数学文化全套课件.pptx

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1、2023/4/24,1,数学美的根源自然本质，万物共性,数学文化,数 学 文 化,主讲教师：薛有才,鸣 谢本课件主要由薛有才创作，薛志平、裘群龙予以协助。在课件创作与教学过程中，参考了诸多专家、教授的电子教案与有关著作，谨此表示衷心的谢意！,教师简介：薛有才，教授，山西临猗人。主要研究方向为：计算数学、数学教育、科学技术哲学。主要讲授课程为：大学数学、高等代数、解析几何、概率与统计、数值分析、信息与编码、数学文化学、宏观经济学等。,联系方式：办公室：浙江科技学院教学A区：A3-217(2)；办公室电话：85070711；短号：633317 Email：.欢迎各位同学用电子邮件经常联系！,课程简

2、介,数学文化主要包含的内容有：对数学的认识、数学的思想与方法、数学文化史、数学文化的价值、数学史上著名事件的意义分析、著名数学家及其影响；等。重点在数学的思想与方法及数学的文化价值。,主要参考资料,数学文化学，郑毓信等著，四川教育出版社。数学文化，张楚廷编，高等教育出版社。数学哲学与数学文化，黄秦安著，陕西师范大学出版社。数学的思想、方法和应用，张顺燕著，北京大学出版社。,文理交融打造“数学文化”特色课程,华中科技大学杨叔子2011年7月14日天津,首先介绍杨叔子院士2011年在南开大学的一个有关数学文化的演讲,内 容,一、社会 文化 教育二、文化 科学文化 人文文化三、数学文化四、数学文化教

3、育,一、社会 文化 教育,文化是人类社会的“基因”。人类社会靠文化的传承而延续，靠文化的创新而进步。教育是文化传承的主要渠道，是文化创新的必要基础。人类社会靠教育而延续，靠教育而发展。,教育就是文化教育，即以文化育人，即以“文”化人，以“文”育人。化人、育人就是提高人的素质。文化实质上是“人”化。“化民成俗，其必由学。”教育实质上是素质教育。文化内涵：知识：载体、基础。无知识，就无文化。思维：关键。“人为万物之灵”，无思维，即僵死。方法：根本。桥、船。要实践，就要方法。原则：精髓。融入并指导上三者。,一、社会 文化 教育,一、社会 文化 教育,知识、思维、方法、原则是文化形态；精神上四者交融而

4、升华，是文化灵魂。师说：传道，授业，解惑。授业：传授知识，是基础。解惑：启迪思维，展示方法，是关键。传道：明确原则，升华精神，是根本。钱学森：“教育工作的最终机理在于思维过程。”,二、文化 科学文化 人文文化,形而下：文化 源于实践，生于人脑，产于人脑对实践的反映及其对反映 的加工。文化 来自客观世界与精神世界的相互作 用及其统一。各类文化必彼此相通：既反映客观世界的真实性、唯一性，又反映精神世界的感悟性、多样性。,二、文化 科学文化 人文文化,形而中：功能各异，形态互别，彼此互补、互动。科学文化功能（工具理性）：客观世界，客观规律；文明之源，立世之基。“是什么？”求真。人文文化功能（价值理性

5、）：精神世界，终极关怀；文明之基，为人之本。“应该是什么？”求善。,二、文化 科学文化 人文文化,科学文化形态（“事实在先”）：知识：主要是一元的；（有多元）思维：主要是逻辑的；（有直觉）方法：主要是实证的；（有感悟）原则：主要是求真的；（有求善）人文文化形态（“价值在先”）：知识：不一定是一元的；（有一元）思维：不一定是逻辑的；（有逻辑）方法：不一定是实证的；（有实证）原则：不一定是求真的；（有求真）,二、文化 科学文化 人文文化,形而上：精神：反思，怀疑，质疑，批判，发展。追求：更深刻，更普适，更永恒；求真，务善，完美，创新。科学精神：侧重 求真务实；人文精神：侧重 求善务爱。共同之点：完

6、美，创新。,三、数学文化,数学：是文化。“人”化离不开“数”。源于实践，生于大脑，产于两者结合。功能：不是自然科学，无确定的客观世界对象；不是人文科学，非因精神世界而产生。它是科学，高度抽象，高度定量，研究数、形、逻辑关系及有关世界。它是一种哲学，哲理思维科学。,三、数学文化,特点：实践。身体（物质世界）的实践（方法）。思想（精神世界）的实践（思维）。基于实践，自我升华、超越、开拓、创新等；（群论、非欧几何、超越数论、四元数学等）,三、数学文化,形态：,科学文化 人文文化 知识：一元性 悖论、公理、猜想 思维：过程的系统的 源头的灵感的 逻辑推理 直觉顿悟 方法：过程的严密的 源头的灵感的“实

