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1、第八章欧氏空间教学内容欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。教学过程1定义、性质定义1：设V是R上的一个线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(0,0,如果它具有以下性质：(1)(a,)=(,a)(2) (ka,)=k(a,)(3) (a+,)=(a,)+(A/)(4) (,)O当且仅当a=0时(,)=O这里/A/eK&wR,则V称为欧几里得空间(简称欧氏空间)例1、例2。练习：Pw1(I)o定义2：非负实数府方称为的长度，记为Ial性质：伙同=愀单位向量：长度为1的向量。单位化:Cauchy-ByHHKOB
2、CKMfi不等式：Da,有3M咽等号成立当且仅当/线性相关。在不同内积中，Cauchy-EyHHKoBCKH以不等式的具体例子:例1中，1Z?1+a2b2H1他J+a；4卜a；Nb；+b；Hkb；例2中，/(x)(x)J=I/(x)J-Wg(x)d21、(2)中,iyjJx-Jajyyj-j=li=lV=1/=IVj=li=l定义3：非零向量a,/的夹角伍为(a,)=arccos，01+x22+xnn二%与+为?+乂芦”（a，P）=ZZ（,，j）项匕=ZZ匕，这里为=（,%）；=1=l；=1Z=I由于（i,j）=（/,），故%=aji,令A=（%，Ar=A/Z则（）=XAY,其中X=,y=,则
3、A称为基卬J，的度量矩阵。性质：不同基的度量矩阵是合同的。证明：设7,叫4是V的另一组基，（7,%,以）=（g*2,，）C，设C=（Cj/则%=%向，=声火（%，1）=（G向，CkFk）=ZZ（J，陵刈l=lhi/=I=则B=（如，“=（之际=CACo证毕。若对Va0,即X，有Qa）=XAX0,则称度量矩阵A是正定的。练习：P3942；作业：1o2标准正交基一、标准正交基1、定义：在维欧氏空间V中，由个向量组成的两两正交的向量组称为正交基，若个向量均是单位向量，则称为标准正交基。由此可知：有正交基得到标准正交基的方法就是把正交基中的向量全部单位化。2、性质：（I）若今,，%是标准正交基，则有（
4、与,Cj）=t=Wj即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，反之也成立。（2）VaV,a=xil+x22+xnn(与,)=x1(与，与)+xi(i,与)+xn(i,J)=Xi即：=(e,)e+(2,a)2+(%,)3若尸=MG+必邑+%，则（。,6）=（2项与，Zy产）=xM+/为+X”=XY。Z=Ij=二、标准正交基的求法：设V是数域尸上的维线性空间任一组线性无关的向量均能正交化，任一组正交向量组均能扩充为一组正交基，然后进行标准化（即单位化）即可。若%,%，。”是一组线性无关的向量，令=a1=Cx2g,)3=a3-SA）（%，夕1）(,)=a4%*)-)6(4，1SM)(打血)(-p-1)可验证
5、四,区,我两两正交，再单位化,令“扁%底”高,即为要求的标准正交向量组。鸟69例；练习：尸3957；作业：6,9o三、由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。证明：与,4,”与7,小，,%是线性空间v的两组标准正交基,且(7,%,%)=(4,4,%)AA=(%).x1=j口如九J因为：i=av+a2i2+anitl,j=aijl+a2j2+anjn日口fl,/=j即为)/G+%+F1,w而aualj+a2ia2j+Clnianj是ArA的第(i,力兀素，故A,A=E,即A-1=A,o正交矩阵：我们把满足AN=E(或Av=E)的矩阵称为正交矩阵。四、结论：由标准正交基到标准正交基
