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1、重构“平均数”教学浙江省嘉兴教育学院朱国荣重构之思考对“平均数”一课的教学，值得放在“历史长河”中去考量。我是1990年踏上讲台的，从开始工作起，很长一段时间内，一直把“平均数”当成一类典型应用题来教。应用“总数总份数=平均数”这一数量关系解题，并进行变式、拓展，这几乎是“平均数”教学的全部内容。对“平均数”教学目标定位的巨大转变发生在2001年前后，随着数学课程标准（实验稿）的颁布以及实验教材的使用，我们开始聚焦平均数的统计意义。如何将平均数作为概念来教？怎样“从统计学的角度”理解平均数？平均数这个概念的本质以及性质是什么？这些问题成了诸多教师教学实践和研讨交流的重点，也创造了不少经典课例，
2、张齐华老师执教的“平均数”是其中的代表,引无数教师所效仿。刘加霞老师在概念为本的教学：评张齐华的“平均数”一课（小学教学2009.4）一文中，对张老师的课进行深度剖析，并给予了高度评价。刘老师在文章最后也提出了需要进一步思考的问题：培养学生的“统计观念”，还是“数据分析观念”？一直到2011年前后，随着数学课程标准（2011年版）的颁布，我们逐步明晰了“数据分析观念”的内涵，也引发了我们对“平均数”一课教学的进一步思考：站在培养学生“数据分析观念”的目标视角，如何重构教学？数学课程标准（2011年版）明确给出“数据分析观念”的内涵包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过
3、分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。对照“数据分析观念”的内涵，反思2001年后对“平均数”一课十多年的教学实践研究,我们是否过于关注将“平均数”作为一个统计概念来实施教学了？将教学的重心放在帮助学生理解平均数的本质及性质，是否体现了课标和教材的目标要求？是否真的需要让学生那么清晰地认识平均数是一个“公平的数、虚拟的数、灵敏的数、会骗人的数”？刘老师在上文中指出，将平均数作为一个重要概念来教，重点是要解决三个
4、问题：为什么学习平均数？平均数这个概念的本质以及性质是什么？现实生活、工作等方面是怎样运用平均数的？我们需要思考，将教学重点落在揭示“概念的本质以及性质”，是否符合四年级学生认知水平要求，是否能有效落实培养学生“数据分析观念”的课标要求？我认为应转变教学重心，也就是要将教学的重心落到第一个问题和第三个问题上，适度淡化平均数概念的本质以及性质。正是基于以上的思考，我对“平均数”一课的教学进行了重构，试图彰显对“数据分析观念”的观照与落实。重构之实践一、导入新课师：同学们，这节课我们要解决三个数学问题，第一个是四年级同学的问题，第二个是三年级同学的问题，第三个是二年级小朋友的问题。二、问题探究（一
5、）四年级同学的问题：哪个队的投篮水平高？L创设情境，提出问题。师：我们先来挑战四年级同学的问题。师：上周，四（1）班的体育老师组织男生和女生开展了一次1分钟投篮比赛。男生队派出了三位队员“小强、小军和小明”，他们分别投进了“4个、6个和5个二女生队派出了“小红、小丽、小美和小芳”四位队员，她们分别投进了“5个、3个、7个和1个”。（课件依次呈现）小强小军小明小红小丽小美小芳4个6个5个5个3个7个1个男生队女生队1 L一J一师：看了这两组数据，四（1）班的体育老师向大家提出了一个数学问题（课件出示）：哪个队的投篮水平高？请齐读。2 .独立思考，尝试解答。（1）学生独立思考；（2）在草稿本上列式