7、”证性 感悟、体验 原则：求真 求美,三、数学文化,爱因斯坦：科学研究中最重要的因素是直觉。庞加莱：发现问题与提出问题靠直觉；分析问题与解决问题靠逻辑。丹齐克：直觉在数学中承担着主要的角色，创造种种的新形式乃是直觉的功能，逻辑只有拒绝此等形式的权利。狄拉克：一个方程式美不美比符不符合实验 更重要。,四、数学文化教育,奥巴马：在未来10年中，提高科学、技术、工程学与数学的教学水平，是国家当务之急。数学是文化，是人类文明的重要基础。数学是科学，是哲理思维，蕴含着深刻、生动而丰富的人文文化。数学文化教育即数学文化育人，既提高数学素质、科学素质，又提高思维品质，人文素质。,四、数学文化教育,数学文化教

8、育 即通过数学知识，启迪科学与人文思维，展示科学方法与人文方法，明确科学原则与人文原则，升华科学与人文精神。数学发展史（包括三次危机）数学家成长史（例如，哥德巴赫、希尔伯特、高斯、费马、）典型数学问题（例如，黄金分割、分形几何、欧几与非欧几、有限元法、）我国古代数学成就,数学知识：,四、数学文化教育,数学精神：求真：极其严格的逻辑，及其执著的追求；完美：魅力 诱人的猜想 神奇的预言 美妙的和谐 惊人的简洁 创新：不断的自我超越；不断的开拓新域。,四、数学文化教育,文理交融 教育规划纲要：“促进文理交融”。对文：以“理”助“文”，以“文”显“理”，使“文”更深刻，更丰富。对理：以“文”助“理”，

9、以“理”显“文”，使“理”更深刻，更丰富。创造新学科：如“心理学”。,文理交融，全面发展，会当凌绝顶，一览众山小！,第一讲：序数学与数学文化,1.数学的特点 数学最显著的特点,就是它的抽象性、精确性与逻辑演绎性、应用的广泛性以及教育的深刻性。（1）数学的抽象性。提起数学的抽象性，每个人都有深刻的体会。例如，数字“3”,不是“3个人”、“3个苹果”等具体物件的数量,而是完全脱离了这些具体事物的抽象的“数”。数学中研究的形三角形、四边形等,也不是三角板、长方形纸片或足球场等具体形状,而是与这些具体事物完全无关的、抽象的“儿何图形”。数学中的等式,“3=3”，也是完全抽象的。如果我们说，3公斤干枯的

10、杨树叶等于3公斤黄金，大家一定会发出一片嘘声。但是，“3=3”并没有告诉我们左边的3是黄金还是杨树叶。当然，我们更不用说今天的代数数论、抽象代数学、拓扑学等现代数学分支了。为什么数学必须是抽象的？它具体点可以么？事实上，数学的抽象性主要是由于数学研究的对象。数学是模式的科学，它研究事物与及其相互间量的关系。它必须抛开事物具体的物理特征，而仅研究事物所具有的量的关系。还是让我们通过例子来说明吧。,例1 七桥问题和图论的简单知识 18世纪时,帕瑞格河从哥尼斯堡(现属于俄罗斯)城中流过,河中有两个岛,把该城分为四个部分,河上7座桥,将两岸和岛连接,如图1所示。城里的人从桥上走来走去,有人便提出这样一

11、个疑问:一个人能否依次走过所有的桥,而每座桥只走一次?如果可以的活,这个人能否还回到原来出发地?这就是有名的“七桥问题”。许多人都在试验，每天都有许多人在想法“不重复地走遍”所有这七座桥。但是，没有人能够完成这一“壮举”。这个问题有答案么？,图1,图2,图3,由彼此相连接的顶点和边组成的部分图形(子图),称为图的一条“链”或“路”。如果一条路首尾相连,则称为回路,或环。一个图,如果每两个顶点都有且只有一条边相连,则称之为“完全图”。如果图G的一条链,包含了G的所有顶点和边,则称之为“欧拉链”；特别地,如果一条回路包含G的所有顶点和边,则称之为“欧拉回路”。于是,七桥问题就变成:图2是否为一个欧

