数，且x+,=y+!=z+L,求证：/Vz2=1。yzX【拓展】若x+y+zOXyZ，b=-,c=y+zx+zx+y+=1a