6、解答。教师巡视发现，主要有两种解答方法：比总进球数，女生队的水平高；比平均每人投中的个数，男生队的水平高。3 .组织全班反馈。（1）统计判断结果，教师请认为男生队投篮水平高的学生举手，再请认为女生队投篮水平高的学生举手（大致各半）。（2）指名口答，教师板书。生1：我认为女生队的投篮水平高，因为女生队一共投进了16个球，男生队一共投进了15个球，女生队的总进球数多。教师板书算式：男生队：4+6+5=15（个）女生队：5+3+7+1=16（个）1615生2：我认为男生队的投篮水平高，男生队只有3个人，女生队有4个人,女生队如果去掉一个人，最多和男生队打平，多数时候是输的。生3：我也认为男生队的投篮
7、水平高，因为153等于15个，164等于4个，5大于4,所以男生队投篮水平高。教师板书算式：153=5（个）164=4（个）54教师追问：153等于5个，求的是什么？164等于4个呢？生1：男生队平均每人投中5个。（教师板书）生2：女生队平均每人投中4个。（教师板书）（3）组织讨论。师：到底应该比总共投进了多少个，还是比平均每人投进多少个呢？请同桌两位同学进行交流，统一意见。同桌交流后，指名口答。生1：我认为应该比平均每人投进多少个，因为女生队比男生队多了一个人。生2：人数不相等，比总数不公平。师：如果男生队只有三名队员，女生队有十名队员，就更不公平了。看来在两个队人数不相等时，比总数不公平，
8、需要比什么呢？生：要比平均数。教师板书课题：平均数。【环节评析】在队员人数不相等的情况下，怎样比较哪个队的投篮水平高？对四年级第二学期的学生而言，这是一个具有适度挑战性的问题。应该比总进球数，还是比平均每人投进的个数？不同学生解决问题的方法和水平存在差异，而这种差异正是最好的教学资源。在尝试、交流、质疑、讨论，直至达成共识的过程中，平均数这一概念初步生成。4.借助移多补少，直观理解平均数的意义。师：下面我们看图找平均数（呈现右图）。男生队平均每人投进5个，从图上你能找到这个平均数5吗？指名学生在屏幕上指出来。生：把小军多出来的1个移给小强，每个人就都是5个了。师：怎么移动？请大家伸出手指指一指
9、。随着学生的动作，教师课件演示移动过程，结果如右图。师质疑：老师这样指，我说小明投中5个，这个5就是平均数5,你认为对吗？为什么？J: 小强小军小明 4个6个5个更生从 小强小军小明4个6个 S个男娶队生L我认为不对，因为平均数5,是指平均每人投中5个，而不是指小明投中5个。生2：如果小军不是投了6个，而是投了7个的话，平均数就不是5了。师：看来，平均数不是指男生队中某一个队员的投篮水平，而是代表了男生队的整体水平（板书：整体水平）。师：这是女生队，指一指女生队的整体水平在哪个位置。（课件呈现虚线）师：移多补少试一试。随着学生的动作，教师课件演示移动过程。小红小租小美小芳5个 3个冷1个女生队
10、师：从这两幅图上我们可以直观地看出，确实是男生队投篮的整体水平高一些。【环节评析】平均数代表的是一组数据的整体水平，是一个“虚拟”的数。要让学生认识到平均数这一特征，并不是一件容易的事。经过多次实践探索，我认为，让学生在直观图上找出平均数，从而产生移多补少的主动需要，通过指一指、说一说、移一移，经历将每一个数据移成一样多的过程，最后通过质疑、交流，能使得学生较为深刻地认识到平均数表示的是整体水平，而不是个体水平的数学内涵。在这一环节，移多补少并不是求平均数的方法，而是借助直观，帮助学生理解平均数数学内涵的一种手段。（二）三年级同学的问题：我通常能跳一厘米？1 .提出问题。师：解决了四年级同学的