12、拉链?又,它是否为一个欧拉回路?为此,需要关于顶点的几个概念。一个顶点所聚集的边的数目,称为该顶点的“度”。顶点的度是奇数,称为“奇顶点”；顶点的度是偶数,称为“偶顶点”。,定理l(欧拉回路判定准则)一个连通图(图中任何两个顶点都能够用一条链来连接)是欧拉回路的充要条件是它的奇顶点的个数是0或2。由此可以得到图是否可以一笔画的判定准则,也写成定理形式:定理2(一笔画判定准则)如果一个图上的奇顶点的个数是0或2,该图就可以一笔画,否则不能一笔画。特别地,若奇顶点的个数为0,即图上没有奇顶点,则该图不仅可以一笔画,而且起点还能与终点重合。据此、对于上述七桥问题很容易得出结论:因为图7上的4个点都是

13、奇顶点,所以它不是欧拉回路,也不是欧拉链,所以它不能一笔画。从而知道哥尼斯堡七桥问题的答案是否定的。,这就是数学中的抽象过程，陆地再大再广，在所研究的问题中作用并不大，它们与一个点的作用相当。桥也不管长短曲直与宽阔，完全可以用一条曲线代替。抽象的结果，走路的问题变成了一笔画的问题。数学抽象方面的特点:第一,在抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切。第二,数学的抽象是经过一系列阶段而产生的；抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。数学中许多概念是在抽象概念之上的抽象。第三，数学抽象的特殊性在于“数学对象是借助于明确的定义建构的”；“在严格的数学研究中，我们都只能依据相应的定义和推理规则进

14、行，而不能求助于直观”。而且，在经常的“数学研究中我们就是依抽象思维的产物作为直接的研究对象”。,数学抽象,数量的第一步抽象 数量 数。2匹马、2头牛 2。数量的本质多与少 数的本质大与小 刻画大小的序关系 自然数、加法有理数 分数：部分与整体；线段长度之比加法 四则运算；逆运算 数域的扩充自然数 整数、有理数、实数如何定义实数？运算？连续性？抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现；唯名论(亚里士多德)，数学是发明。抽象了的东西是存在的：抽象的存在（形而上、形而下）。,数学抽象,抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。得到：数学研究的对象概念和对象之间的关系概念；运算方法和运

15、算之间的运算法则。亚里士多德：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。存在性假设多边形三角形引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。,数学抽象,数量的第二步抽象 变量、极限运算 如何理解、如何解释导数：牛顿(16761666)提出，最初的解释是利用无穷小。问题：什么样的函数可导？明确函数定义+明确极限定义 符号表达 1755年，欧拉的变量说，初中。抽象不够 问题 f1(x)=shi2x+cos2x 和 f2(x)=1 表达是一个函数，还是两个函数？1851年，黎曼的对应说，高中。新概念和物理背景 函数 对应

16、 集合 集合：所要研究对象的全体？罗素悖论,数学抽象,极限运算1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。可以理解：当 n 时1/n 0；很难理解：当 n 时 x 0。函数连续，当 x x0 时 f(x)f(x0)？1.任何数列 xn x0，都有f(xn)f(x0)。2.任意0，存在 0，当 x-x0 时f(x)f(x0)则称 f(x)在 x0 处连续。两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？,数学抽象,清晰定义实数 清晰定义无理数 重新定义有理数有理数：分数形式 小数形式（有限+无限循环)无理数：无限不循环小数如何判断(百,千)实数 有理数+无理数 如何计算：23=

17、23？用小数验证？-2-3=(-2)(-3)？如何理解：连续 实数与数轴一一对应？,数学抽象,图形的第一次抽象 欧几里得几何原本描述定义：点、线、面、角。关系术语：相交、平行、垂直、全等。度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦)。带来的问题 点：两条直线交于一点？平行：两条永远不相交的直线？全等：两个图形重合？修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何）无数（罗巴契夫几何）没有（黎曼几何）A：三角形。高斯曲率在 A 上的积分=三个角的和。,A,a,a,b,赤道,O,N,N,北极出地与纬度之间的关系,数学抽象,数学抽象,图形的第二次抽象 希尔伯特几何基础：桌子、椅子、啤酒杯

18、符号定义：A，a，关联公理：两点唯一决定一条直线、三点平面顺序公理：直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等平行公理：一条直线连续公理：阿基米德公理（无穷集合）公理体系：独立性、相容性、完备性1931年哥德尔：两个不完全性定理。算数公理体系完备与相容,（2）数学的逻辑演绎性与精确性 获取知识有很多方法，譬如，经验的方法、归纳的方法、类比的方法。远古时期的数学公式就由经验日积月累而成。类比方法是有用的，但也受一定的限制，并不是所有情形中都能使用类比法。使用得更为广泛的另一种推理方法是归纳法。归纳过程的本质在于：在有限的几个例子的基础上概括出一些总