6、的过渡矩阵是正交矩阵，反之，若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而其中一组基为标准正交基，那么另外一组基也是标准正交基。3、同构一、两个欧氏空间同构1、定义：R上的两个欧氏空间称为同构的，如果存在uVV，(双射)满足：DaV,VZR(1)(a+B)=b()+o()(2) (ka)=k(a)(3) (a),(7)=(,7)其中，。称为V到V，的同构映射2、性质:(1)具有反身性、对称性、传递性。(2)同构的欧氏空间有相同的维数，反之，有相同维数的两个欧氏空间也同构。并且同构的欧氏空间有相同的性质。因此，以后对一个维欧氏空间V,我们只需要研究与它同构的最简单的欧氏空间R即可。例：数域R上的维欧氏空间
7、V,卬J，是V的一组标准正交基，VaV,a=xli+x22+,+作V到R的双射:(a)=(和/，/)wR令尸v,设/=y向+刈3+(1)(+夕)=(x1+M)与+U2+y2)2+(x,+y,l)n)=(x1y1,x2+y2,xz,+,)二(项，工2产，%)+(%，力产.，州)=(a)+()(2) XfkeRka)=(kxx+kx22+IcxrJ=(k%,kx2L,kx,)=k(xiix29-,xn)=k(a)(3)(a),()=(x1,x2,xn),(y1,y2,yrt)=M+x2y2+x,r=(%与+邑+/J，%与+y犬?+%A)=(%B)故数域R上的维欧氏空间V与R”同构。特别地：由同构关
8、系的传递性知，所有维欧氏空间都同构。4正交变换一、正交变换1、定义：设V是维欧氏空间，AeM(V),若Ya,BeV,有(Aa,A)=Ca,位则称A是正交变换。2、等价命题：A是正交变换OVaV,IAd=IalO若弓,为，%是标准正交基，则U,Aj,4%也是标准正交基OA在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。3、正交变换的分类：第一类的正交变换：M=T第二类的正交变换：IH=I作业：P395Ho5子空间定义1：KM是欧氏空间丫的两个子空间，若对XN匕恒有(,0=0则称匕,匕为正交的，记为匕，匕1、若对,恒有(7,)=0,则称夕与匕正交，记为/J匕。2若乂，匕，则对T%匕有,aV2,故(,)=O
9、,从而=O,即有KnV2=。，故匕+匕=匕匕可推广为定理5：若子空间匕,M两两正交，则和匕+匕+匕是直和。证明：只须证明零元素分解唯一即可。设O=+%+&，其中%,i=l,2,s用生与上式两边作内积，有0=(az,),所以以=O。V1+V2+Vr=K匕K。定义2：若X，匕，+%=V则称匕为匕的一个正交补，记为匕=%1。显然：V；1=aV!V1维(V1)+维(匕)=维(V)定理6：欧氏空间丫的每一个子空间K都有唯一的正交补。证明思路：取匕的一组基卬七，扩充为V的基勺,如+1，,邑，证明：1=作业：P39613,15o6对称矩阵的标准形回忆：任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵。本节结论：对任一级实对
10、称矩阵A,都存在一个级正交矩阵T,使得TAT=厂”7为对角形。一、实对称矩阵的性质:(1) A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数。(2) A是实对称矩阵，如下定义线性变换A:R,A/芭X2则对VaR,有(Aa)=QA0,BP,Aa=a,A.(3)设4是对称变换(即满足(A)=(,A7),Va,7V),匕是A-子空间，则Y也是A-子空间。(4)A是实对称矩阵，则R中属于A的不同特征值的特征向量正交。二、结论：定理7：任一阶实对称矩阵A,都存在一个阶正交矩阵T,使得TZT=厂”7为对角形。(利用数学归纳法证明)三、如何求正交矩阵人使得TZT=厂M丁为对角形？步骤：1、求A的特征值4，4，儿；2、对每个儿，解线性方程组X、(iE-A)=O求出该齐次线性方程组的基础解系，就是A的特征子空间匕,的一组基，并由此求出匕,的一组标准正交基%,如，而小3、把7,7%,小,%写成列向量，即丁，且4TrAT=TiAT=4其中，上述对角形矩阵的主对角线上的4为匕个，4为心个，人为1个。注意：正交矩阵7及TAT=LAT不是唯一的。定理8：任一个实二次型St%/,%=盯都可以经过正交的Z=I；=1线性替换变成平方和其中儿,为人是矩阵a=(%)的特征多项式的全部根。1xn9Jw作业：Py)616,17(1)(2),18(1)