11、问题，我们再来看三年级同学的问题。师：三（1）班的体育老师让聪聪和明明去测试自己的立定跳远成绩，回来汇报。（课件呈现）师：到了学校操场，聪聪说“我们各跳一次，然后向老师汇报”，明明说“跳一次不准的，我们多跳几次吧。你们认为谁的意见比较合理？生（齐）：明明！2 .数据分析。师：他们决定每人跳4次。聪聪先跳，四次成绩分别是175、185、170、190厘米（课件呈现）。师：看了这一组数据，如果你是聪聪，你会怎样向老师汇报？（课件呈现：我通常能跳一厘米。）生1：通常能跳170厘米；生2：通常能跳175厘米;生3：通常能跳180厘米。师：为什么不说通常能跳190厘米？生1：190太高了。生2：如果老师
12、让聪聪再跳一次，他很难跳到190厘米。师：185呢?生：185还是高了点。师：170s175、180,你们同意哪一个？生1：180刚刚好。生2：170太低了，175也低了点。师：这四个数据中没有180啊！怎么来的？生1：180是平均数，是把这4个数加起来，再除以4得到的。生2：185给175个5,185和175都变成了180；190给170一个10,也都变成了180o师：看来用移多补少求平均数挺方便的！确实，用平均数代表这四次成绩的整体水平比较合理。师：明明也跳了四次，成绩分别是179、180、180、185（课件呈现）。明明该怎样汇报？生1：通常能跳180厘米，因为180厘米有两次。生2：通
13、常能跳181厘米，181是平均数。师：181怎么算出来的？生：先185给179一个1,09也变成了180,185变成了184；184再给第一次一个1,第二次一个1,第三次一个1,就得到了平均数181。3 .合理推断。师：谁立定跳远的整体水平高一些？生：明明。师：如果体育老师让聪聪和明明再比赛一次,每人都跳一次,你认为谁会赢？（给学生独立思考的时间）师：四人小组交流，谁会赢？判断的理由是什么？四人小组交流后，指名口答。生L我们认为明明会赢，因为明明的整体水平高。师：哦，你们是根据平均数来进行判断的。生2：我们认为聪聪会赢，因为聪聪爆发力比较强，他最远能跳190厘米,如果他发挥得好，就能赢。1 3
14、：我们认为是不能确定。师：不能确定是什么意思？2 3：有可能聪聪会赢，也有可能是明明会赢。师：也就是说，虽然明明的整体水平略微高一些，但跳一次，不能确定谁能赢。刚才三位同学的答案，哪个更合理？3 4：应该是不能确定，还有可能打平的。师：真厉害！你们已经会全面、理性地思考问题了。【环节评析】看到四次立定跳远的距离，该怎样向老师报告自己的成绩？这又是一个富有挑战性的问题。在思考、交流过程中，学生不但认识到应该求出平均数来代表四次立定跳远的整体水平比较合理，而且还明白了为什么要选择平均数向老师报告。这是学生进一步认识平均数数学内涵的过程。对“如果再跳一次，谁会赢”这个开放性问题的讨论过程中，让学生认
15、识到平均数高的，并不一定能赢，因为平均数代表的是整体水平，而不是下一次跳的成绩，渗透了随机思想。()二年级小朋友的问题：你认为小林的口算水平怎么样？4 .提出问题。师:解决了三年级同学的问题,接下来我们要来研究二年级小朋友的问题了。师：上周，二(1)班的数学老师组织了一次全班同学都参加的口算训练。一共80道口算题。师：二(1)班的小林同学做对了68道，你觉得小林的成绩在班级中处于怎样的水平呢？教师随机指名多位学生进行评价，多数学生认为“不太好”、“比较差”，也有学生提出不同观点。生：如果这次的口算题比较难，全班很多同学的成绩都低于68题，那么小林的成绩就属于“非常好”了。师：也就是说，只知道8
16、0和68这两个数据，我们还无法确定小林的成绩在班级中处于怎样的水平。如果要想确定，你需要收集哪些数据呢？生1：我想知道最多做对了几道，最少做对了几道。生2：我想知道全班一共有多少位同学，每位同学分别做对了多少道。生3：我想知道班级平均做对了多少道。5 .分析数据。(1)呈现数据。师：老师收集到全班一共有36位学生，还有每人最对的题数。（课件出示，如右图）师：看了这些数据，请你分析并判断小林的口算水平到底是属于非常好、一般般，还是比较差？（2）分析判断。先独立思考，再组织四人小组讨论交流，然后反馈。生1：我认为是比较差，因为最高的是80道。生2：我也认为是比较差，因为我看到比68道少的没几个人，