19、是正确的结论。归纳法在科学实验中是基本的推理方法。尽管由归纳推理得出的结论，似乎被事实证明是正确的，但还不能说这些结论就确定无疑。归纳推理的方式还有其它的限制。比如，我们不能采用归纳方法将一项未经试验的法律对社会的作用作出结论。,数学推理,我们还有一种获取知识的方法演绎法：从已认可的事实推导出新命题，承认这些事实就必须接受推导出的命题。演绎法重要的是，如果作为出发点的事实是确定无疑的话，则结论也确定无疑。演绎法有很多优点。首先，如果前提确定无疑则结论也确定无疑。其次，与试验相反，在行动之前，利用演绎推理我们就已经知道结论。例如，计算天文距离不可能使用直尺，而且试验也只能使我们局限在很小的时空范

20、围内，但是演绎推理却可以对无限的时空进行研究。我们说数学是精确的，如“3+5=8”,是精确的,不是近似的,估计的；欧氏几何定理“三角形三内角之和等于180”,是从几何公理和定理,经过逻辑推导出来的。数学的精确性，来源于数学的演绎推理。,数学推理,数学推理,推理：一种思维过程。思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维。命题：可以进行判断的话语。推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。命题+判断的四种形式：是是、是否、非是、非否。逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性。有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。,数学推理,逻辑推理=演

21、绎推理+归纳推理爱因斯坦：西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系(表现在欧几里德几何中)，以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系(表现在文艺复兴时期)。杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。,数学推理,演绎推理：命题范围由大到小，结果是必然的。亚里士多德：出发点和三段论(大前提、小前提、结论)数学归纳法、反证法、计算逻辑(冯诺依曼)论证基础：同一律：A就是A。集合、等量的等量还是等量(换元法等)矛盾律：A与非A不能同时成立。在反证法的证明过程中 排中律：A与非A必有一个成立。反证法的依

22、据 论证形式：已知A求证B。A和B都是确定命题。不能用于创新,数学推理,文艺复兴之后，培根、休谟、穆勒相继。归纳推理：命题范围由小到大，结果是或然的。不完全归纳法、类比法、实验、试验、调查功能：通过条件预测结果；通过结果探究成因。数学：结果是看出来的，而不是证出来的。代数：哥德巴赫猜想、费尔马大定理（归纳）。几何：庞加莱猜想（类比）。,数学推理,归纳教学的例子：尝试。为得到公式 a2 b2=(a-b)(a+b)首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到：22 1=4-1=3；32 1=9-1=842 1=16-1=15；52 1=25-1=2462 1=36-1=35；因为 8=24，15=

23、35，24=46，35=57，可以想到 a21=(a-1)(a+1)，然后考虑一般的 b。从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。,例2 抽屉原理的应用 设有10本书，共3类，文学类（A类），史学类（B类）、数学类（C类），证明至少有一类书有4本或4本以上。这个问题很容易通过反证法证明。假设A类、B类、C类的书都不超过3本，那么所有的书加起来就不超过9本。这与有10本书相矛盾。所以，至少有一类书超过3本，即4本或4本以上。这个问题相当于：有10件物品，装在3个抽屉里，那么有一个抽屉至少有4件物品。这是一个具体的抽屉原理问题，看似很简单，却很有用。,数学推理,古希腊人发明与发展了

24、演绎推理方法，为人类提供了最为重要的也是最为基本的数学方法。演绎法异乎寻常的作用，一直是数学惊人力量的源泉，而且以此将数学和其它学科区别开来，特别是使数学和科学有了最明显的区别。因为科学还需要利用实验和归纳得出结论，因此科学中的结论常常需要修正，有时甚至遭到全盘抛弃。但数学结论则数千年都成立，尽管有时推理过程也须补充完善。（3）数学应用的广泛性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。,数学应用,哈雷彗星的发现,古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现1682年、1607年和1531年出现的彗星

25、有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或1759年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星”。哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在1986年；下一次回归是在2062年。,数学应用,海王星的发现,这个太阳系最远的行星（之一），是1846年在数学计算的基础上发现 的。天文学家分析了天王星运动的 不规律性，推断出这是由其他行星 的引力而产生的。勒未累计算出它 应处的位置，观察员在指定位置发现 了该行星。航海家2号拍摄,1989.8.,数学应用,电磁波的发现,英国物理学家麦克斯韦概括了

26、由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。24年后，德国物理学家赫兹在振荡放电实验中证实了电磁波的存在，不久，意大利的马可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地发明了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。,数学应用,例3 范米格伦伪造名画案。二战结束、比利时解放后，荷兰保安部开始搜捕纳粹同谋犯。他们发现了一个银行家曾充当把17世纪荷兰名画家杨费美尔（Jan Vermeer，16321675）的油画捉奸卖给格林的中间人。这个银行家又泄

27、漏，他是三流荷兰画家HA范米格伦（VanMeegeren）的代表，因此范米格伦因通敌罪于1945年5月29日被捕。同年7月范米格伦在牢房里宣布，他从未把捉奸买个格林，并说，这幅画和非常著名、非常美丽的埃牟斯的门徒以及其他四幅冒充费美尔的油画和两幅冒充德胡斯（deHooghs，17世纪荷兰画家）的油画都是他自己的伪作。为了澄清这一问题，由一些卓越的化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组受命调查这一事件。,数学应用,他们用X射线检查画布上是否曾经有过别的画，此外，他们分析了颜料，考查了画中有没有经历岁月的痕迹。专家小组找到了现代颜料钴兰的痕迹，并在几幅画里检验出20世纪初才发明的酚醛类人工

28、树脂。根据这些证据，范米格伦于1947年10月12日被确认为伪造罪，判刑一年。但是，许多人不相信埃牟斯的门徒是范米格伦伪造的。他们需要一个完全科学的、判定性的证明，指出埃牟斯的门徒的确是伪制品。卡内基米伦大学的科学家们在1967年做到了这一点。测定油画依旧需要放射性的知识。我们从中学化学所熟知的事实说起，地壳中几乎所有的岩石都含有少量的铀。岩石中的铀蜕变为另一种放射性元素，而该放射性元素又蜕变为一系列其他元素，最后变为无放射性的铅。,数学应用,有的半衰期是4.5109年，它不断为这一系列中后面的各元素提供来源，使得当它们蜕变后就有前面的元素予以补充。现在让我们利用这一信息根据制造铅白时的原有铅

29、-210的含量来计算铅-210现在在样品中的含量。设y(t)是在时刻t每克铅白所含铅-210的数量，y0是制造时间t0的每克铅白所含铅-210的数量，r(t)是时刻t每克铅白中的镭-226每分钟蜕变的数量。如果是铅-210的衰变常数，则我们有下面的方程：（1）,通过分析与解这个方程，可以肯定，这些画确实是伪造之物。,数学应用,模型：构建数学与外部世界的桥梁。数学的应用叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。比如，方程叙述的是量相等的故事。距离=速度时间 用数学语言定义概念。F=ma桥梁双方：数学+现实。流行病模型，投入产出模型各种场合：参数+约束

30、。自由落体模型中的重力加速度,数学应用,汽车的防抱死刹车系统；发动机控制；变速控制；巡航控制系统；是目前模糊技术竞争的焦点。三菱（Mitsubishi）公司马自达（mazda)公司本田（Honda）公司斯巴鲁（Subaru）公司福特（Ford）公司日产（Nissian)公司等汽车产品,汽车上的模糊数学？,数学应用,你会正确决策，创造财富吗？你能读懂报纸上的数据和图表吗？,走进数学，走进数据处理，你将收获智慧，收获财富。,数学应用,（4）数学教育的深刻性 虽然数学具有广泛的应用，但我们不能指望每个数学定理或数学公式在我们日常生活中都有用处。但是,通过数学学习所获得的数学思想方法和数学思维习惯,在

31、我们日常生活和实际工作中却时时、处处都在起作用。特别是,现代社会越是发展,所见所做的事情越来越复杂,更需要我们用数学的思维方式、方法去观察、思考和理解,即需要我们“数学地”去思考和解决。这实际上就是要发挥数学的文化价值。所谓数学的文化价值，“主要是指数学对于人们观念、精神、以及思维方式的养成所起到的十分重要的影响”。“首先，数学对于人类理性精神的养成和发展有着特别重要的意义，而后者则就被看成人类文明、特别是,数学教育,西方文明的核心所在”。“其次，数学有着重要的思维训练功能，而这不仅仅是指逻辑思维的训练，而是有着更为广泛的涵义”。例如，“数学对于人们抽象思维能力的培养就有着特别的重要性”；另外