17、比68道多的人很多。师：比68道少的到底有几个人，比68道多的呢？怎样能很快看清楚？生：可以排排队。59676767C)6868686869697070707173737474教师课件动态呈现数据从小到大排序的过75757575757676787878797980808080程，如右图。师：数一数，比68道少的有？（生：5个人）比68道多的呢？（生：26个人）还有4个人和小林一样。这样一分析，我们能得出怎样的结论？生：小林的口算水平比较差。师：说一般般也比较勉强，非常好就更不要说了。师：还有别的想法吗？生：可以算出全班同学的平均数。师：怎么算呢？生：把每个人做对的题数加起来，再除以总人数36。
18、教师课件呈现算式。师：猜一猜，平均数大致在哪个位置？（让学生看着上面的数据排序图找）生1：我猜大概是75。生2：我猜是73o师：可能是80吗？（生齐：不可能！）对，平均数不可能是最高的80,当然也不可能是最低的40o教师呈现计算结果。师：没有同学做对72题，怎么解释呢？生：72是全班同学的平均数，不是某一位同学最对的题数。师：72是全班的整体水平，不是某个同学的水平。看到平均数72,你们认为小林的口算水平怎么样？生：比较差，比平均数低了4道。师：小林的口算水平低于全班的整体水平啊！【环节评析】二年级小朋友的问题开放度更大。看到两个数据，让学生判断小林的算成绩在班级中处于怎样的水平，使学生产生矛
19、盾冲突，从而产生要收集数据的需求。呈现数据后，教师鼓励学生多角度整理和分析数据，培养学生思维的灵活性、开放性和深刻性，发展学生的数据分析观念。三、课堂总结师：四年级、三年级、二年级同学的问题我们都研究完了，数学好玩吧！说说你知道了哪些新知识？生1：我知道了平均数代表了整体水平。生2：当人数不一样时，用平均数比较公平。生3：立定跳远比赛的时候，平均数高的，再比一次，并不一定能赢。师：我们还学会了求平均数的方法，可以怎么求？生1：可以先把总数加起来，再除以有几个人。生2：可以移多补少。教师板书：p求和均分一组数据一同样多、移多补少J师：不管是求和均分，还是移多补少，都是为了让每一个数据变得同样多，
20、这个同样多的数,就是这一组数据的平均数,平均数代表了这组数据的整体水平。四、拓展延伸1.一年级同学的问题：下面哪几位学生可能是礼仪队的队员？（1）提出问题。师：猜猜最后我们要研究几年级学生的问题？（生齐：一年级！）师（课件呈现）：一年级学生礼仪队一共有6名队员，他们的平均身高是120厘米。下面哪几位学生可能是礼仪队的队员？李强，118厘米；张明，121厘米；王小宇，127厘米。（2）学生独立思考后，组织四人小组交流。（3）指名口答。生1：我认为张明是礼仪队的队员。生2：我认为李强和张明都可能是。生3：王小宇不可能是。师：李强和张明都可能是，同意吗？（生齐：同意！）这两位同学的身高都在120厘米
21、左右。师：你们认为王小宇不可能是，怎么想的？生1：王小宇太高了！师：有不同意见吗？大多数学生没有反应，稍作等待后有学生举手。生2：我觉得王小宇也有可能是礼仪队的队员。因为120厘米是平均数，如果还有一位同学是113厘米，王小宇的7厘米移过去，平均数也是120。师：有这种可能吗？课件呈现两组数据：118119120120121122113119120120121127师：这两组数据的平均数都是120,所以从数学角度思考，王小宇还真有可能是礼仪队的队员。但是，如果你是校长，你喜欢哪一组同学来做礼仪队？生：第一组！第二组高的很高，矮的很矮，不好看。师：对，如果从队伍美观的角度思考，那么王小宇不太可能