32、，“由于数学研究的对象并不一定具有明显的直观背景，而是各种可能的量化模式，因此，这也就为人们创造性才能的充分发挥提供了最为理想的场所”；“数学不仅有利于人们逻辑思维的发展，而且有利于人们创造性才能、包括审美直觉的发展”。,数学教育,2.什么是数学？对于什么是数学，有很多的回答。不要说我们普通人，即使对于那些大数学家来说，这也是一个难以回答的问题。,数学的15个“定义”,1）哲学说2）符号说3）科学说4）工具说5）逻辑说6）创新说7）直觉说 8）集合说,9）结构说（关系说）10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说15）万物皆数说,恩格斯说,数学是研究现实世界的数量关系

33、和空间形式（简称数与形）的科学。恩格斯,名人名言,数学的对象,15个“定义”来自,只 讲解“哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。哲学说,亚里士多德：“新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。”来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。几何原本：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。,哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部分。现在有人

34、说“哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”,符号说：是说数学是一种高级语言，是符号的世界。科学说：是说数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”。工具说：是说“数学是其它所有知识工具的源泉”。逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。”,创新说：是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。集合说：是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。结构说（关系说）：是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，“数学是一种关系学”。,模型说：

35、是说数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。活动说：是说“数学是人类最重要的活动之一”。精神说：是说“数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。”,审美说：是说“数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。”艺术说：是说“数学是一门艺术。”万物皆数说：是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。,3.数学是人类文化最重要的部分 数学是一种文化,而且是人类文化的重要组成部分。一般地说，凡是经过人类创造的、一切非自然的物质财富和精神财富,都属于文化范畴。数学,

36、作为人类思维的创造物,当然是人类文化的一种。文化就是影响力。数学文化以她非凡的影响力影响着人类：她指导人们发现自然、发现世界，改造世界；她是科学的语言，没有数学，就不会有今天的科学技术；她深刻影响人们的世界观；她形成了人类最重要的能力理性能力；她深刻地影响了音乐、绘画、建筑等领域，并在对这些领域的研究中不断丰富自己；她以自己的方法改造经济学、管理学，形成了数量经济学、数理金融学等新兴学科；她是今天人们离不开的计算机的基础；她是教育中最具影响力的学科之一。,思考题 1.数学有什么特点？请举例说明。2.什么是数学？谈谈你的理解。3.谈谈你对文化与数学文化的认识。,第2讲古代西方数学与欧氏几何,古代

37、西方数学欧几里得几何古希腊数学的特征,一.古代西方数学1 原始文明中的数学 中国、环地中海国家包括土耳其与北非的近东是人类文明的发祥地。由于即使在最原始的人类社会，也必须对生活必需品进行以物易物的交换，所以就必须进行计算。从而在原始文明中，也已经迈出了数学上最初的几步。由于利用手指和脚趾能使计算的过程变得容易，因此，对原始人像小孩一样利用自,己的全部手指和脚趾去数东西也就不足为奇了。带这种记数法的痕迹已融会在今天的语言中，如“digit”一词，不仅有数字1，2，3，的含义，也有手指和脚趾的意义。手指的利用，无疑地解释了今天记数系统中采用十进位的原因。在原始文明中已经发明了表示数的特殊记号。特别

38、是，原始人已经知道3只羊、3个苹果有很大的共性，即数量3。这样，数字就被看作是一种抽象的思想数与特殊实物无关。这一点，在思想史上具有重要的意义。,原始文明也发明了基本的算术四则运算：加、减、乘、除。从对现代落后种族的一项研究中，我们知道，原始部落的牧民在出售牲畜时，总是一只只单独的分开来卖。如果选择用羊的数目乘以每只羊的售价的方法，就会把牧民搞糊涂，以致于怀疑被欺骗了。所以，把握四则运算并不是一件简单的事情。在原始文明中，基本的几何概念来源于对物质实体所形成图形的观察。例如角的概念，很可能最初就来自于对肘和腿等形成的,角的观察。在许多语言中，表示角的边的词与表示腿的词相同。如我国就将直角三角形

39、的两边称为“勾”与“股”。在孕育了现代文化和数学的近东文明中最主要的是埃及和巴比伦文明。在其最早期的记载中，我们发现了高度发达的记数系统（数系）、代数学与非常简单的几何学。对于从1到9的数字，埃及人曾用过这样简单的记号来表示：，等。对于10，他们曾用记号表示。如20就记为。中国在,宋代使用的数字如下：，而O表示0，如10记为O。位值制很重要。采用10进制（以10 为基底），10个符号就足以表示无论多大的数。印度人发明了今天称为阿拉伯数字的数字符号和10进制。古巴比伦人引入的进制是60进制。所以希腊人、欧洲人直到16世纪都将这套记数系统运用于所有的数学计算与天文学计算中。而且直到今天还用于角度和

40、时钟上。,捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）,莱茵德纸草书(1650 B.C.),莫斯科纸草书,古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载”,（马其顿，1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关,（文达，1982年）,（约公元前1000年）,0是一个非常特殊的数字。中国人可以说是最早发明了类似于今天的数字0的符号。在数学史上，一般认为0是印度人发明的。在古巴比伦和埃及的文明中，算术已经超出了利用整数和分数的范围。他们已能够解决一些含有未知量的方程。实际上，欧几里得体系中的代数知识部分的来源于巴比伦文明。人们一般认为埃及人在几何方面要超过巴比伦人。一种观点认

41、为，几何学是“尼罗河的恩赐”.希罗多德（Herodotus）曾记述，在公元前14世纪，塞索斯特里斯（Sesostris）王将土地分封给所有的埃及人。如果一年一度的尼罗,河泛滥冲毁了某个人的土地，法老就会根据报告派监工来测量冲毁的土地。这样，从埃及的土地测量中，几何学（geometry）geo意指土地，metron意指测量就产生并兴盛起来。要注意的是，希罗多德可能正确的指出了几何学在埃及受重视的原因，但事实是在公元前14世纪以前的1000多年前几何学就已经存在了。埃及人和巴比伦人的几何学是经验的法则或者说是实际技艺。在他们看来，直线是拉紧的绳子，平面是一片平地的表面。他们求谷仓体积、土地面积的公

42、式是经过反复试验,埃及金字塔,建于约公元前2900年的埃及法老胡夫 的金字塔，塔基每边长约230米，塔基的正方程度与水平程度的 平均误差不超过万分之一。,得到的,因此许多公式难免有错.如埃及人求圆面积的公式是3.16乘以半径的平方,尽管这对古埃及人来说已经是非常精确的了,但毕竟是不正确的.2、历法中的数学 埃及人和巴比伦人把数学大量地应用于实际生活中.但并不能认为埃及和巴比伦的数学仅仅局限于解决实际问题.相反,通过仔细的研究我们发现,人类思想和激情的成果,无论是艺术、宗教、科学的成果，还是哲学成果，都与一定的数学内容有关。在天文学和数学应用于计算历法和航海之前，人类本能的好奇心和对自然的恐惧已

43、,经有若干年了。人类受不可抑止的哲学精神的驱使，耐心地观察太阳、月亮、星星的运行。这些先知们终于从他们的观察中得出他们自己的天体运行图象。在很早的埃及文明中，人们就知道一年大约为365天，并且知道每年的季节。他们也通过观察知道，每年当天狼星出现在黎明的天空时，就表明尼罗河的洪水到达开罗了。靠耕作尼罗河边上的肥沃土壤为生的埃及人，必须对洪水作好充分的准备。同样，所有地方的人，预先知道播种的季节、节日的时间和祭祀的日子都十分必要。但是仅仅靠观察要想精确预报尼罗河的泛滥是不够的。至少由于一年365天和实际相差了1/4天，若干年后就已经不能指出天狼星将在什么时候出现,在黎明的天空了。所以即使提前几天预

44、测节气和尼罗河汛期，也需要比较精确的天文学和数学知识。所以，为了观察和计算天气，就必须研究数学。3、宗教神秘主义和数学 通过对史料的研究，我们可以肯定古时的僧侣们已经具备了天文和数学的知识。僧侣们懂得历法对日常生活的安排和为将来的事情做准备的重要性。然而他们却利用这些知识获得了统治那些无知民众的权利。僧侣们知道洪水是按期到来的，但他们却佯称，因为他们举行了宗教仪式而带来了洪水，并使水按期退下去，迫使可怜的农民为僧侣的仪式支付报酬。数学与其它科学知识在当时是某种权利。,尽管对天空的冥想导出了数学，但这一过程实际是借助了与它有着相当重要关系的天文学、宗教神秘主义。这种冥想还通过现在看来是声名狼藉的

45、占星术与数学纠缠在一起。对于古代的僧侣们来说，以行星和恒星的运动为基础，发展出一套占星术是十分自然的。当然，即使不把天体当作神，处于蒙昧时代的人们，还是有理由将太阳、月亮、星星的位置与人类的事物联系起来。由于谷物的收成依赖于太阳和气候，动物在一定的季节交配，甚至亚里士多德（Aristotle）和盖伦（Galen）都相信，女性的经期也由月亮的活动控制。特别是对埃及人来说，当天狼星出现在黎明的天空时，尼罗河的洪水,就来到了，也就是：天狼星引来了洪水。宗教神秘主义本身在几何上更为直观的表现是，建筑更为漂亮的神殿、金字塔。金字塔的建造是精益求精的。埃及人相信，按照精确的数学规则去建造陵墓，对于死者死后