22、是。【环节评析】在这一环节,经典的问题是“有一条河的平均水深是110厘米，小明身高140厘米。他过河会不会有危险”。仔细想来，这个问题并不完美，一方面，在现实生活中，一般的提示是“最深处XXX厘米”，或者“水深XXXXXX厘米”。另一方面，平均水深110厘米，对刚学平均数的学生而言，不好理解和把握，因为,这个110厘米代表的是哪几个数据的整体水平是模糊的，也就是所描述的对象不确定。而讨论礼仪队学生的平均身高问题，不但好把握，还能引发学生数学思考和生活化思考。2.引导举例。师：回顾一下整节课，我们先研究了平均进球数，又研究平均（投中个数）平均（跳远距离）平均（做对题数）平均（身高）平均（）了平均
23、跳远距离，还研究了平均做对题数,最后研究了平均身高（课件依次呈现）。想一想，生活中还有平均什么？生1：平均体重。生2：平均多少钱。生3：平均分数。师：在每次考试后，你们的数学老师经常会算一算班级的平均分。你知道老师为什么要算平均分吗？生1：可以比一比，哪个班级成绩好。师：比较几个班级的整体水平哪个高。生2：可以知道有哪几个同学的分数比平均数低了。师：看来平均数在我们的学习、生活中十分有用。重构之策略重构“平均数”教学，聚焦点是如何有效落实培养学生“数据分析观念”的课标要求。重构策略之一：引导学生在解决实际问题的过程中认识到“平均数有什么用”。平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是分析数据的常用
24、统计量。本课教学需要创设真实的问题情境，让学生在分析问题和解决问题过程中认识平均数在数据分析中的重要作用。本课主要讨论三个问题：（1）比较“哪个队的投篮水平高”，让学生认识到，在人数不相等的情况下，用平均数比较两个队的整体水平比较公平。（2）思考“我通常能跳一厘米”，让学生认识到，平均数代表“刚刚好”，用平均数汇报立定跳远的一般水平比较合适。（3）研究“小林的口算成绩在班级中处于怎样的水平”，让学生认识到，和平均数作比较，可以确定某一个数据在一组数据中所处的位置。重构策略之二：引导学生在开放性问题的讨论过程中，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴
25、涵着信息。展开对二年级小朋友小林口算成绩问题的讨论，就是期望达成培养学生数据分析观念的教学目标。看到80和68这两个数据后，引导学生猜测“小林的口算成绩在班级中处于怎样的水平”；产生争议后，引导学生思考“要想准确知道，需要收集哪些数据”；呈现数据后，引导学生从不同角度进行分析，并得出结论。不把平均数作为分析数据的唯一方法，也让学生了解到对于同样的数据可以有多种分析的方法，可以选择不同的统计量，从而使得教学具有更大的开放度。重构策略之三：借助图形直观、动态演示，让学生经历移多补少的过程，引导学生“从统计学的角度”理解平均数。让学生认识到平均数代表的是一组数据的整体水平，是学生应用平均数进行数据分析的基础，也是本课教学的难点。教学中，在比较两个队的投篮水平这一环节，让学生从直观图上找出平均数，通过质疑、讨论，并通过动态演示，让学生认识到平均数代表的不是个体水平，而是整体水平。在这一教学环节，移多补少的不是求平均数的方法，而是理解平均数统计意义的直观手段。在汇报立定跳远成绩这一环节，引导学生用移多补少的办法让每个数据变得同样多，求得两组数据的平均数，让学生认识到“平均数就是这个同样多的数”。在这一教学环节，移多补少既是求平均数的方法，也是理解平均数统计意义的手段。