46、的生活是非常重要的。这一点可以通过卡纳克著名的太阳神神庙等建筑物得到很好的证明。这些建筑物在夏至哪天正面对着太阳，阳光可直接投射到庙宇中，甚至照亮了大殿的后墙。宗教神秘主义也不乏对数的性质的好奇，而且将数作为表达宗教神秘主义的媒介，测字术应运而生。其中，数字3和7引起人们的特别关注。,一般人们认为巴比伦的祭司发明了这种与数有关的神秘、迷魔般的学说，后来又为希伯来人发展了。今天，许多地方还流行着测字算命的习俗。这种伪科学是以下面的思想为基础的：字母表中每一个字母都与一个数字有关。(事实上，希腊人和希伯来人都曾利用字母表中的字母作为数字符号。)每个单词对应于一个数，这个数是所有拼成 这个单词的字母

47、所代表的数字之和。两个单词表示同一个数，则可以认为两者有关，这种相关性就用作来预言。比如，人的死亡也可能预言。因为一个人计划要做的事的名称所对应的数，如果与死亡所对应的数相同，就认为是不吉利的。我们说几何学并不象希罗多德所宣称的那样，,仅仅是尼罗河的恩赐。当建筑师研究和利用几何学去设计、建造漂亮的庙宇、皇宫时，画家们却被他们所构造的几何图景的美的意境所吸引。6000多年前，波斯苏萨城的艺术家，就曾使用了几何图形，就出土的一些艺术作品艺术风格而言，它与现代抽象艺术一样深奥美妙。山羊的前后两部分分别被画成三角形，山羊角却延展成一个半圆形。鹳的头部和身体也分别被画成小三角形和大三角形，这些艺术品被用

48、来作为波斯人陶器的装饰。艺术家也为文明贡献了这份礼物。我们要注意的是，当人类逐渐脱离蒙昧走向文明的时候，不同的民族会利用他们原始文明中的经验及思维方式，给世界一个解释。如中国人形成了阴阳学,说、金木水火土“五行”学说等并依此来解释世界。与此不同的是，希腊人则采用了数字解释世界。在历史上，希腊文化是继承和吸收爱琴海的米诺斯文明、埃及文明和腓尼基文明而形成的后继文明，它吸收了这些文化中的数学神秘主义传统，并进而把它发展成为用数学解释世界的独特方式。其中，毕达哥拉斯学派起到了一个继承、创新和发展的文化中继站的作用。毕达哥拉斯学派对数学的观念带有浓厚的原始文化的数学神秘色彩。亚里士多德曾说，毕达哥拉斯

49、学派把数看作是真实物质对象的组成部分。这种“万物皆数”的观点构成了毕达哥拉斯学派的核心观,毕达哥拉斯(公元前580年公元前500年),念。据传，毕达哥拉斯学派关于谐音的研究对于其核心观念的形成起到了十分重要的作用。他们发现，弹弦音质的变化来源于弦长短的数量变化，两根绷得同样紧的弦如果长度成正比，那么就会发出谐音。既然音乐这种似乎与数毫无联系的现象最终都可以用数得到解释，这就极大地增强了毕达哥拉斯学派用数来解释世界的信心。由上述信念出发，毕达哥拉斯学派又进而提出行星的运动也可用数的关系来表达。由于认为物体在空间运动时会发出声音，运动快的物体比运动慢的物体发出的声音高，因此毕达哥拉斯学派认为，,行

50、星的运动最终也可以通过“天际”的音乐表示为数量关系：离地球越远的天体运动越快。各个行星则因其离开地球距离的不同而发出的声音匹配为和谐之音。等等。综观毕达哥拉斯学派的研究，我们可以清楚地看到人们对数学神秘性的继承和发展。但是，这种神秘的数学研究却把人们对世界的认识和理解引向了一条数学化的道路。首先，纯粹的数学研究应首先归功于毕达哥拉斯学派；其次，毕达哥拉斯学派对数的研究则是人类第一次用数学来研究世界、研究自然的本质，是人类第一次企图从数与数的关系上来解释世界，解释自然。,柏拉图（公元前428前387年）是古希腊时期最有名的哲学家。在雅典，他创立了从事哲学和科学研究的学院Academy。在其后半生